เอ่อ...ถามหน่อยครับ

[คนอยากเก่ง]

1.กำหนดให้$a+b+c=2010$ และ $\frac{1}{a+b} +\frac{1}{b+c} +\frac{1}{c+a}=\frac{2010}{2553} $จงหาค่าของ $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} $

2.กำหนดให้ m เป็นจำนวนเต็มบวก มีคุณสมบัติดังนี้
i)ลงท้ายด้วย 28
ii)ผลบวกของเลขโดดในทุกหลักมีค่าเป็น 28
iii)mหาร 28 ลงตัว

3.กำหนดให้$ a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับ$ a\geqslant b\geqslant c\geqslant d,$ $a^2+d^2=1,b^2+c^2=1และ ac+bd=\frac{1}{3} จงหาค่าของ ab-cd$

4.กำหนดให้ a,b,c,d เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับ$ a+b+c+d=8,ab+ac+ad+bc+cd=12$
จงหาค่าที่เป็นไปได้มากที่สุดของ d


รบกวนด้วยครับ

[Cachy-Schwarz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คนอยากเก่ง

3.กำหนดให้$ a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับ$ a\geqslant b\geqslant c\geqslant d,$ $a^2+d^2=1,b^2+c^2=1และ ac+bd=\frac{1}{3} จงหาค่าของ ab-cd$

$(a^2+d^2)(b^2+c^2)=(ab-cd)^2+(ac+bd)^2$
คงไปต่อได้นะคับ

[BLACK-Dragon]

ข้อแรก

solution

คาดว่าโจทย์น่าจะเป็นแบบนี้ กำหนดให้$a+b+c=2010$ และ $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{2011}{2553}$จงหาค่าของ $\frac{a}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{c}{a+b}$
ลองเอาสมการที่ให้มาคูณกัน

3.

hint

$(a^2+d^2)(b^2+c^2)=(ac+bd)^2+(ab-cd)^2$

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คนอยากเก่ง

1.กำหนดให้$a+b+c=2010$ และ $\frac{1}{a+b} +\frac{1}{b+c} +\frac{1}{c+a}=\frac{2010}{2553} $จงหาค่าของ $\frac{a}{b+c}+\frac{1}{c+a}\frac{c}{a+b} $

2.กำหนดให้ m เป็นจำนวนเต็มบวก มีคุณสมบัติดังนี้
i)ลงท้ายด้วย 28
ii)ผลบวกของเลขโดดในทุกหลักมีค่าเป็น 28
iii)mหาร 28 ลงตัว

3.กำหนดให้$ a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับ$ a\geqslant b\geqslant c\geqslant d,$ $a^2+d^2=1,b^2+c^2=1และ ac+bd=\frac{1}{3} จงหาค่าของ ab-cd$

4.กำหนดให้ a,b,c,d เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับ$ a+b+c+d=8,ab+ac+ad+bc+cd=12$
จงหาค่าที่เป็นไปได้มากที่สุดของ d


รบกวนด้วยครับ

ข้อ 4 ช่วยเช็ค พจน์หน่อยครับ

[Cachy-Schwarz]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คนอยากเก่ง

4.กำหนดให้ a,b,c,d เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับ$ a+b+c+d=8,ab+ac+ad+bc+bd+cd=12$
จงหาค่าที่เป็นไปได้มากที่สุดของ d

$a+b+c+\leqslant \sqrt{a^2+b^2+c^2} \sqrt{1+1+1} (cauchy)$
จากโจทย์จะได้ $a^2+b^2+c^2=40-d^2$
และ $a+b+c=8-d$ แทนค่าลง
$8-d\leqslant \sqrt{40-d^2} \sqrt{3}$
ก็เเก้อสมการออกมาในรูปของช่วงเเล้วดูค่าที่มากสุดคับ

[คนอยากเก่ง]

แก้แล้วครับ
ขอบคุณทุกท่านครับ
กำลังทำอยู่ครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ๛Cachy–Schwarz๛

$(a^2+d^2)(b^2+c^2)=(ab-cd)^2+(ac+bd)^2$
คงไปต่อได้นะคับ

อยากทราบว่าเอาเอกลักษณ์นี้มาจากไหนครับ
ข้อ 1 ตอบ $1580\frac{7}{25} $หรือเปล่าครับ
ข้อ3ก็ $\frac{2\sqrt{2} }{3}$ หรือเปล่าครับ
รบกวน 2 กับ 4 ด้วยครับ

[Amankris]

ข้อสอง ถามอะไร งง???

