สมาคมคณิตศาสตร์ ม.ปลาย 2555

[TU Gifted Math#10]

ตอนที่ 2
16. ให้ $I$ แทนเซตของจำนวนเต็มทั้งหมด ถ้า $f:I\rightarrow I$ โดยที่ $f(x+f(y))=x+y-4$ ทุกจำนวนเต็ม $x$ และ $y$ แล้ว $f(10)$ มีค่าเท่ากับเท่าใด
17. กำหนดให้ $A=\{x\in\mathbb{R}\mid\frac{1}{sin^2x}-\frac{1}{cos^2x}-\frac{1}{tan^2x}-\frac{1}{cot^2x}-\frac{1}{sec^2s}-\frac{1}{csc^2x}=-3\}$ และ $B=\{x\in A\mid 0<x<2\pi\}$ ผลบวกสมาชิกทั้งหมดของเซต $B$ มีค่าเท่ากับเท่าใด
18. นักเรียนมัธยมศึกษาตอนปลายห้องหนึ่งมีจำนวนทั้งหมด $63$ คน ประกอบไปด้วยนักเรียนชาย $a$ คน และนักเรียนหญิง $b$ คน ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ครั้งหนึ่งปรากฏว่า คะแนนเฉลี่ยนของนักเรียนชาย เท่ากับ $a$ คะแนน และคะแนนเฉลี่ยของนักเรียนหญิง เท่ากับ $b$ คะแนน ถ้าคะแนนเฉลี่ยของนักเรียนทั้งห้องเท่ากับ $35$ คะแนน แล้ว ค่า $b$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเท่ากับเท่าใด
19. กำหนดให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมในระนาบพิกัดฉาก $XY$ โดยที่ $ABC$ มีความยาวเส้นรอบรูปเท่ากับ 36 หน่วย ให้ $L,M$ และ $N$ เป็นจุดบนด้าน $BC,AC$ และ $AB$ ตามลำดับ โดยที่ ด้าน $BL$ ยาว $3$ หน่วย ด้าน $CM$ ยาว $4$ หน่วย และด้าน $AN$ ยาว $5$ หน่วย ถ้า $\vec{AL}+\vec{BM}+\vec{CN}=0$ แล้ว $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ มีค่าเท่ากับเท่าใด
20. ถ้า $x,y$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ $(4^{2x}+2)(4^{2y}+4)(4^{2z}+8)=4^{x+y+z+3}$ แล้ว $4^{2x+3y+4z}$ มีค่าเท่ากับเท่าใด
21. ให้ $P$ เป็นพาราโบลา $y=4x^2$ และ $F$ เป็นจุดโฟกัสของ $P$ จงหาสมการทางเดินของจุดกึ่งกลางของคอร์ดของ $P$ ซึ่งคอร์ดเหล่านี้ผ่านจุดโฟกัส $F$
22. ตารางขนาด $1\times 8$ ตารางหน่วย แบ่งเป็นช่องขนาด $1\times 1$ ตารางหน่วย จำนวน $8$ ช่อง ระบายสีแต่ละช่องด้วยสีเพียงหนึ่งสี จากสีแดง เหลือง ดำ โดยที่จำนวนช่องที่มีสีแดงเป็นจำนวนคี่ และตารางนี้ถูกระบายครบทุกสี จงหาจำนวนรูปแบบทั้งหมดที่เป็นไปได้จากการระบายสีตารางตามเงื่อนไขดังกล่าว
23. กำหนดให้ $l$ เป็นเส้นตรงที่มีความชัน $\frac{7}{2}$ และเส้นตรง $l$ ไม่ตัดกับพาราโบลา $y=x^2$ กำหนดให้ $A$ และ $B$ เป็นจุด $2$ จุดบนเส้นตรง $l$ โดยที่ ส่วนของเส้นตรง $AB$ ยาว $2555$ หน่วย จงหาพิกัดจุด $C$ ที่อยู่บนพาราโบลา $y=x^2$ ซึ่งทำให้สามเหลี่ยม $ABC$ มีพื้นที่น้อยที่สุด
24. กำหนดให้ $f:[-4,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ โดยที่ $f(x)=\frac{x^2+4x+3}{x^2+7x+14}$ จงหาเรนจ์ของฟังก์ชัน $f$
25. จงหาค่าของ $(\frac{1+sin(\frac{\pi}{2555})+icos(\frac{\pi}{2555})}{1+sin(\frac{\pi}{2555})-icos(\frac{\pi}{2555})})^{2555}$ โดยที่ $i$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่ง $i^2=-1$

