มาราธอน ม.ต้น

[จูกัดเหลียง]

ผมตั้งโจทย์ต่อเลยนะครับ
กำหนด $x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาค่าที่มากที่สุดของ $x+y$
เมื่อ $$\frac{1}{x^3-4x^2+3x+2}+\frac{1}{y^3-4y+2}=1$$

[คนอยากเก่ง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

ผมตั้งโจทย์ต่อเลยนะครับ
กำหนด $x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาค่าที่มากที่สุดของ $x+y$
เมื่อ $$\frac{1}{x^3-4x^2+3x+2}+\frac{1}{y^3-4y+2}=1$$

7 ปะครับหรือ ไม่ก็ 5 ช่วยแสดงวิธีทำด้วยครับ

$\frac{n^3-3n-2+\left(\,n^2-1\right)\left(\,\sqrt{n^2-4} \right)}{n^3-3n+2+\left(\,n^2-1\right)\left(\,\sqrt{n^2-4} \right)} -1=\frac{2}{\sqrt{5}}-1$
แล้วเทียบ สปส.

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

ผมตั้งโจทย์ต่อเลยนะครับ
กำหนด $x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาค่าที่มากที่สุดของ $x+y$
เมื่อ $$\frac{1}{x^3-4x^2+3x+2}+\frac{1}{y^3-4y+2}=1$$

$\frac{1}{x^3-4x^2+3x+2}+\frac{1}{y^3-4y+2}=1$

ให้ $a=x^3-4x^2+3x+2,b=y^3-4y+2$ ก็จะได้ว่า $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$
หรือ $a+b=ab$ นั่นเอง เย่ๆ เอาใหม่เป็น $(a-1)(b-1)=1$
แต่ a,b เป็นจำนวนเต็มจะได้ a=b=0 หรือ a=b=2
ถ้า a=b=0 พิจารณาตรง b $y^3-4y+2=0$ เช็คได้ง่ายๆว่าไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก
ดังนั้นกรณีนี้ไม่มีคำตอบ
ถ้า a=b=2 แก้สมการเองจะได้ว่า $x=0,1,3$ , $y=0,2$
สุ่มไปสุ่มมาได้ค่ามากสุดของ x+y เป็น 5 (ห้านะฮ้า)

เห็นแต่พีชคณิตมามากมาย ขอเป็นเรขาคณิตก็แล้วกัน
เป็นโจทย์ตรีโกณ แต่!!!!!!!ขอวิธีทำแบบไม่ใช้ตรีโกณม.ปลาย
จงหาค่าของ $cos20^{\circ}cos40^{\circ}cos60^{\circ}cos80^{\circ} $

ปล.นั่นคือ ไม่มีการใช้สูตรผลบวกหรือผลต่างมุม , มุมสองเท่า , มุมสามเท่า ฯลฯ

[คนอยากเก่ง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

$\frac{1}{x^3-4x^2+3x+2}+\frac{1}{y^3-4y+2}=1$

ให้ $a=x^3-4x^2+3x+2,b=y^3-4y+2$ ก็จะได้ว่า $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$
หรือ $a+b=ab$ นั่นเอง เย่ๆ เอาใหม่เป็น $(a-1)(b-1)=1$
แต่ a,b เป็นจำนวนเต็มจะได้ a=b=0 หรือ a=b=2
ถ้า a=b=0 พิจารณาตรง b $y^3-4y+2=0$ เช็คได้ง่ายๆว่าไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก
ดังนั้นกรณีนี้ไม่มีคำตอบ
ถ้า a=b=2 แก้สมการเองจะได้ว่า $x=0,1,3$ , $y=0,2$
สุ่มไปสุ่มมาได้ค่ามากสุดของ x+y เป็น 5 (ห้านะฮ้า)

เห็นแต่พีชคณิตมามากมาย ขอเป็นเรขาคณิตก็แล้วกัน
เป็นโจทย์ตรีโกณ แต่!!!!!!!ขอวิธีทำแบบไม่ใช้ตรีโกณม.ปลาย
จงหาค่าของ $cos20^{\circ}cos40^{\circ}cos60^{\circ}cos80^{\circ} $

ปล.นั่นคือ ไม่มีการใช้สูตรผลบวกหรือผลต่างมุม , มุมสองเท่า , มุมสามเท่า ฯลฯ

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=13353
ผมใช้ ทฤษฎี 2 อะครับ
แล้ว....มันจะได้ ค่าสูงสุด xy=6 =1*6
=6+1=7 ใช้ไม่ได้หรอครับ

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คนอยากเก่ง

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=13353
ผมใช้ ทฤษฎี 2 อะครับ
แล้ว....มันจะได้ ค่าสูงสุด xy=6 =1*6
=6+1=7 ใช้ไม่ได้หรอครับ

