หาค่ามากสุดน้อยสุดครับ

[Jew]

1.จงหาค่ามากสุดของ
$13(\sqrt{x^2-x^4})+9(\sqrt{x^2+x^4})$
$0\leqslant x \leqslant 1$
2.จงหาค่ามากสุดของ
$\frac{a^3+b^3+c^3}{bca}$
$1\leqslant a,b,c \leqslant 2$
3.จงหาค่ามากสุดของ
$\sum_{cyc} \frac{x}{1+x^2}$
x+y+z=1 x,y,z เป็นจัมนวนจริง

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Jew

1.จงหาค่ามากสุดของ

$13(\sqrt{x^2-x^4})+9(\sqrt{x^2+x^4})$

$0\leqslant x \leqslant 1$

2.จงหาค่ามากสุดของ

$\dfrac{a^3+b^3+c^3}{bca}$

$1\leqslant a,b,c \leqslant 2$

3.จงหาค่ามากสุดของ

$\sum_{cyc} \dfrac{x}{1+x^2}$
x+y+z=1 x,y,z เป็นจำนวนจริง

1. ตอบ 16 ครับ

แต่ถ้าไม่ใช้แคลคูลัสนี่น้ำตาเล็ดเลยครับ ตัวเลขโหดมาก

2. ตอบ $5$ ยังหาวิธีง่ายๆไม่ได้ ต้องใช้แคลคูลัสเข้ามายุ่งด้วยครับ

[owlpenguin]

ข้อสองนี่ทำแบบนี้ถูกหรือเปล่าครับ

ข้ัอ 2

ให้ $f:\left[1,2\right]\times\left[1,2\right]\times\left[1,2\right]\rightarrow\mathbb{R}$ โดย $f\left(a,b,c\right)=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}$
ได้ว่า $\dfrac{\partial f}{\partial a}=\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2b^2}{ca^3}+\dfrac{2c^2}{ba^3}>0$
และในทำนองเดียวกัน จะได้ว่าฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันนูนในสำหรับแต่ละตัวแปรในช่วง $\left[1,2\right]$ ซึ่งแปลว่าค่าสูงสุดจะเิกิดขึ้นเมื่อ $a,b,c\in\left\{1,2\right\}$ ซึ่งเราก็เช็คทีละกรณีไป จนสรุปได้ว่าค่าสูงสุดเกิดขึ้นเมื่อสองตัวใน $a,b,c$ มีค่าเป็น 1 ส่วนตัวที่เหลือมีค่าเป็น 2 และได้ค่าสูงสุดนั้นเป็น 5

[Jew]

ฟังก์ชั้นนูนที่เป็นคู่อันดับแบบค.ห.สาม
คีออะไรครับ
หาอ่านได้จากไหน
ผมเห็นในหนังสือสอวนอ่านแล้วก็ไม่เข้าใจอ่ะครับ
ป.ล.ใช้แคลเป็นแต่ข้อหนึ่งอ่ะครับส่วนข้อสองใช้ไม่เป็นไม่ทราบว่าใช้ยังหรือครับ
ป.ล. อยากทราบเกี่ยวกับ huygens ineq อ่ะครับ

[nut123]

ปลุกหน่อยครับ

[nooonuii]

ทฤษฎีที่ผมใช้มีอยู่ว่า

ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันที่นิยามบน convex polytope และ $f$ เป็นฟังก์ชันนูนในทุกตัวแปรแล้วจุด

ที่ทำให้เกิดค่าสูงสุดกับค่าต่ำสุดของฟังก์ชันจะอยู่ที่จุดมุม

----------------------------------------------------------------------------

ทฤษฎีบทนี้ถ้าใครได้เรียนกำหนดการเชิงเส้นก็คงพอจะรู้จัก ที่เรากล่าวว่า

ปัญหากำหนดการเชิงเส้นจะมีค่าสูงสุดต่ำสุดอยู่ที่จุดมุมของอาณาบริเวณที่เกิดจากเงื่อนไขบังคับ

ข้อความนี้ก็คือการประยุกต์ทฤษฎีบทนี้โดยตรงครับ เพราะฟังก์ชันเชิงเส้นมันเป็นฟังก์ชันนูนในทุกตัวแปร

ส่วนเงื่อนไขบังคับถ้านำมาสร้างเซตก็จะได้ convex polytope

-----------------------------------------------------------------------------

convex polytope คือ เซตที่เกิดจากการตัดกันของอสมการของระนาบ

ถ้าเป็นหลายมิติเราจะเรียกระนาบเหล่านี้ว่า hyperplane

ระนาบพวกนี้แท้จริงแล้วมันก็คือสมการเส้นตรงที่เรารู้จักนั่นเองครับ

-----------------------------------------------------------------------------

สำหรับโจทย์ข้อนี้ เซต $[1,2]\times [1,2]\times [1,2]$ มันเป็น convex polytope อยู่แล้วล่ะครับ

