ช่วยหน่อยครับ

[Siren-Of-Step]

จงหาผลบวก $6+66+666+......+666.....6$ ($n$ ตัว) เมื่อ $n \geqslant 1$
กำหนด $f(x) = \frac{a^x}{a^x+\sqrt{a} }$ $a$ เป็นจำนวนจริงบวก จงหาค่าของ

$f(\frac{1}{2001}) + f(\frac{2}{2001}) +f(\frac{3}{2001})+...+f(\frac{2000}{2001})$

[R.Wasutharat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

จงหาผลบวก $6+66+666+......+666.....6$ ($n$ ตัว) เมื่อ $n \geqslant 1$
กำหนด $f(x) = \frac{a^x}{a^x+\sqrt{a} }$ $a$ เป็นจำนวนจริงบวก จงหาค่าของ

$f(\frac{1}{2001}) + f(\frac{2}{2001}) +f(\frac{3}{2001})+...+f(\frac{2000}{2001})$

ข้อ1. ให้ \[
S_n = 6 + 66 + 666 + ... + 666...6 = \frac{6}{9}\left( {9 + 99 + 999 + ... + 999...9} \right)
\]
\[
= \frac{6}{9}\left[ {\left( {10 + 100 + 1000 + ... + 1000...0} \right) - n} \right] = \frac{6}{9}\left[ {\frac{{10\left( {10^n - 1} \right)}}{9} - n} \right]
\]
ข้อ2. พิจารณา\[
f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = \frac{{a^x }}{{a^x + \sqrt a }} + \frac{{a^{1 - x} }}{{a^{1 - x} + \sqrt a }} = \frac{{a^x }}{{a^x + \sqrt a }} + \frac{a}{{a + a^x \sqrt a }} = 1
\]
ดังนั้น\[
f\left( {\frac{1}{{2001}}} \right) + f\left( {\frac{2}{{2001}}} \right) + f\left( {\frac{3}{{2001}}} \right) + ... + f\left( {\frac{{2000}}{{2001}}} \right) = \left[ {\left( {f\left( {\frac{1}{{2001}}} \right) + f\left( {\frac{{2000}}{{2001}}} \right)} \right) + \left( {f\left( {\frac{2}{{2001}}} \right) + f\left( {\frac{{1999}}{{2001}}} \right)} \right) + \left( {f\left( {\frac{3}{{2001}}} \right) + f\left( {\frac{{1998}}{{2001}}} \right)} \right) + ... + \left( {f\left( {\frac{{1000}}{{2001}}} \right) + f\left( {\frac{{1001}}{{2001}}} \right)} \right)} \right] = 1000
\]

[Siren-Of-Step]

อีกข้อครับ ใกล้เคลียร์หมดแล้ว

กำหนด $f(n)$ เป็นผลบวก $n$ พจน์แรกของลำดับต่อไปนี้
$0,1,1,2,2,3,3,4,4,....,r,r,r+1,r,+1......$

จงเขียนสูตรกำหนด $f(n)$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ใดๆ
จงพิสูจน์ว่า $f(s+t)-f(s-t) = st$ สำหรับจำนวนเต็มบวก $s,t$ ซึ่ง $s>t$