โจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์ สวัสดีปีใหม่ 2548 ครับ

[warut]

อ้าว...มัวแต่พิมพ์เฉลยข้อ 17 ลืม refresh เลยไม่เห็นว่าคุณ nooonuii
มาตอบเรื่องข้อ 7 ไปแล้ว ขอบคุณครับสำหรับคำชม ใช่แล้วผมควรต้อง
ใส่เหตุผลเรื่อง (n ณ 2) ไว้ด้วย ปกติผมก็ไม่ลืมนะ

โอ้โห...วิธีคิดข้อ 17 ของคุณ nooonuii นี่สวยงามมากจริงๆ แบบนี้ผม
ต้องขอบันทึกลงสมุดโน๊ตไว้เลย

คุณ nooonuii เคยอ่านหนังสือของ Paulo Ribenboim ชื่อ
"Fermat's Last Theorem for Amateurs" รึยัง ถ้ายังผมขอ
แนะนำ เหมาะกับผู้สนใจเรื่อง Fermat's Last Theorem มากครับ

ผมว่าคุณ nooonuii คงสอบ qualify ผ่านสบายๆอยู่แล้วล่ะครับ
เพราะความรู้แน่นจริงๆ โชคดีครับ

[nooonuii]

อืม รู้สึกว่าเทอมที่แล้วผมจะเจอหนังสือเล่มนี้มาครั้งนึงแล้วครับ แต่เทอมที่แล้วเรียนหนักมากก็เลยวางไว้ที่ชั้นหนังสือไม่ได้ยืมมาอ่านเป็นเรื่องเป็นราว เอาไว้ว่างๆผมคงต้องเข้าไปคลุกวงในกับหนังสือเล่มนี้ซะหน่อยแล้วล่ะครับ ขอบคุณคุณ warut มากๆครับที่แนะนำหนังสือดีๆมาให้อ่าน

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
18. จงหาพหุนาม P(x) ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องคุณสมบัติ
\[ P(\frac{x+y}{2}) = \frac{P(x)+P(y)}{2} \]
ทุกจำนวนจริง x,y

เฉลย: จะเห็นว่าถ้า P(x) = ax + b โดยที่ a, b เป็นจำนวนจริง (หรือเชิงซ้อน) ใดๆ
แล้วสมการโจทย์จะเป็นจริง

สมมติให้
\[P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0\]
เป็น polynomial degree n ณ 1
เรารู้ว่าถ้าเรา differentiate P(x) ไป n ครั้งจะได้ constant function:
\[P^{\left(n\right)}\left(x\right)=n!a_n\]
ดังนั้น ถ้าเรา differentiate สมการโจทย์เทียบกับ x ไป n ครั้ง จะได้
\[\frac{1}{2^n}P^{\left(n\right)}\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{1}{2}P^{\left(n\right)}\left(x\right)\]
นั่นคือ
\[\frac{n!a_n}{2^n}=\frac{n!a_n}{2}\]
แสดงว่า n มีค่าได้ไม่เกิน 1 สรุปได้ว่าคำตอบทั้งหมดของโจทย์ข้อนี้ก็คือ
คำตอบที่กล่าวไว้ตั้งแต่ต้นแล้วนั่นเอง

[aaaa]

19. ให้ \( a_1,a_2,\ldots,a_n \) เป็นจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย \( D=\{z:|z|=1\} \) จงพิสูจน์ว่ามีจุด \( z_0\in D \) ซึ่ง
\[
|z_0-a_1|+|z_0-a_2|+\cdots+|z_0-a_n|\geq n
\]

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ aaaa:
--------------------------------------------------------------------------------------------
19. ให้ \( a_1,a_2,\ldots,a_n \) เป็นจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย \( D=\{z:|z|=1\} \) จงพิสูจน์ว่ามีจุด \( z_0\in D \) ซึ่ง
\[
|z_0-a_1|+|z_0-a_2|+\cdots+|z_0-a_n|\geq n
\]
--------------------------------------------------------------------------------------------

