|
|
|||||||
| สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
  |
|
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
#1
27 มกราคม 2008, 12:06
|
||||
|
||||
First Round of the 1988 Spaninsh Olympiad
เพิ่งได้ E-Book ของ Polya เล่มหนึ่ง เห็นโจทย์ดูแล้วน่าสนใจดี ลองทำสักข้อนะครับ
 First Round of the 1988 Spaninsh Olympiad จำนวนนับ $1 , 2 , 3 , \ldots , n^2$ ถูกนำมาเขียนในเมตริกซ์ขนาด $n \times n$ ดังนี้ \[A = \pmatrix{ 1 & 2 & \cdots & n \\ n+1 & n+2 & \cdots & 2n \\ 2n+1 & 2n+2 & \cdots & 3n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (n-1)n+1 & (n-1)n+2 & \cdots & n^2 }\] ผลรวม $S$ หาได้ดังนี้ สมาชิกตัวแรก $x_1$ ที่จะนำมารวมใน $S$ จะเลือกแบบสุ่มจากสมาชิกของ $A$ หลังจากนั้นสมาชิกทุกตัวของ $A$ ที่เหลืออยู่ ที่อยู่ในแถวและคอลัมน์เดียวกับ $x_1$ จะถูกขีดฆ่าทิ้งทั้งหมด สมาชิกตัวที่สอง $x_2$ ที่จะนำมารวมใน $S$ จะเลือกแบบสุ่มจากสมาชิกที่เหลือของ $A$ หลังจากนั้นสมาชิกทุกตัวของ $A$ ที่เหลืออยู่ ที่อยู่ในแถวและคอลัมน์เดียวกับ $x_2$ จะถูกขีดฆ่าทิ้งทั้งหมด ทำแบบนี้ไปเรื่อยๆจนกระทั่ง ไม่เหลือสมาชิกของ $A$ จงพิสูจน์ว่า ผลรวม $S$ ที่ได้มีค่าเท่ากันเสมอ สำหรับทุกการสุ่มเลือก $x_1 , x_2 , \ldots$
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. 
|
|
#2
27 มกราคม 2008, 13:24
|
||||
|
||||
|
แนวคิดของผม คร่าวๆ คือ ไม่ว่า่จะเลือกแบบไหนก็ตาม ในแต่ละหลัก(หรือแถว)ของ $A$ จะมีสมาชิกตัวเดียวเท่านั้นที่ถูกเลือก
เพราะ $a_{(i+1)j}-a_{ij}=1$ และ $a_{i(j+1)}-a_{ij}=n$ จึงไม่เสียนัยทั่วไปที่จะเลือกสมาชิกในแนวแทยงมุมทีละตัว ผลรวมที่มีค่าคงที่คือ $(1+2+\cdots+n)+n(n-1)=\frac{n}2(3n-1)$
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish.
|
|
#3
27 มกราคม 2008, 21:03
|
||||
|
||||
|
แนวทางเป็นอย่างที่คุณ nongtum บอกมา แต่ตอนท้ายอาจจะเขียนผิดไปนิดหน่อย
พิจารณาค่าของ $a_{s,t}$ ใดๆ จะพบว่า $a_{s,t} = (s-1)n + t$ การเลือกสมาชิกของ $A$ มารวมใน $S$ ตามวิธีข้างต้น จะได้สมาชิกของ $A$ มาแถวละตัว หรือคอลัมน์ละตัว เราได้ $a_{s,t}$ มา $n$ ตัว โดยที่ $s$ ไม่ซ้ำกัน และ $t$ ไม่ซ้ำกันเลย ดังนั้น ผลรวมที่ได้ หาได้จากการแทนค่า $s$ และ $t$ ตั้งแต่ $1$ ถึง $n$ จึงได้ $\begin{array}{rcl} S & = & (n + 2n + 3n + \cdots + (n-1)) + (1 + 2 + 3 + \cdots + n) \\ & = & \frac{n^2(n-1)}{2} + \frac{n(n+1)}{2} \\ & = & \frac{n(n^2+1)}{2} \end{array}$
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson.
|
|
#5
27 มกราคม 2008, 23:02
|
||||
|
||||
|
ผมคิดแบบนี้ครับ
 $\displaystyle{A=\bmatrix{0 & 0 & \cdots & 0 \\ n & n & \cdots & n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ (n-1)n & (n-1)n & \cdots & (n-1)n}+\bmatrix{1 & 2 & \cdots & n \\ 1 & 2 & \cdots & n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \cdots \\ 1 & 2 & \cdots & n}}$ เนื่องจากการเลือกสมาชิก n ตัวมาจาก A จะได้ว่าแต่ละตัวไม่อยู่ในแถวเดียวกับตัวอื่นละหลักเดียวกันตัวอื่น ดังนั้นผลรวมมีค่าเป็น$\displaystyle{(0+n+\cdots +(n-1)n)+(1+2+\cdots +n)=\frac{n(n^{2}+1)}{2}}$ ทำไปทำมาคล้าย ๆ ของพี่ TOP เลยครับ 
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$ BUT $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
|
|
#6
29 มกราคม 2008, 10:49
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson.
|
| |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน
|
||||
| หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
| แจกเฉพาะกิจ (เฟส 3) : Undergraduate and olympiad | passer-by | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 51 | 24 มีนาคม 2008 19:02 |
| ข้อสอบคัดตัว Olympiad สสวท. 2545 | ToT | ข้อสอบโอลิมปิก | 33 | 28 พฤศจิกายน 2007 18:04 |
| 4th posn final round ช่วยด้วยครับ | Art_ninja | ข้อสอบโอลิมปิก | 27 | 14 พฤษภาคม 2007 16:14 |
| The First POSN-Mathematical Olympiad | Rovers | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 1 | 24 เมษายน 2005 02:12 |
| British Mathematical Olympiad | Tony | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 14 | 15 เมษายน 2005 08:59 |
|
|
