Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #31  
Old 20 พฤษภาคม 2014, 12:57
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133 View Post
5. จงหาจำนวนจริง $k$ ที่มากที่สุดที่ทำให้อสมการ $$(k+\frac{a}{b})(k+\frac{b}{c})(k+\frac{c}{a}) \leqslant (\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})$$ เป็นจริงทุกจำนวนจริงบวก $a,b,c$
โจทย์คู่ขนานของข้อ $5$ แต่ง่ายกว่า

จงหาจำนวนจริง $k$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้อสมการ

$$
(k+\frac{a}{b})(k+\frac{b}{c})(k+\frac{c}{a}) \geqslant (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})
$$
เป็นจริงทุกจำนวนจริงบวก $a,b,c$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #32  
Old 21 พฤษภาคม 2014, 05:05
oyyks's Avatar
oyyks oyyks ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 พฤษภาคม 2014
ข้อความ: 2
oyyks is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii View Post
โจทย์คู่ขนานของข้อ $5$ แต่ง่ายกว่า

จงหาจำนวนจริง $k$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้อสมการ

$$
(k+\frac{a}{b})(k+\frac{b}{c})(k+\frac{c}{a}) \geqslant (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})
$$
เป็นจริงทุกจำนวนจริงบวก $a,b,c$
แทน a=b=c=1 เหมือนเดิม ได้ $(k+1)^3 \ge 9$
ให้ $(k+1)^3 = 9$ กระจายทั้งสองข้างออกมาแล้ว am-gm ที่เหลือได้เลยครับ
__________________
"A mathematician is a machine for turning coffee into theorems."

"A comathematician is a machine for turning cotheorems into ffee."

21 พฤษภาคม 2014 05:06 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ oyyks
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #33  
Old 21 พฤษภาคม 2014, 21:09
ฟินิกซ์เหินฟ้า ฟินิกซ์เหินฟ้า ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 28 พฤศจิกายน 2012
ข้อความ: 295
ฟินิกซ์เหินฟ้า is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii View Post
โจทย์คู่ขนานของข้อ $5$ แต่ง่ายกว่า

จงหาจำนวนจริง $k$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้อสมการ

$$
(k+\frac{a}{b})(k+\frac{b}{c})(k+\frac{c}{a}) \geqslant (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})
$$
เป็นจริงทุกจำนวนจริงบวก $a,b,c$
แทน $a=b=c$ จะไดัว่า $k \ge \sqrt[3]{9} -1$
ให้ $A=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a},B=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}$
จะแสดงว่า $k=\sqrt[3]{9} -1$ ทำให้อสมการเป็นจริง
$k^3+Ak^2+Bk+1 \ge A+B+3$
จาก $(k+1)^3=9$
$\Leftrightarrow A+B+3+(3-A)k^2+(3-B)k \le 9$
$\Leftrightarrow A(k^2-1)+B(k-1) \ge 3k^2+3k-6 $
เนื่องจาก $k=\sqrt[3]{9} -1 > 1$
ดังนั้น $A(k+1)+B \ge 3(k+2)$
หรือ $(A-3)k+(A-3)+(B-3) \ge 0$
ซึ่งเป็นจริงโดยอสมการ $AM-GM$
ดังนั้นค่าน้อยที่สุดของจำนวนจริง $k$ คือ $\sqrt[3]{9} -1$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #34  
Old 21 พฤษภาคม 2014, 21:43
Panithi Vanasirikul's Avatar
Panithi Vanasirikul Panithi Vanasirikul ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 06 พฤศจิกายน 2013
ข้อความ: 346
Panithi Vanasirikul is on a distinguished road
Default

มีพี่คนไหนที่ได้ไปเเข่งต่างประเทศมั้ยครับ
__________________
Mathematics is not about finding X but finding whY.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #35  
Old 23 พฤษภาคม 2014, 20:47
ACFEGIN's Avatar
ACFEGIN ACFEGIN ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 23 พฤษภาคม 2014
ข้อความ: 23
ACFEGIN is on a distinguished road
Default