[TU Gifted Math#10]

ตอนที่ 3
26. กำหนดให้ $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ เป็นลำดับของจำนวนเต็มบวกเรียงติดกันที่มากกว่า $1$ พจน์ (เช่น $78,79,80,81,82$) ถ้าผลรวมของพจน์ในทุกพจน์ในลำดับเท่ากับ $2012$ แล้ว ค่าของ $a_1$ เท่ากับเท่าใด
27. โจทย์ไม่สมบูรณ์ ยกผลประโยชน์ให้ผู้เข้าสอบ
28. มีไม้ขีดไฟ $10$ ก้านที่มีความยาว $1,2,\ldots ,10$ หน่วย ตามลำดับ สุ่มหยิบไม้ขีดมา $3$ ก้าน จงหาความน่าจะเป็นที่ไม้ขีดทั้งสามก้านสามารถประกอบเป็นด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมป้านได้
29. ให้ $S$ เป็นอาณาบริเวณที่ปิดล้อมด้วยกราฟ $y=x(1-x)$ กับแกน $x$ จงหาค่า $m$ ทั้งหมดที่ทำให้เส้นตรง $y=mx$ แบ่ง $S$ เป็น $2$ ส่วนโดยที่แต่ละส่วนมีพื้นที่เท่ากัน
30.กำหนดให้ $A,B$ และ $C$ เป็นสับเซตของ $\{1,2,\ldots ,12\}$ โดยที่ $A\cap B\cap C=\{1\}$ , จำนวนสมาชิกของ $A,B$ และ $C$ มีค่าเท่ากัน และสอดคล้องกับสมบัติต่อไปนี้
(1) $\forall a\in A$ $\exists b\in B, a\mid b$
(2) $\forall b\in B$ $\exists c\in C, b\mid c^2$
(3) $\forall c\in C$ $\exists a\in A, c^2\mid a^3$
ในบรรดาเซต $A$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้ $A$ มีผลบวกสมาชิกทั้งหมดมากที่สุดเท่ากับเท่าใด
31. กำหนดให้ $a,b$ และ $c$ เป็นจำนวนจริงที่ทำให้สมการ $asin(x-\frac{\pi}{4})+bsinx+csin(x+\frac{\pi}{4})=0$ มีคำตอบอย่างน้อยสองค่าในช่วง $(0,\pi)$ จงหาสามสิ่งอันดับ $(a,b,c)$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้เมื่อ $a$ เป็นจำนวนเต็ม และ $1<b<5$
32. กำหนดให้ $A=\{(2x,2y)\in\mathbb{R}^2\mid\log_x (log_y x)>0\}$ และ $B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid\mid x\mid+\mid y\mid<2555$ และ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนเต็ม $\}$ จงหาจำนวนสมาชิกของ $A\cap B$
33. กำหนดให้ $x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots$ เป็นลำดับอนันต์ของจำนวนจริงในช่วง $[0,3]$ ซึ่งสอดคล้องกับอสมการ $\frac{x_n}{\sqrt{x_{n+1}+3}}\geq \sqrt{\frac{3}{2}}$ ทุก $n=1,2,3,\ldots$ ค่าของ $x_{2555}$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้เท่ากับเท่าใด
34. สำหรับจำนวนจริง $x$ ใดๆ กำหนดให้ $[x]$ เป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดซึ่งมีค่าไม่เกิน $x$ จงหาว่า มีจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมดกี่จำนวนซึ่งทำให้ $\sum_{j=1}^{2555}[2^{-j}n] =n-1$
35. สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก $n$ กำหนดให้ $a_n=$ จำนวนจริงที่มีค่ามากที่สุดที่ทำให้เส้นตรง $y=a_nx$ ตัดกราฟ $y=sin x$ ทั้งหมด $4n+1$ จุด จงหาค่าของ $\lim_{n\rightarrow\infty} na_n$

