มีโจทย์มาถามหน่อยครับ

[GoRdoN_BanksJunior]

1. ให้ $x=\frac{\sqrt{a+2b}+\sqrt{a-2b} }{\sqrt{a+2b} -\sqrt{a-2b} } $

จงหาค่าของ $bx^2-ax+b$

(wymic 2006 individual contest)

2. จากรูป $PQRS$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า พื้นที่ 10 ตารางหน่วย $A$ เป็นจุดบน $RS$

$B$ เป็นจุดบน $PS$ ทำให้พื้นที่สามเหลี่ยม $QAB$ มีพื้นที่ 4 ตารางหน่วยจงหาค่าที่น้อยที่สุดของ $PB+AR$

(wymic 2005 individual contest)

3. ให้ $a,b,c\in \mathbb{R} $ โดยที่ $a+bc=b+ca=c+ab=501$ ให้ $M$ และ $m$

เป็นค่ามากที่สุดและน้อยที่สุดของ $a+b+c$ ตามลำดับ จงหาค่าของ $M+2m$

(wymic 2005 individual contest)

ขอวิธีทำด้วยครับ

[LightLucifer]

ข้อแรกนะครับผมคิดได้ 0
$x= \frac{\sqrt{a+2b}+\sqrt{a-2b} }{\sqrt{a+2b}-\sqrt{a-2b} }$
$x= \frac{(\sqrt{a+2b}+\sqrt{a-2b})^2 }{4b}$
$x= \frac{a+\sqrt{a^2-4b^2} }{2b}$
$x= \frac{a}{2b}+\sqrt{(\frac{a}{2b})^2-1 }$
Let $\frac{a}{2b}=m$
$x=m+\sqrt{m^2-1}$
$x^2=2m^2+2m\sqrt{m^2-1}-1$
$x^2=2m(m+\sqrt{m^2-1})-1=2mx-1$
$m=\frac{x^2+1}{2x}$
พิจรณา
$bx^2-ax+b=2b(\frac{x^2+1}{2}-(\frac{a}{2b})x)=2b(\frac{x^2+1}{2}-mx)=2b(0)=0 $

[LightLucifer]

ข้อสองนะครับ

จากโจทย์จะได้ว่า
$(PB)(PQ)+(BS)(AS)+(AR)(QR)=12$
สังเกตุว่า
$PB+BS=QR$ และ $AS+AR=PQ$
จะได้ว่า
$(PB)(PQ)+(BS)(AS)+(AR)(QR)=(PB)(AS+AR)+(BS)(AS)+(AR)(PB+BS)=12$
$2(PB)(AR)+(PB)(AS)+(AR)(BS)+(BS)(AS)=12$
$(PB)(AR)+[(PB)(AR)+(PB)(AS)+(AR)(BS)+(BS)(AS)]=(PB)(AR)+(PB+BS)(AS+AR)=12$
$(PB)(AR)+(PQ)(QR)=(PB)(AR)+10=12$
$(PB)(AR)=2$
พิจรณา
$(\sqrt{PB}-\sqrt{AR})^2\geqslant 0$
$PB+AR-2\sqrt{(PB)(AR)}\geqslant 0$
$PB+AR\geqslant 2\sqrt{2}$