ข้อสี่ #5 ตอบไปแล้วนี่

ปล. คราวหน้าอย่าตั้งชื่อกระทู้แบบนี้อีก

[yellow]

ข้อ 2) m คือ

2242828

2822428

28022428

นับไม่ถ้วน

[คนอยากเก่ง]

รบกวนข้อ 4 ด้วยครับ ไม่ได้จริงๆครับ

[Cachy-Schwarz]

ผมตอบไปเเล้วหนิคับ หรือว่าอ่านไม่เข้าใจ

[คนอยากเก่ง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ๛Cachy–Schwarz๛

ผมตอบไปเเล้วหนิคับ หรือว่าอ่านไม่เข้าใจ

คืออยากรู้เรื่องcauchy อะครับ มันเป็นยังไงหรอครับ
ขอบคุณครับ

[Cachy-Schwarz]

อสมการโคชี-ชวาร์ช (Cauchy-Schwarz inequality)
$x_1,x_2,...,x_n, y_1,y_2,...,y_n \in \mathbb{R}$ จะได้ว่า$ \mid x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n \mid \leq \sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}\cdot \sqrt{y_1^2+y_2^2+...+y_n^2}$
ในโจทย์ข้อนี้ เราให้ y เป็น 1 คับ

[คนอยากเก่ง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ๛Cachy–Schwarz๛

อสมการโคชี-ชวาร์ช (Cauchy-Schwarz inequality)
$x_1,x_2,...,x_n, y_1,y_2,...,y_n \in \mathbb{R}$ จะได้ว่า$ \mid x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n \mid \leq \sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}\cdot \sqrt{y_1^2+y_2^2+...+y_n^2}$
ในโจทย์ข้อนี้ เราให้ y เป็น 1 คับ

$2+\sqrt{5}$
หรือเปล่าครับ งงๆ อยู่
แล้ว
$(a^2+d^2)(b^2+c^2)=(ab-cd)^2+(ac+bd)^2$
เอาเอกลักษณ์ มาจากไหนอะครับ
แล้ว
$a^2+b^2+c^2+d^2=40$ ต้องกระจายแลวดูเอาเลยหรอครับ

[Cachy-Schwarz]

1.คำตอบยังไม่ได้ลองคิดคับ
2. เอกลักษณ์มีในหนังสือพีชคณิตของ สอวน และเคยเห็นพี่noonuiiเเสดงไว้ในกระทู้เก่าๆคับ
3. กระจายเเล้วเเทนค่าจากโจทย์คับ

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คนอยากเก่ง

1.กำหนดให้$a+b+c=2010$ และ $\frac{1}{a+b} +\frac{1}{b+c} +\frac{1}{c+a}=\frac{2010}{2553} $จงหาค่าของ $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} $

ผมทำอีกแบบหนึ่งครับ...ลองดูว่าพอใช้ได้ไหม

$\frac{1}{a+b} +\frac{1}{b+c} +\frac{1}{c+a}=\frac{2010}{2553} $

$\frac{2010}{a+b} +\frac{2010}{b+c} +\frac{2010}{c+a}=\frac{2010^2}{2553} $

$\frac{a+b+c}{a+b} +\frac{a+b+c}{b+c} +\frac{a+b+c}{c+a}=\frac{2010^2}{2553}$

$\left\{\,1+\frac{c}{a+b}\right\}+\left\{\,1+\frac{a}{b+c}\right\}+ \left\{\,1+\frac{b}{c+a}\right\} =\frac{2010^2}{2553} $

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{2010^2}{2553}-3$

ผมขี้เกียจคิดตัวเลขละเอียดขอตอบแบบติดค่าไว้อย่างนี้แล้วกัน