ข้อสอบชุดนี้เป็นลิขสิทธิ์ตามกฏหมายของสมาคมคณิตศาสตร์แห่งประเทศไทย ในพระบรมราชูปถัมภ์ ห้ามคัดลอกหรือทำสำเนาซ้ำ เฉลย และจำหน่ายโดยเด็ดขาด

[~ArT_Ty~]

ขอเฉลยข้อ 30 กับข้อ 31 หน่อยครับ

[Thgx0312555]

31
จัดรูปได้ $(\dfrac{a}{\sqrt{2}}+b+\dfrac{c}{\sqrt{2}})sinx+(\dfrac{a}{\sqrt{2}}-\dfrac{c}{\sqrt{2}})cosx=0$
ซึ่งจะเขียนใหม่ได้อยู่ในรูป $Asin(x+\theta)=0$
ซึ่งถ้า $A \not= 0$ สมการจะมีไม่เกินคำตอบเดียวในช่วงที่กำหนดให้
$A=0$
นั่นคือ
$\dfrac{a}{\sqrt{2}}+b+\dfrac{c}{\sqrt{2}}=0$ และ
$\dfrac{a}{\sqrt{2}}-\dfrac{c}{\sqrt{2}}=0$
$(a,b,c)=(-1,\sqrt{2},-1),(-2,2\sqrt{2},-2),(-3,3\sqrt{2},-3)$

แต่ในห้องสอบผมตอบผิด = =

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

คุณ Thgx0312555 ได้เยอะแล้วครับ

[Thgx0312555]

30
ตัวเลขที่มีใน $A \cup B \cup C$ ได้ ได้แก่ 1 2 3 4 6 8 9 12
ใน A,B,C รวมกันจะมี 1 ได้ 3 ตัว 2,3,4,6,8,9,12 มีได้อย่างละ 2 ตัว
$n(A)+n(B)+n(C) \le 17$
$n(A) \le 5$
$A$ ซึ่งให้ผลรวมสมาชิกมากสุด คือ $\left\{ 1,6,8,9,12 \right\}$
ผลบวกมากที่สุดคือ $36$

ตัวอย่างการสร้าง A,B,C ที่สอดคล้อง
A = {12, 9, 8, 6, 1}
B = {12, 9, 8, 3, 1}
C = {6, 4, 3, 2, 1}

[แม่ให้บุญมา]

ตอนที่ 3
28. มีไม้ขีดไฟ ก้านที่มีความยาว หน่วย ตามลำดับ สุ่มหยิบไม้ขีดมา ก้าน จงหาความน่าจะเป็นที่ไม้ขีดทั้งสามก้านสามารถประกอบเป็นด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมป้านได้

p=n(E)/n(S) โดย n(S)=10C3=10!/(3!7!)=120
n(E) อาจต้องแจกแจง สามเหลี่ยมที่ประกอบด้วย ความยาวก้าน a,b,c
โดยมีเงื่อนไขในการเลือกค่า c ที่จะได้∆ มุมป้านจาก
a<b<c โดยที่ sqrt(a²+b²)<c<a+b หรือ
(a²+b²)<c²<(a+b)²
เช่น ถ้า a=3, b=4
(3²+4²)<c²<(3+4)²
25< c²<49 ได้ c=6
ถ้า a=3, b=5
(3²+5²)<c²<8²
ได้ c=6,7 (c²=36,7²) เป็นต้น
ถ้าไล่หา c โดย เริ่มจาก a=2,b=3
ถึง a=6,b=7 ได้ c=10 ค่าเดียวเป็นอันสุดท้าย
ลองไล่แล้วบวกหาจำนวนค่า c รวมได้เป็น n(E) =32
ตอบ p=32/120

