พีชคณิตครับ(คิดไม่ออก)

sharkyboy · #1 26 สิงหาคม 2009, 17:40

ให้ $a^2+4ab+4b^2+(2a+b+3)^2 = 0$
จงหาเลขหลักสิบของ $$(a^2+b^2-16)^{2002}$$

nongtum · #2 26 สิงหาคม 2009, 17:54

สมการที่โจทย์ให้หมายถึง $a+2b=2a+b+3=0$ ซึ่งจะได้ $a=-2,\ b=1$
ดังนั้น $(4+1-16)^{2002}=11^{2002}\equiv 1+{2002\choose 1}10\equiv 21\pmod{100}$

sharkyboy · #3 27 สิงหาคม 2009, 20:17

พิมพ์ผิดครับ
ต้องเป็น 4ab

สรปแล้ว
คิดยังไงหรอครับ
ผมมองไม่ออกน่ะครับ

LightLucifer · #4 27 สิงหาคม 2009, 20:28

จัดรูปสมการใหม่ได้เป็น
$(a+2b)^2+(2a+b+3)^2=0$
เนื่องจากแต่ละวงเล็บเป็นกำลังสอง ดังนั้นจะไม่มีวงเล็บไหนเป็นลบจะได้ทั้งสองวงเล็บเท่ากับ 0

Scylla_Shadow · #5 27 สิงหาคม 2009, 20:34

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ sharkyboy

ให้ $a^2+4ab+4b^2+(2a+b+3)^2 = 0$
จงหาเลขหลักสิบของ $$(a^2+b^2-16)^{2002}$$

$a^2+4ab+4b^2+(2a+b+3)^2 = 0$

$(a+2b)^2+(2a+b+3)^2=0$

จึงสามารถสรุปได้ว่า $a+2b=2a+b+3=0$

จากระบบสมการข้างต้น ได้ $a=-2,\ b=1$

จะได้ว่าสิ่งที่โจทย์ถามคือ $(a^2+b^2-16)^{2002}$

$((-2)^2+1^2-16)^{2002}=(11)^{2002}$

ทีนี้เราเจอปัญหาว่าจะหาหลักสิบของ $11^{2002}$ อย่างไร
เราก็จะสังเกตว่า

$11^{1}$ มีค่าเท่ากับ 11 หลักสิบเป็น $1$
$11^{2}$ มีค่าเท่ากับ 121 หลักสิบเป็น $2$
$11^{3}$ มีค่าเท่ากับ 1331 หลักสิบเป็น $3$
$11^{4}$ มีค่าเท่ากับ 14641 หลักสิบเป็น $4$

แล้ว $11^{2002}$ มีหลักสิบเป็นอะไรล่ะ

ปล.เผอิญมีปัญหาแล้วแก้ไม่ได้ รบกวน moderator ช่วยแก้ไขทีครับ

mod:แก้ไขให้แล้วครับ ไม่รู้ว่าจะใช่อย่างที่ต้องการไหม

SiR ZigZag NeaRton · #6 27 สิงหาคม 2009, 20:37

ก็สมการนี้จัดรูปได้ว่า
$(a+2b)^2+(2a+b+3)^2=0$
จะได้ $a+2b=0$
$2a+b=-3$
จะได้ $a=-2$
$b=1$
โจทย์ถาม หลักสิบของ $(a^2+b^2-16)^{2002}$
จะได้ว่าจงหาหลักสิบของ $11^{2002}$
$11^{2002}=(10+1)^{2002}=10^{2002}+\binom{2002}{1}10^{2001}\bullet 1
+...+\binom{2002}{2001}10+1$
ดูหลักสิบคิดแค่ $\binom{2002}{2001}10+1$
จะได้2หลักสุดท้ายเป็น 21
ตอบหลักสิบคือ2ครับ

sharkyboy · #7 29 สิงหาคม 2009, 12:46

ครับๆ
ขอบคุณมากครับ