จะพิสูจน์โดยใช้ Lemma ต่อไปนี้

\( Lemma \) : ให้ a เป็นจำนวนเชิงซ้อน จะได้ว่ามีจำนวนเชิงซ้อน \( z_{0} \) ซึ่ง \( |z_{0}|=1 \) และ \( |z_{0}+a|\geq 1 \)

\( Proof \) : ให้ \( a = re^{i\theta} \) เลือก \( z_{0} = e^{i\theta} \) จะได้ z₀ สอดคล้องเงื่อนไขตามต้องการ

ต่อไปจะพิสูจน์โจทย์ข้อ 19

ให้ \[ a = - (\frac{a_{1}+...+a_{n}}{n}) \]
โดย Lemma ข้างบน จะมี \( z_{0} \) บนวงกลมหนึ่งหน่วยซึ่งทำให้
\[ |z_{0} - \frac{a_{1}+...+a_{n}}{n}| \geq 1 \]
ดั้งนั้น \( |z_{0}-a_{1}|+...+|z_{0}-a_{n}| \geq |nz_{0} - (a_{1}+...+a_{n})| \geq n \)

P.S. สังเกตว่า จุด a_i เป็นจุดใดๆบนระนาบเชิงซ้อนก็ได้

[aaaa]

20. จากโจทย์ข้อเดียวกันในข้อ 19. จงแสดงว่ามีจุด \( |z_0|=1 \) ที่ทำให้
\[
|z_0-a_1|\cdots|z_0-a_n|\geq1
\]

[nooonuii]

อ่าเพิ่งเห็นนะครับเนี่ย ว่าคุณ aaaa เอาโจทย์ข้อนั้นของผมมาประยุกต์

เฉลยข้อ 20 จาก Lemma ในข้อที่แล้วจะได้ว่า \( \displaystyle{sup_{|z|=1}|z+a|} \geq 1 \)
ให้ \( f(z) = (z-a_{1}) \dots (z-a_{n}) \)
จะได้ว่า
\( \displaystyle{sup_{|z|=1}|f(z)|\geq 1} \)

แต่ วงกลมหนึ่งหน่วยเป็น compact set และ |f(z)| เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง
ดังนั้น โดย Maximum Value Theorem จะมี \( z_{0} \) บนวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งทำให้
\[ |z_{0}-a_{1}|\dots |z_{0}-a_{n}| \geq 1 \]

P.S. ถ้าพิสูจน์ข้อ 20 ได้ ข้อ 19 ก็จะเป็นผลพลอยได้ของข้อ 20 โดยอสมการ AM-GM

[aaaa]

เอเดี๋ยวนะครับ ตรงที่หลังจากได้ว่า \( \sup_{|z|=1}|z+a|\geq1 \) แล้วทำไมถึงได้ว่า \( \sup_{|z|=1}|z-a_1|\cdots|z-a_n|\geq1 \) ละครับ

[nooonuii]

ถ้า A,B เป็นเซตของจำนวนจริงไม่ลบทั้งคู่จะได้ว่า sup AB = (sup A)(sup B)

อืมต้องเป็นเซตของจำนวนจริงบวกสิ

[aaaa]

ผมว่า \( \sup{AB}\leq\sup{A}\sup{B} \) อาจจะไม่เท่ากัน

[nooonuii]

โอ๊ะโอ ถ้างั้นผมมาผิดทางรึปล่าวเนี่ย เดี๋ยวต้องไปเช็คอีกรอบครับ

เอ๊ะ ๆๆๆ ถ้าเราพิจารณาแค่ sup โดย ignore รากผมก็ว่าได้นะ

[aaaa]

ข้อ 20 นี่เป็น climax ครับ ข้อ 19 นั่นเป็นเพียงแค่น้ำจิ้ม