ช่วยหน่อยนะคะ Abstract Algebra

[TDS]

กำหนดให้ G เป็นกรุปจากัด และ A, B เป็นกรุปย่อยของ G ให้ความหมายของเซต AB และ
BA ดังนี้
AB = {ab | a \in A และ b \in B}
BA = {ba | b \in B และ a \in A}
ถ้า A, B เป็นกรุปย่อยของ G จงพิสูจน์ว่า AB = BA ก็ต่อเมื่อ AB เป็นกรุปย่อยของ G


ช่วยอธิบายหน่อยนะคะ ขอละเอียดนะคะ ไม่ค่อยเข้าใจว่าทำยังไงอะคะ

[nongtum]

ขาไป ใช้ finite subgroup test
สมมติให้ $a_1,a_2 \in A,\ b_1,b_2 \in B$ จะได้ $a_1b_1,\ a_2b_2\in AB$
จาก $AB=BA$ จะมี $a_3\in A,\ b_3\in B$ ที่ทำให้ $b_1a_2=a_3b_3$ ทำให้ $a_1b_1a_2b_2=a_1a_3b_3b_2\in AB$
ดังนั้น $AB$ มีสมบัติปิด และเป็นกรุปย่อยโดย finite subgroup test

ขากลับ สำหรับ $a\in A,\ b\in B$ จะได้ $a^{-1}b^{-1}\in AB$ ซึ่งทำให้ $ba=(a^{-1}b^{-1})^{-1}\in AB$ นั่นคือ $BA\subset AB$
ในทางกลับกัน ถ้า $x\in AB$ จะมี $a\in A,\ b\in B$ ที่ทำให้ $x^{-1}=ab\in AB$
ดังนั้น $x=(x^{-1})^{-1}=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\in BA$ นั่นคือ $AB\subset BA$
ดังนั้น $AB=BA$

หมายเหตุ: $G$ เป็นกรุปอนันต์ก็ได้ (ทำไม และต้องแสดงอะไรเพิ่ม)

[TDS]

ขอบคุณ นะคะ คุณ nongtum