ช่วยคิดโจทย์ด้วยนะครับ

Art_ninja · #1 09 มิถุนายน 2007, 20:06

ผมทำโจทย์ไปเรื่อยๆ ก็เจอข้อที่คิดไม่ออก

ช่วยหน่อยนะครับ

1. ให้ $a,b,c\in \mathbb{Z^+} $ โดยที่ $\frac{1}{a} +\frac{1}{b} =\frac{1}{c}$ และ a ไม่เท่ากับ b
จงเเสดงว่า $a+b$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์
2. ให้ $p+1=2x^2$ และ $p^2+1=2y^2$ โดยที่ $x,y\in\mathbb{Z}$ จงหาจำนวนเฉพาะ $p$ ทั้งหมด
ยังไม่มีใครช่วยเลยอ่ะTT

gon · #2 11 มิถุนายน 2007, 00:39

ข้อแรกไม่จริงครับ.

เช่น ถ้า a = b = 4 , c = 2 จะได้ว่า a + b = 8 ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

Art_ninja · #3 11 มิถุนายน 2007, 04:10

ขออภัยครับ a ไม่เท่ากับ b ครับ(แก้โจทย์แล้ว)

gon · #4 11 มิถุนายน 2007, 09:56

ก็ยังไม่จริงอยู่ดีครับ. เช่น ถ้า a = 12030 , b = 2406 , c = 2005

จะได้ว่า $\frac{1}{2005} = \frac{1}{12030} + \frac{1}{2406}$

แต่ 12030 + 2406 = 14436 ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

Art_ninja · #5 11 มิถุนายน 2007, 19:33

เหอๆ พี่ gon หาข้อขัดแย้งได้เก่งจริงๆ

ผมยังทำขนาดนั้นไม่ไหวเลยครับ โอเคครับ ผมจะลองคิดดูว่าโจทย์ผิดหรือเปล่า แล้วขอคำแนะนำข้อ 2 ด้วยครับ
ผมคำนวณได้ว่า $p=7$ แต่ไม่รู้ว่าจะพิสูจน์อย่างไรว่าไม่มีตัวอื่นอีก แนะนำด้วยครับ

gon · #6 12 มิถุนายน 2007, 20:57

ข้อ 1. เข้าใจว่า ผู้ตั้งปัญหาอาจจะนำเอกลักษณ์ $\frac{1}{ab} = \frac{1}{b-a}(\frac{1}{a} - \frac{1}{b})$ ไปเล่นดูครับ. ซึ่งก็จะได้ว่า

$\frac{1}{ax} = \frac{1}{x(x+a)} + \frac{1}{a(x+a)}$

ตรงนี้ชัดเจนว่า $x(x+a) + a(x+a) = (x+a)^2$

แต่ถ้านำจำนวนเต็ม 1/b โดยที่ จำนวนเต็ม b ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ มาคูณตลอดจะได้

$\frac{1}{bax} = \frac{1}{bx(x+a)} + \frac{1}{ba(x+a)}$

ผลบวกของตัวส่วนก็จะได้ $b(x+a)^2$ โชคดีของเราจึงหมดไปครับ.

สำหรับข้อ 2. ยังคิดไม่ออกครับ.... เรื่องทฤษฎีจำนวนจะว่าไปแล้ว พี่ไม่ถนัดเลยครับ.

Art_ninja · #7 13 มิถุนายน 2007, 18:30

แนวคิดคร่าวๆของข้อสองนะครับ

$p+1=2x^2$ จับยกกำลังสอง
$p^2+2p+1=4x^4$
$p=2x^4-y^2 $ และจาก $p^2+2p+1=4x^4$ จะได้ว่า
$p^2=4x^4-4x^2+1=(2x-1)^2$
$\therefore p=-(2x-1)$ หรือ $2x-1$
CaseI
$p=-(2x-1)$ จะได้ว่า $2x^2+2x-2=0$ ทำให้ได้ว่ากรณีนี้ไม่มีคำตอบ
CaseII
$p=2x-1$ จะได้ว่า $x=2$ ทำให้ได้ว่า $y=5$ และ $p=7$
จากทั้งสองกรณีจะได้ว่า p=7 ค่าเดียว

nongtum · #8 13 มิถุนายน 2007, 18:55

Case II ลองคิดตามได้แบบนี้ครับ: $p=2x-1=2x^2-1$ ดังนั้น $x=0,1\ne2$
อีกอย่างผมสงสัยว่าสมการ $p=2x^4-y^2$ คิดมาแล้วเอาไปใช้ตรงไหนในโจทย์อีกครับ(ไม่นับ Case II นะครับ เพราะยังมีปัญหา)
เพราะถ้าทำอย่างที่ทำมา มันใช้จริงๆแค่สมการแรกสมการเดียวเองนะครับ

Art_ninja · #9 13 มิถุนายน 2007, 19:06

ในที่สุดก็ผิดพลาดจนได้นะครับ

ผลก็คือยังคิดไม่ออกจริงๆ

พี่ nongtum ช่วยแสดง full solution ด้วยครับ

gon · #10 13 มิถุนายน 2007, 21:06

จากการลองใช้ Mathematica โปรแกรมสุดเจ๋ง ลองคิดดู ถ้าไม่พลาดคำนวณไปประมาณ 1 หมื่นชุด

เจออยู่ 2 คำตอบ คือ p = 7 กับ 41 ครับ.

Art_ninja · #11 14 มิถุนายน 2007, 19:56

41 ใช้ไม่ได้ครับ ดูเหมือนว่าพี่ gon จะพลาดแล้วนะครับ

เพราะว่า เมื่อแทน $p$ ด้วย 41 แล้ว จะได้ว่า $x$ และ $y$ ไม่เป็นจำนวนเต็มครับ

Art_ninja · #12 17 มิถุนายน 2007, 18:44

พี่ gon รบกวนช่วยคิดให้ออกเร็วๆด้วยนะครับ

gon · #13 18 มิถุนายน 2007, 12:46

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Art_ninja

พี่ gon รบกวนช่วยคิดให้ออกเร็วๆด้วยนะครับ

คิดไม่ออกครับ..

เอาโค้ดนี้ไปแปะใน Mathematica แล้วลองรันดูนะครับ.

For[x=0,x<=999,x++;Print["x=",x,",y=",N[$\sqrt{\frac{(2x^2-1)^2+1}{2}},20$]]]

ลองเปลี่ยนช่วงค่า x ดูนะครับ ถ้าโชคดีได้ y เป็นจำนวนเต็ม ก็ค่อยตรวจสอบอีกทีว่า ได้ p เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่

Art_ninja · #14 19 มิถุนายน 2007, 06:10

ผมไม่มีโปรแกรม mathematica ครัับ

รบกวนช่วยบอกที่สิงสถิตของโปรแกรมด้วยนะครับ
ในปัจจุบันยังคิดอยู่และคิดไม่ออก

รบกวนพี่ๆทั้งหลายใน mathcenter ช่วยมาแก้ด้วยนะครับ

สงสัยว่าโจทย์ข้อนี้จะดองซะเเล้วนะครับ

Art_ninja · #15 22 มิถุนายน 2007, 06:23

ถ้าข้อนี้ดองแล้วก็ปล่อยไปก่อนครับ

ตอนนี้ผมมีโจทย์ข้อใหม่มาฝาก(ไม่แน่ใจว่าพวกนี้เกินระดับม.ปลายรึเปล่าครับ)

จงหาจำนวนเต็ม $n$ ทั้งหมดที่ทำให้ $n^4+4^n$ เป็นจำนวนเฉพาะ
ได้โปรดด้วยครับ