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

30
ตัวเลขที่มีใน $A \cup B \cup C$ ได้ ได้แก่ 1 2 3 4 6 8 9 12
ใน A,B,C รวมกันจะมี 1 ได้ 3 ตัว 2,3,4,6,8,9,12 มีได้อย่างละ 2 ตัว
$n(A)+n(B)+n(C) \le 17$
$n(A) \le 5$
$A$ ซึ่งให้ผลรวมสมาชิกมากสุด คือ $\left\{ 1,6,8,9,12 \right\}$
ผลบวกมากที่สุดคือ $36$

ตัวอย่างการสร้าง A,B,C ที่สอดคล้อง
A = {12, 9, 8, 6, 1}
B = {12, 9, 8, 3, 1}
C = {6, 4, 3, 2, 1}

ไม่เข้าใจอ่ะครับว่าทำไมต้องเอา 5,7,10,11 ออกไปอ่ะครับ??

[Mol3ilE]

ข้อ34 ตอบอะไรอ่ะครับ

[Thgx0312555]

ถ้ามี 7, 11 ในเซตหนึ่ง โดยเงื่อนไขอีกสองเซตก็ต้องมีด้วย
ซึ่งขัดแย้งกับ $A \cap B \cap C = \left\{ 1 \right\}$

ทำนองเดียวกันกับ 10

ถ้ามี 5 ในเซตหนึ่ง โดยเงื่อนไขต้องอีกสองเซตต้องมีตัวหาร 5 ลงตัวด้วย
แต่ทุกเซตไม่มี 10 ดังนั้นทุกเซตต้องมี 5 จึงขัดแย้ง

[ง่วงนอน]

เป็นข้อสอบที่ดีมากๆคร๊าบบบ

[N'Pon Jukku AuHu Jealyai]

ใครมีข้อสอบจริงมั่งอ่า
อยากเหนข้อสอบจริงอ่า
้เสียตังแม่งร้อยนึง นศท เสือกนัดไปสอบวันนั้น
นัดทีหลังด้วย อดๆ

[แม่ให้บุญมา]

ตอนที่ 2
18. นักเรียนมัธยมศึกษาตอนปลายห้องหนึ่งมีจำนวนทั้งหมด คน ประกอบไปด้วยนักเรียนชาย a คน และนักเรียนหญิง b คน ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ครั้งหนึ่งปรากฏว่า
คะแนนเฉลี่ยนของนักเรียนชาย เท่ากับ a คะแนน และคะแนนเฉลี่ยของนักเรียนหญิง เท่ากับ b คะแนน ถ้าคะแนนเฉลี่ยของนักเรียนทั้งห้องเท่ากับ 35 คะแนน แล้ว ค่า b ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเท่ากับเท่าใด

สมการ คะแนนรวม
คะแนนเฉลียของห้อง x จำนวนนักเรียนทั้งหมด = คะแนนเฉลียของนักเรียนชาย จำนวนนักเรียนชาย+ คะแนนเฉลียของนักเรียนหญิงx จำนวนนักเรียนหญิง
35 x 63=axa +bxb=a²+b²=a²+(63-a)²
2a² -126a+1764=0 ได้ a=21,42 ในทำนองเดียวกันได้
b= 42 และ 21

[No.Name]

#21 ผมงงอ่ะครับทำไม

ทำไม $A={1,12,9,8,6}$ แล้วมันไปหาร $12,9,8,3,1$ ลงตัวอ่ะครับ ไม่เข้าใจ

มันบอกว่า ทุกตัวใน A จะต้องไปหาร บางตัวใน B ไม่ใช่หรอครับ

[bell18]

หน้าบอร์ดของ ม.ต้น โพสต์รูปข้อสอบลงไปเรียบร้อยแล้ว ของม.ปลายน่าจะโพสต์รูปข้อสอบลงไปบ้างนะครับ