เพราะมันคือรูปลูกบาศก์ที่เรารู้จักนั่นเอง ถ้าจะให้เขียนเป็นอสมการระนาบมันก็คืออาณาบริเวณที่เกิดจากการตัดกันของอสมการระนาบ

$x\geq 1$

$x\leq 2$

$y\geq 1$

$y\leq 2$

$z\geq 1$

$z\leq 2$

ในสามมิตินั่นเอง

ตัวฟังก์ชันก็เช็คได้ไม่ยากว่าเป็นฟังก์ชันนูน

ดังนั้นค่าสูงสุดต่ำสุดจะเกิดที่จุดมุมเท่านั้น ซึ่งก็เหมือนที่น้อง owlpenguin แสดงให้ดูนั่นแหละครับ

[Keehlzver]

ในที่สุดพี่ Nooonuii ก็อธิบายให้ซักที ทีเเรกก็กะจะเอามาถามเเล้วเเหละครับ เเต่เป็นเเบบลูกบาศก์ 5 มิติเเทน ผมก็งงว่าทำไมค่าสูงสุดของฟังก์ชั่นนูนใน $n$ ตัวเเปรจะต้องเกิดที่จุดยอมมุมของรูปลูกบาศก์ $n$ มิติที่ $2^n$ จุดยอด ไม่ยักจะเกิดเเบบทรงสี่หน้า หรือพวก tetrahedron ทีนี้ก็พอรู้เเล้วครับว่าืทำไมต้องเป็นลูกบาศก์ ตอนนี้อยากถามพี่ Nooonuii ครับว่ากรณีืที่เป็นลูกบาศก์ 5 มิตินี่ เราจะเอาไปเขียนดูค่าสูงสุดในระนาบ 3 มิติ ยังไงอ่ะครับ พอเริ่มจากลูกบาศก์ 3 มิติเเล้วจะเขียนรูปเพิ่มเป็น 4-5 มิติยังน่ะครับ ผมยังนึกภาพไม่ออกเลย

[nut123]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ทฤษฎีที่ผมใช้มีอยู่ว่า

ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันที่นิยามบน convex polytope และ $f$ เป็นฟังก์ชันนูนในทุกตัวแปรแล้วจุด

ที่ทำให้เกิดค่าสูงสุดกับค่าต่ำสุดของฟังก์ชันจะอยู่ที่จุดมุม

----------------------------------------------------------------------------

ทฤษฎีบทนี้ถ้าใครได้เรียนกำหนดการเชิงเส้นก็คงพอจะรู้จัก ที่เรากล่าวว่า

ปัญหากำหนดการเชิงเส้นจะมีค่าสูงสุดต่ำสุดอยู่ที่จุดมุมของอาณาบริเวณที่เกิดจากเงื่อนไขบังคับ

ข้อความนี้ก็คือการประยุกต์ทฤษฎีบทนี้โดยตรงครับ เพราะฟังก์ชันเชิงเส้นมันเป็นฟังก์ชันนูนในทุกตัวแปร

ส่วนเงื่อนไขบังคับถ้านำมาสร้างเซตก็จะได้ convex polytope

-----------------------------------------------------------------------------

convex polytope คือ เซตที่เกิดจากการตัดกันของอสมการของระนาบ

ถ้าเป็นหลายมิติเราจะเรียกระนาบเหล่านี้ว่า hyperplane

ระนาบพวกนี้แท้จริงแล้วมันก็คือสมการเส้นตรงที่เรารู้จักนั่นเองครับ

-----------------------------------------------------------------------------

สำหรับโจทย์ข้อนี้ เซต $[1,2]\times [1,2]\times [1,2]$ มันเป็น convex polytope อยู่แล้วล่ะครับ

เพราะมันคือรูปลูกบาศก์ที่เรารู้จักนั่นเอง ถ้าจะให้เขียนเป็นอสมการระนาบมันก็คืออาณาบริเวณที่เกิดจากการตัดกันของอสมการระนาบ

$x\geq 1$

$x\leq 2$

$y\geq 1$

$y\leq 2$

$z\geq 1$

$z\leq 2$

ในสามมิตินั่นเอง

ตัวฟังก์ชันก็เช็คได้ไม่ยากว่าเป็นฟังก์ชันนูน

ดังนั้นค่าสูงสุดต่ำสุดจะเกิดที่จุดมุมเท่านั้น ซึ่งก็เหมือนที่น้อง owlpenguin แสดงให้ดูนั่นแหละครับ

ยังไม่ได้เรียนเลยครับ
พอจะมีหนังสือไหมครับจะได้ศึกษาบทพิสูจน์และตัวอย่างโจทย์ด้วยครับ
รบกวนช่วยอธิบายเพิ่มเกี่ยวกับ convex polytope
และอยากทราบว่ามันเป็นรูปลุกบาศก์ยังไงน่ะครับ
ป.ล. นอกเรื่องหน่อยหนึ่งนะครับอยากทราบว่าใครเคยอ่านหนังสือสือเรื่อง algebraic old and new method บ้างครับ
ไม่ทราบว่าดีรึปล่าวพอดีจะสั่งซื้อครับ

