โจทย์ขอความช่วยเหลือ

[Bonegun]

ไม่ได้เข้ามาตั้งนาน
วันนี้ไปเจอโจทย์มา แต่ผมสนิมขึ้นไปเยอะมาก ช่วยเคาะออกทีครับ

ให้ m n เป็นจำนวนเต็มบวก
จงหา m n ที่ทำให้

$3^m+3^n+1$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์



ปล.

ผมทำถึงว่า
(ให้ m<n กรณี ที่เท่ากันพิสูจน์ไปแล้ว)

ให้ $3^m+3^n+1 = k^2$

$3^m(1+3^{n-m}) = k^2-1$

ทีนี้ถ้าพิจาราณา มันก็จะได้ข้อขัดแย้ง
แต่ผู้แต่งโจทย์ แย้งว่า

เทอมซ้ายมือ $3^m(1+3^{n-m})$

แน่ใจได้ไงว่าต้องแยกได้แบบนี้

ผมลองแยก mod 4 mod 10 แล้วก็ไม่ไหว
หรือว่า มันมีอะไรบังตา

ช่วยทีคร้าบบ

[Influenza_Mathematics]

วิธีทำ
เพราะว่า $k^2 -1 \equiv 0,15 \pmod{16}$ ทุกจำนวนเต็มบวก $k$
แต่ $3^a \equiv 1,3,9,11 \pmod{16}$ โดยที่ $a=m,n$
เพราะฉะนั้นไม่มีจำนวนเต็มบวก $m,n$ ที่ทำให้ $3^m+3^m + 1 = k^2$

[LightLucifer]

#2
$2^2-1 \equiv 3 \pmod{16}$

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

#2
$2^2-1 \equiv 3 \pmod{16}$

ผมเบลอเองครับ นึกว่ากำลังสี่ อันบน

[LightLucifer]

ช่วยเช็คแนวคิดของผมหน่อยครับ มันออกจะแปลกๆ =="

$3^m(1+3^{n-m})=(k-1)(k+1)$
สังเกตุว่า $k \equiv \pm 1 \pmod{3} $

กรณีที $k=3a+1$
$3^m(1+3^{n-m})=(3a)(3a+2)$
$3^{m-1}(1+3^{n-m})=(a)(3a+2)$
แต่ $3^{m-1} \nmid 3a+2$ ดังนั้น $3^{m-1}|a\rightarrow a=3^{m-1}k$
จะได้ $1+3^{n-m}=k(3^mk+2)\rightarrow k=\frac{-2\pm \sqrt{4+4(3^n+3^m)} }{2(3^m)}= \frac{-1\pm \sqrt{1+3^n+3^m} }{3^m}=\frac{-1\pm k}{3^m} $
$3^mk=-1\pm k$ แต่ $k$|LHS จะได้ว่า $k|1$ Contradiction!

กรณีที $k=3a-1$
$3^m(1+3^{n-m})=(3a-2)(3a)$
$3^{m-1}(1+3^{n-m})=(a)(3a-2)$
แต่ $3^{m-1} \nmid 3a-2$ ดังนั้น $3^{m-1}|a\rightarrow a=3^{m-1}k$
จะได้ $1+3^{n-m}=k(3^mk-2)\rightarrow k=\frac{2\pm \sqrt{4+4(3^n+3^m)} }{2(3^m)}= \frac{1\pm \sqrt{1+3^n+3^m} }{3^m}=\frac{1\pm k}{3^m} $
$3^mk=1\pm k$ แต่ $k$|LHS จะได้ว่า $k|1$ Contradiction!

[Bonegun]

ขอบคุณมากคับ สำหรับแนวคิด

ล่าสุด ได้ใบ้มา แล้วก็ทำได้ละคับ

เช็ก mod 8 คับ

แต่ก่อนอื่นต้องพิสูจน์ว่า

เศษจากการหาร $3^m$ ด้วย 8 มีเพียง 1 กับ 3

แล้วก็จะขัดแย้ง กับ เศษจาการหาร กำลังสองสมบูรณ์ด้วย 8