ข้อสอบปีนี้แต่ละข้อโหดจริงครับ
__________________
Fearless courage is the foundation of all success
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #36  
Old 23 พฤษภาคม 2014, 21:40
ฟินิกซ์เหินฟ้า ฟินิกซ์เหินฟ้า ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 28 พฤศจิกายน 2012
ข้อความ: 295
ฟินิกซ์เหินฟ้า is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Poogunexe View Post
2. จงหาฟังก์ชัน $ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับเงื่อนไข
$ f(xy-1)+f(x)f(y)=2xy-1 $
สำหรับทุกจำนวนจริง $x$ และ $y$
เพิ่มเติมอีกวิธี(ในเฉลย)นะครับ
แทน $y =0$ จะได้ $ f(-1) +f(x)f(0) = -1 $
แต่ constant function ไม่ใช่คำตอบ ดังนั้น $f(0) = 0$
แทน $x=y=1$ ทำให้ได้ว่า $f(1) = 1,-1$
แทนค่า $y= 1$ ในสมการเริ่มต้นจะได้ $f(x-1) + f(x)f(1) = 2x-1.......(1)$
แบ่ง case $f(1)=1$ และ $f(1)=-1$
แทน $x$ ด้วย $xy$ ใน $(1)$
จะได้ $f(xy-1)+f(xy)f(1)=2xy-1$ (ตรงนี้ครับที่สวยมากๆ)
ถ้า $f(1)=1$ ไดัว่า $f(xy)=f(x)f(y)$
แล้วใช้ $(1)$ แก้หา $f(x)$ ออกมาจะได้ $f(x)=x$
ถ้า $f(1)=-1$ ทำในทำนองเดียวกัน
จะได้ $f(x)=-x^2$ ครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #37  
Old 23 พฤษภาคม 2014, 22:39
Panithi Vanasirikul's Avatar
Panithi Vanasirikul Panithi Vanasirikul ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 06 พฤศจิกายน 2013
ข้อความ: 346
Panithi Vanasirikul is on a distinguished road
Default

ที่เขียนกันนี่ม.ไรครับ เริ่มงงเองเเล้ว
__________________
Mathematics is not about finding X but finding whY.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #38  
Old 23 พฤษภาคม 2014, 22:52
Poogunexe's Avatar
Poogunexe Poogunexe ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 ตุลาคม 2012
ข้อความ: 36
Poogunexe is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Panithi Vanasirikul View Post
ที่เขียนกันนี่ม.ไรครับ เริ่มงงเองเเล้ว
สอบไก้ตั้งแต่ ม.1-ม.5 ครับ
__________________
SKN #33
POSN 2012-2013 IPST 1/2014
TMO 10th Bronze & TMO 11th Silver medal
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #39  
Old 23 พฤษภาคม 2014, 23:03
Panithi Vanasirikul's Avatar
Panithi Vanasirikul Panithi Vanasirikul ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 06 พฤศจิกายน 2013
ข้อความ: 346
Panithi Vanasirikul is on a distinguished road
Default

ผมอยากเพิ่มโจทย์ อ่ะสักข้อละกัน ให้ a,b เป็นสมาชิก R+ ที่สอดคล้องกับ $a+b=ab=a^2-b^2$ จงหาว่า จำนวนเต็มที่น้อยสุดที่มากกว่าa+ จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่าb เท่ากับเท่าไหร่ สอวน. 56 จ้า
__________________
Mathematics is not about finding X but finding whY.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #40  
Old 24 พฤษภาคม 2014, 08:12
นกกะเต็นปักหลัก's Avatar
นกกะเต็นปักหลัก นกกะเต็นปักหลัก ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 28 มกราคม 2013
ข้อความ: 288
นกกะเต็นปักหลัก is on a distinguished road
Default

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)=a+b$
แต่ a+b >0
ได้ว่า a-b=1
$2b+1=b^2+b$
$b^2-b-1=0$
b=$\frac{1+\sqrt{5} }{2}$
และa=b+1=$\frac{3+\sqrt{5} }{2}$
__________________
โลกนี้ช่าง...

24 พฤษภาคม 2014 08:14 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ นกกะเต็นปักหลัก
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #41  
Old 24 พฤษภาคม 2014, 17:51
Panithi Vanasirikul's Avatar
Panithi Vanasirikul Panithi Vanasirikul ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 06 พฤศจิกายน 2013
ข้อความ: 346
Panithi Vanasirikul is on a distinguished road
Default

พี่ เก่งจังเลยอ่ะ เเต่ผมไม่เข้าใจ ว่าทำไมตรงบรรทัด 2b+1=b^2+b อ่ะ เเล้วโจทย์ ถามว่าจำนวนเต็มที่น้อยสุดที่มากกว่าa+ จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่าb เท่ากับเท่าไหร่ นะครับท่าน
__________________
Mathematics is not about finding X but finding whY.

24 พฤษภาคม 2014 17:55 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Panithi Vanasirikul
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #42  
Old 24 พฤษภาคม 2014, 18:24
นกกะเต็นปักหลัก's Avatar
นกกะเต็นปักหลัก นกกะเต็นปักหลัก ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 28 มกราคม 2013
ข้อความ: 288
นกกะเต็นปักหลัก is on a distinguished road
Default

$\left\lfloor\,a\right\rfloor +\left\lceil\,b\right\rceil =\left\lfloor\,3.6\right\rfloor +\left\lceil\,1.6\right\rceil =3+2=5$
__________________
โลกนี้ช่าง...

