Problem

[mzipe]

คือมีปัญหาอยากให้ช่วยกันคิดครับว่าคำตอบตรงกับผมรีป่าว

1. ต้องการแบ่งวงกลมวงหนึ่งออกเป็น 2002 ส่วน โดยใช้ส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมวงอื่นมาตัดแบ่ง ต้องใช้วงกลมในการตัดแบ่งวงกลมนี้อย่างน้อยสุดกี่วง

2. มีลูกแก้วอยู่ 8 ลูก กับตารางขนาด 4 x 4 โดยเงื่อนไขการวางลูกแก้วเป็นดังนี้
- ต้องวางลูกแก้วทุกลูกในตาราง และวางได้ช่องละไม่เกิน 1 ลูก
- จำนวนลูกแก้วของแถวและหลักใด ๆ ไม่เป็นจำนวนคี่
- รูปแบบของการวางลูกแก้วของแถวใด ๆ ไม่ซ้ำกัน และรูปแบบการวางลูกแก้วของหลักใด ๆ ไม่ซ้ำกัน
จะวางลูกแก้วได้กี่วิธี

3. กำหนด x₂ = x₁+1 , x_n คือเศษที่เหลือจากการหาร (x_n-1)²+(x_n-2)² ด้วย 7 โดยที่ n ณ3 ให้ x₂₅₄₅=1 แล้ว x₄=?

[warut]

1. 46
2.
3. 1

[nithi_rung]

อันนี้นี่ใช่ที่ไปสอบโอฯรอบ 2 มาหรือเปล่าครับ เพราะว่าผมก็ไปสอบมาเหมือนกัน
ข้อที่วางลูกแก้ว รู้สึกจะตอบ 72 ครับ

[ToT]

เอ่อ ( มั่วด้วยคน ) ข้อแรกเพื่อนมันตอบ 31 อ่ะคับ ยังไงช่วยอธิบายหน่อย , นิธิรู้จักเฮงป่ะ ?

[mzipe]

ช่วยบอกวิธีคิดข้อ 1 กับ ข้อ 2 ด้วยครับ

[nithi_rung]

ตอบ ToT - ก็เพิ่งรู้จักตอนที่มาสอบโอฯครั้งนี้ (ที่จริงคือรู้จักกันตอนที่ติวรอบ2ตอนเย็น)

เดี๋ยวเอาคำถามลงให้ด้วยเลยแล้วกันนะครับ (ที่จริงคือเขาไม่ได้ให้ข้อสอบมา แต่พอส่งข้อสอบก็มานึกเอาว่ามีอะไรบ้าง คำถามก็เลยจะไม่ตรงกับในข้อสอบเป๊ะ แต่ใจความเหมือนกัน)
ข้อสอบเป็นแสดงวิธีทำทั้ง 2 ฉบับ มีฉบับละ 6 ข้อ
วันที่ 24 (ฉบับแรก)
1. ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า โดยมีจุดยอดเป็นจุดสัมผัสระหว่างวงกลม 3 วงเป็นคู่ ๆ โดยระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางวงกลมทั้ง 3 วง เป็น 3,3,4 ซม. ตามลำดับ จงหาความยาวรอบรูปของสามเหลี่ยม
2. ต้องการทาสีบนทรงกลมโดยรูปที่มีด้านติดกันห้ามใช้สีเดียวกัน ให้หาจำนวนวิธีในการทาสี (ข้อนี้ไว้ว่าง ๆ จะเอารูปที่เขาให้มา มาลงให้ เป็นรูปที่เกิดจากการวาดวงกลาม 3 วงบนทรงกลม โดยมีเส้นที่ตัดกัน)
3. ให้หาค่า K ที่มากที่สุดที่ทำให้อสมการ 1/(ak+b)+1/(a+bk)ณK/(a+b) เป็นจริง สำหรับทุก ๆ จำนวนจริงบวก a,b และทุก ๆ จำนวนจริง k ในช่วง [0,p]
4. ต้องการแบ่งวงกลมวงหนึ่งออกเป็น 2002 ส่วน โดยใช้ส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมวงอื่นมาตัดแบ่ง ต้องใช้วงกลมในการตัดแบ่งวงกลมนี้อย่างน้อยสุดกี่วง
5. มีรูปหกเหลี่ยม ABCDEF ไม่มีมุมใดเป็นมุมกลับ มีสมบัติที่ว่า พท.DABC=พท.DCDE=พท.DEFA และ มุมB+มุมD+มุมF=360องศา
จงแสดงว่า มีจุด O ภายในหกเหลี่ยม มีสมบัติว่า ถ้าลากเส้นตรงจากจุดนี้ ไปยังจุดยอดของหกเหลี่ยมสามจุด ทั้งสามเส้นนี้จะแบ่งรูปหกเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยนมสามรูป ที่มีพื้นที่เท่ากัน
6. กำหนดฟังก์ชันพหุนาม p(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+a_n-2x^n-2+...+a₁x+a₀ ไม่เป็นฟังก์ชันคงตัว มีสปส.เป็นจำนวนเต็มทั้งหมด ถ้า p(-1)=0 และ p(ึ2)เป็นจำนวนเต็มแล้ว จงแสดงว่าจะต้องมี k เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าไม่เกิน n ซึ่ง p(k)+a_k เป็นจำนวนคู่

วันที่ 25 (ฉบับที่สอง)
7. จงหาจำนวนของจำนวนเต็มบวกซึ่งไม่ว่าจะบอกหรือลบด้วย 2002 ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นกำลังสองสมบูรณ์เสมอ
8. มีลูกแก้วอยู่ 8 ลูก กับตารางขนาด 4 x 4 โดยเงื่อนไขการวางลูกแก้วเป็นดังนี้
- ต้องวางลูกแก้วทุกลูกในตาราง และวางได้ช่องละไม่เกิน 1 ลูก
- จำนวนลูกแก้วของแถวและหลักใด ๆ ไม่เป็นจำนวนคี่
- รูปแบบของการวางลูกแก้วของแถวใด ๆ ไม่ซ้ำกัน และรูปแบบการวางลูกแก้วของหลักใด ๆ ไม่ซ้ำกัน
จะวางลูกแก้วได้กี่วิธี
9. จงหาจำนวนเต็มที่มากที่สุดซึ่งหาร (a-b)(b-c)(c-d)(d-a)(a-c)(b-d) ได้ลงตัวเสมอ ไม่ว่า a,,b,c,d จะเป็นจำนวนเต็มใด ๆ ก็ตาม
10. เครื่องเล่น Speedy Tom&Jerry... (พอดีข้อนี้โจทย์อธิบายยาวมาก เดี๋ยวขอเอาไว้ว่าง ๆ จะมาโพสต์ให้)
11. (เกี่ยวกับอัตราส่วนระหว่างพื้นที่รูป เดี๋ยวว่าง ๆ จะมาโพสต์ให้เหมือนกันพร้อมรูป)
12. กำหนด x₂ = x₁+1 , x_n คือเศษที่เหลือจากการหาร (x_n-1 )²+(x_n-2 )² ด้วย 7 โดยที่ n ณ3 ให้ x₂₅₄₅ =1 แล้ว x₄ =?

[mzipe]

ข้อหกเหลี่ยมรู้สึกว่า มุม B +มุม D + มุม F ได้ 360 นะครับ

ข้อ9 ให้ k คือค่าที่ต้องการ(ค่าที่มากสุดที่หารก้อนนั้นลงตัว)
แทน a b c d ด้วย 1 2 3 4 จะได้ k หาร 12ลงตัว
พิจรณา ใน a b c d จะต้องมี 2 ตัวที่หารด้วย 3 แล้วเหลือเศษเท่ากันดังนั้น 3 จึงหารผลต่างของ 2 ตัวนั้นได้ นั้นคือก้อนที่คูณๆกันนั้น 3 หารลงตัวเสมอ ฉะนั้น 3 หาร k ลงตัว
ทำนองเดียวกันถ้าใน a b c d มี 2 ตัวที่หารด้วย 4 แล้วเหลือเศษเท่ากัน 4 จะหารก้อนที่คูณกันลงตัว ถ้าไม่มีตัวใดหารด้วย4แล้วมีเศษเท่ากันเลย สมมติ 4 หาร a b c d เหลือเศษ 0 1 2 3 จะได้ว่า 4 หาร (c-a)(b-d) ลงตัว ฉะนั้น 4 หารก้อนนั้นลงตัวเสมอ นั้นคือ 4 หาร k ลงตัว
เพราะ (3,4)=1 ดังนั้น 12 หาร k ลงตัว และจาก k หาร 12 ลงตัว
จึงได้ว่า k = 12

[gon]

งั้นถ้าผมถามต่อว่าเป็น a,b,c,d,e แล้วก็มีก้อนที่จับคู่กันแบบนั้นหมด จะได้ k เป็นเท่าใด และ ถ้าเป็นกรณี ทั่วไปคือมี n ตัวควรจะได้เป็นเท่าใด.

ข้อ 9. ที่ทำมา เราพิสูจน์ได้แล้วว่า 12 หาร (a-b)(b-c)(c-d)(d-a)(a-c)(b-d) ลงตัว แต่ยังไม่ได้พิสูจน์ว่ามันมากที่สุดนะ ???

มันถูกพิสูจน์ว่ามากที่สุดไปแล้วนี่ครับ
k คือ จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่หาร(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)(a-c)(b-d) ลงตัว ไม่ว่า a,b,c,d เป็นจำนวนเต็มอะไรก็ตาม
ดังนั้นเขาเลยแทน a=1,b=2,c=3,d=4 เลยได้ว่า k หาร 12 ลงตัว แค่นี้มันก็ refer ว่า k ไม่มากกว่า 12 แล้วครับ
จากนั้นเขาพิสูจน์ต่อว่า 12 หาร k ลงตัว จึงได้ว่า k = 12 ไงครับ

[J.]

ผมว่าง ๆ เลยมาคิดข้อ 7 ดู

7. จงหาจำนวนของจำนวนเต็มบวกซึ่งไม่ว่าจะบอกหรือลบด้วย 2002 ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นกำลังสองสมบูรณ์เสมอ

ได้ 3 คำตอบคือ 6098, 8402, 20498

มีใครคิดได้อย่างนี้บ้างครับ

[J.]

ส่วนข้อ 3

3. ให้หาค่า K ที่มากที่สุดที่ทำให้อสมการ 1/(ak+b)+1/(a+bk)ณK/(a+b) เป็นจริง สำหรับทุก ๆ จำนวนจริงบวก a,b และทุก ๆ จำนวนจริง k ในช่วง [0,p]

ย้ายข้างไป ๆ มา ๆ ก็ตอบ 3 แล้วครับ
ไม่อยากเฉลย อยากให้ลองคิดดูก่อน

ก็อ่านเข้าใจครับ แต่อยากให้เน้นย้ำตรงจุดนั้นมากกว่านี้ ซึ่งสำหรับกรณีทั่วไปที่คูณกัน n ตัวจะได้ k ที่มากที่สุดเป็น 1!2!3!4!...(n - 1)!

สำหรับข้อ

4) แบ่งวงกลม เนื่องจาก วงกลม n วง ตัดกัน แบ่งพื้นที่มากสุดเป็น
= 1 + 2(n - 1) + 2((n - 2)(n - 1)/2) = n² - n + 1 ส่วน
ที่ n = 46 แบ่งเป็น 2,071 ส่วน ดังนั้นใช้วงกลม 46 วงมาตัดกันมากที่สุดภายในวงกลมที่ต้องการ

7) คิดได้ 3 ค่า เป็น 6098 , 8402 , 20498 เช่นกัน

8) การวางลูกแก้ว แบ่งเป็น 2 กรณีใหญ่ๆคือ
กรณีที่แต่ละแถวหรือแต่ละคอลัมน์ มีจำนวนลูกแก้วเป็น 0 2 2 4 จะได้จำนวนวิธีเป็น 4! * (1/2)(4C2) * 2 = 144 วิธี
กรณีที่แต่ละแถวหรือแต่ละคอลัมน์ มีจำนวนลูกแก้วเป็น 2 2 2 2 จะได้จำนวนวิธีเป็น 4! * (1/2)(4C2)*((1/2)(4C2) - 1) = 144 วิธี
ดังนั้นจำนวนวิธีวางลูกแก้วเป็น 288 วิธี

12) x₄ = 1 เช่นกัน

[nithi_rung]

ข้อรูปหกเหลี่ยมแก้โจทย์ให้แล้วนะครับ

แล้วก็รูปของข้อระบายสีลงบนทรงกลม เอามาโพสต์ให้แล้ว เป็นการวาดรูปวงกลม 3 วง ลงบนทรงกลม ทำให้ได้
- รูปที่มี 2 ด้าน 3 รูป
- รูปที่มี 3 ด้าน 2 รูป
- รูปที่มี 4 ด้าน 3 รูป
และมีสีให้ 3 สี ให้หาจำนวนวิธีระบายสีรูปบนทรงกลมโดยใช้ทั้ง 3 สี และรูปที่มีด้านอยู่ติดกันต้องไม่ใช้สีเดียวกัน