[กิตติ]

algebraic old and new method ของTitu...มีให้โหลดฟรี...ลองใส่ชื่อหนังสือลงในgoogle
algebraic old and new method+rar....รับรองมีให้โหลดเพียบ
ผมกำลังอ่าน....เป็นหนังสือที่เขาใช้เตรียมตัวสอบแข่งolympaid......ยากไหม เหอะๆหัวผมไม่ค่อยดี อ่านแล้วรู้สึกว่ายากเอาเรื่อง วางไปแล้ว
อีกเล่มที่ผมว่าน่าอ่าน...Secrets in inequalities....มีโหลดฟรีเหมือนกัน
วันนี้เพิ่งไปซื้อหนังสือ โลกของอสมการเล่ม2มาอ่าน ไม่รู้ว่าจะรู้เรื่องไหม ลองดูสักตั้ง

[Keehlzver]

คุณหมอกิตติจำผิดหรือเปล่าครับ เล่ม Algebraic inequalities old and new method เขียนโดย Vasile Cirtoaje นะครับ ส่วนของ Titu เล่มคล้ายๆกันน่าจะเป็น Old and new inequalities มากกว่าครับ เพราะผมลอง Search ดูเเล้วไม่เจอจริงๆ เล่ม Algebraic ก็อยากได้มานานเเล้วเหมือนกัน เเต่หา Link โหลดไม่ได้ครับ (เจอเเล้วอย่าลืมเเจกของดีๆนะครับ )

[กิตติ]

Algebraic inequalities old and new method ....น่าจะใช่ครับ ผมน่าจะจำผิด เพราะเล่มนี้ผมตะลุยหาอ่านของฟรีแล้วไม่เจอจริงๆ ผมคงสับสนกับเล่มที่น้องKeehlzerบอก...รู้สึกว่าจะมีเล่มที่Tituเขียนร่วมกับVasile Cirtoajeหนึ่ง เดี๋ยวลองค้นดูก่อนว่าชื่ออะไรเดี๋ยวบอกชื่อผิดอีก

[กิตติ]

ผมเพิ่งโหลดเล่มนี้มาอ่านดู...Inequalities:A Mathematical Olympiad Approachของสำนักพิมพ์ Birkhäuser ในเยอรมัน....โหลดมาดูเพราะฟรี.....อ่านได้สิบหน้าแรกแล้วก็ติด...อายุมาก สมองย่อยความรู้ช้ามากๆ
ส่วนเล่มที่TituกับVasileคือเล่มOld and new inequalities ....
เล่มAlgebraic inequalities old and new methodยังหาโหลดไม่ได้ครับ....หายากมากครับ เป็นเล่มในตำนานเสียแล้วมั้งครับ

[Siren-Of-Step]

ของผม อ่าน Secret of inequality อยู่ครับ คุณกิตติ ลองหาดูครับ เห็นว่ากระทู้เก่า ๆ มีคนโพสไว้อยู่ หรือถ้าไม่มีก็ใน google

[กิตติ]

Secret of inequality...เล่มนี้ที่มีแจกกันเป็นvol.1 เป็นBasic ส่วนvol.2ที่เป็นAdvancedยังไม่มีใครแจก
หนังสือของทางเวียตนามที่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์น่าอ่านเยอะ เวปไซด์เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ก็เยอะ...ติดอย่างเดียวเป็นภาษาเวียตนาม
เล่มที่แจกกัน ผมลองอ่านบทแรกๆแล้วน่าสนใจเพราะมีวิธีคิดต่างจากเล่มอื่น
Inequalityนี่ยากเอาเรื่องแค่AM-GMมีเทคนิคคิดเยอะ ผมย่อยช้ามากเลย คงต้องรออีกสามปีมั้งครับกว่าจะเข้าใจ55555

[Keehlzver]

ลองหาดูเเล้วครับ จาก Google ใช้คำว่า Inequalities:A Mathematical Olympiad Approach หาดูเเล้วมีเเต่ Link หมดอายุ ไฟล์ถูกลบ ผมโหลดมาเเบบ Bittorrent มี Seeder 2 คน ครึ่งชั่วโมงขึ้นมาได้ 1% โหลดได้ตัวไฟล์จาก Rapidshare เป็น .rar ก็โดน Lock ไฟล์ถามหา Password อีกเเน่ะครับ รบกวนโพส Link ให้หน่อยได้ไหมครับ หรือไม่ก็ขอ Password ก็ได้ (ผมโหลดไฟล์ได้ตัวไฟล์ชื่อว่า Birkhauser.Inequalities.A.Mathematical.Olympiad.Approach.Oct.2009.eBook-ELOHiM.rar เเต่ติด Pass)