งงครับ..คือผมอ่านคอมเม้นนี้แล้วคิดว่า
คุณคนอยากเก่งให้ xy=6 และ x+y=7 ใช่ไหมครับ??
คือ..ถ้าแทน x=6,y=1 หรือ x=1,y=6
ลงในสมการที่กำหนด ปัญหาคือมันใช้ไม่ได้น่ะสิ

[DOMO]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

เห็นแต่พีชคณิตมามากมาย ขอเป็นเรขาคณิตก็แล้วกัน
เป็นโจทย์ตรีโกณ แต่!!!!!!!ขอวิธีทำแบบไม่ใช้ตรีโกณม.ปลาย
จงหาค่าของ $cos20^{\circ}cos40^{\circ}cos60^{\circ}cos80^{\circ} $

ปล.นั่นคือ ไม่มีการใช้สูตรผลบวกหรือผลต่างมุม , มุมสองเท่า , มุมสามเท่า ฯลฯ

ผมใช้สูตร $cosA = \frac{sin2A}{2sinA}$

แล้วก็แทนค่า ได้ $\frac{1}{16}$ ครับ (นี่ม.ปลาย ปะครับ)

[คนอยากเก่ง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

งงครับ..คือผมอ่านคอมเม้นนี้แล้วคิดว่า
คุณคนอยากเก่งให้ xy=6 และ x+y=7 ใช่ไหมครับ??
คือ..ถ้าแทน x=6,y=1 หรือ x=1,y=6
ลงในสมการที่กำหนด ปัญหาคือมันใช้ไม่ได้น่ะสิ

โทษครับ ลืมแทน

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ DOMO

ผมใช้สูตร $cosA = \frac{sin2A}{2sinA}$

แล้วก็แทนค่า ได้ $\frac{1}{16}$ ครับ (นี่ม.ปลาย ปะครับ )

ใช่ครับ 555+

[ShaDoW MaTH]

แล้วจะคิดอย่างไงหรอครับ ขอ hint หน่อยครับ

[คนอยากเก่ง]

Shur's inequality คืออะไรเหรอครับ

[LightLucifer]

อสมการที่ใช้ ในคณิตระดับโอลิมปิก อ่ะครับ
http://en.wikipedia.org/wiki/Schur%27s_inequality
รูปที่ใช้บ่อยคือ $(a+b+c)^3+9abc \ge 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$
แต่ข้อนั้นมันโหดจริงๆครับ เป็น National Olympiad ของที่ไหนสักที่แหละครับ

[LightLucifer]

ผมไม่สนับสนุนให้โพสโจทย์โอลิมปิกในห้องมัธยมต้นนะครับ
ถ้าอยากจะรู้วิธีจริงๆก็โพสในห้องอสมการจะดีกว่า
ส่วนข้อนั้น คุณ nooonuii กับ พี่ RoseJoker โพสเฉลยไว้แล้วครับ

[คนอยากเก่ง]

อยากทราบอีกอย่างนึงว่า จากอันนี้

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ราชาสมการ

เฮ้อ เงียบตลอดเลยครับ กระทู้นี้
$\frac{a-b}{c} +\frac{b-c}{a} +\frac{c-a}{b} = \frac{-(a-b)(b-c)(c-a)}{abc} $
จากการกระจายถึก
ให้ $b-c = x ,c-a = y ,a-b = z$
เราจะได้ว่า $ a= \frac{y-z}{-3}, b=\frac{z-x}{-3} , c=\frac{x-y}{-3} $
ดังนั้น
$\frac{a}{b-c}+ \frac{b}{c-a} +\frac{c}{a-b}= \frac{1}{-3} (\frac{x-y}{z} \frac{y-z}{x} \frac{z-x}{y} ) $
จัดรูปได้เป็น $\frac{(-3c)(-3a)(-3b)}{3(a-b)(b-c)(c-a)} $
คูณกัน ตอบ 9 ครับ เหนื่อยมาก

ขอตั้งโจทย์ต่อละกันนะครับ
$\frac{x^{2}-2}{1} +\frac{x^{2}-3}{2} +\frac{x^{2}-4}{3} +...+\frac{x^{2}-2011}{2010} = -2010$
จงหาค่า$ x^{2}+2012$

$\frac{a-b}{c} +\frac{b-c}{a} +\frac{c-a}{b} = \frac{-(a-b)(b-c)(c-a)}{abc}$
จัดรูปอย่างไรครับ

[Scylla_Shadow]

มีแต่คนเมิน TT

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ShaDoW MaTH

แล้วจะคิดอย่างไงหรอครับ ขอ hint หน่อยครับ

สร้างสามเหลี่ยม classic 20-80-80 (หมายถึงมุมนะ)
ลากเส้นอีก2-3 เส้น จากนั้นก็ได้ ค่าที่ต้องการมาครับ (พูดง่าย แต่ทำยาก)

[OMG]

กำหนด $a = \sqrt{3} + \frac{4-2\sqrt{3} }{\sqrt[3]{10-6\sqrt{3} } }$ ค่า $a^6+a^3+1$ มีค่าเท่าไหร่