24 พฤษภาคม 2014 18:25 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ นกกะเต็นปักหลัก
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #43  
Old 24 พฤษภาคม 2014, 19:28
Amankris's Avatar
Amankris Amankris ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ธรรมชาติ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 มกราคม 2007
ข้อความ: 2,492
Amankris is on a distinguished road
Icon17

อาจมีสมาชิกบางท่านไม่สนใจอ่านข้อควรปฏิบัติในการใช้เว็บบอร์ด จึงขอยกข้อความบางส่วนมาให้อ่าน

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TOP View Post
[*]อย่าถามแทรก

หากคำถามที่เราต้องการถาม ไม่เกี่ยวข้องกับเนื้อหาในหัวข้อนั้น การถามแทรกเข้าไปในหัวข้อนั้น ถือว่าเสียมารยาท และอาจชักนำออกสู่ทะเลได้ ไม่ควรทำ ควรตั้งสิ่งที่ต้องการถามเป็นหัวข้อใหม่


[*]เขียนข้อความไร้สาระจำนวนมาก

เพื่อให้เนื้อหาเต็มไปด้วยสาระ ยิ่งอ่านยิ่งมัน โปรดอย่าเขียนข้อความที่คุณก็รู้ว่า เก็บเอาไว้ในใจตนเองได้ ไม่จำเป็นต้องพูดออกมา เช่น มีน้องหลายคนเรียนอยู่ระดับประถมหรือมัธยมต้น แล้วเข้าไปอ่านหัวข้อที่เป็นความรู้ระดับชั้นมัธยมปลาย โอลิมปิก อุดมศึกษา หรือหัวข้อที่ถามและตอบเป็นภาษาอังกฤษ ย่อมมีโอกาสอ่านไม่เข้าใจในเนื้อหาเหล่านั้นเป็นธรรมดา ในกรณีนี้ไม่จำเป็นต้องแสดงความคิดเห็นว่า "งง ไม่เข้าใจ ยาก" หากเป็นการสงสัยและต้องการเข้าใจในเนื้อหานั้นจริงก็สามารถทำได้ แต่ถ้าเพียงต้องการแสดงความเห็นให้รู้ว่าเรามีตัวตนอยู่ และแสดงความเห็นในลักษณะนี้เป็นจำนวนมากติดๆกัน จะทำให้สมาชิกท่านอื่นเข้าใจว่า หัวข้อนั้นมีความเห็นทางวิชาการเพิ่มเติม แต่เมื่อเข้าไปอ่านก็จะพบกับข้อความอันหาสาระมิได้เป็นจำนวนมาก หากเกิดเหตุการณ์เช่นนี้ขึ้นบ่อยครั้งย่อมสร้างความเอือมระอา จนไม่อยากจะเข้าไปอ่านหัวข้อที่มีความเห็นใหม่อีก เพราะรู้สึกว่าเข้าไปแล้วเสียเวลาเปล่า ในกรณีนี้จะถือว่า สมาชิกท่านนี้จงใจสร้างความลำบากใจแก่สมาชิกท่านอื่น อาจถูกจำกัดสิทธิ์การใช้เว็บบอร์ดได้
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #44  
Old 25 พฤษภาคม 2014, 20:48
ACFEGIN's Avatar
ACFEGIN ACFEGIN ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 23 พฤษภาคม 2014
ข้อความ: 23
ACFEGIN is on a distinguished road
Default

ปีหน้า ข้อสอบจะออกกี่ข้อเนี่ย
__________________
Fearless courage is the foundation of all success
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #45  
Old 29 พฤษภาคม 2014, 20:45
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ACFEGIN View Post
ปีหน้า ข้อสอบจะออกกี่ข้อเนี่ย
อยู่ระหว่าง $4-6$ ข้อต่อวันตามธรรมนูญใหม่ของสอวน.ครับ

แต่ดูจากข้อมูลปีนี้แล้วคาดว่าอาจจะคงข้อสอบไว้ที่ $4$ ข้อต่อวัน แต่จะลดความยากลง

ซึ่งผมยังไม่แน่ใจว่าจะลดความยากลงได้จริงมั้ยเพราะกรรมการ TMO ปีหน้าเป็นอดีตตัวแทนประเทศไทยทั้งนั้น

29 พฤษภาคม 2014 20:58 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
ใครทราบผล TMO11 ที่ขอนแก่นบ้างครับ geophysics ข่าวคราวแวดวง ม.ปลาย 18 25 พฤษภาคม 2014 00:59

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 16:23


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha