Nice problem ม.ต้น

[artty60]

จาก $cos4A=2cos^{2}2A-1=\frac{1}{3}$

$cos2A=\sqrt{\frac{2}{3}}$

$cos^{8}A-sin^{8}A=(cos^{4}A-sin^{4}A)(cos^{4}A+sin^{4}A)$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\,\,\,\,=(cos^{2}A-sin^{2}A)(cos^{2}A+sin^{2}A)[cos^{4}A+(1-cos^{2}A)^2]$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\,\,\,\,=cos2A[2cos^{4}A-(2os^{2}A-1)]$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\,\,\,\,=cos2A[2(\dfrac{cos2A+1}{2})^2-cos2A]$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\,\,\,\,=cos2A(\dfrac{cos^{2}2A+1}{2})$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\,\,\,\,=\sqrt{\frac{2}{3}}(\frac{5}{6})=\frac{5\sqrt{6}}{18} $

เลขไม่สวยเลย

[artty60]

ข้อ2.ให้$x=\frac{a^2}{b^2}$

แล้วได้สมการมาให้แก้$2 x^{12}-21x^8+24x^4-1$

แทนกลับหาค่า$a^4$ และ $b^4$ ได้

แต่ใครมีวิธีที่มันง่ายกว่านี้ไหม

ข้อ3.คิดได้ไม่หมด คือ $ x^3-74x^2+?x-27=0$

ใครรู้บ้างว่าตรงเครื่องหมาย?คือตัวเลขอะไร

[Rosalynn]

อนึ่งข้อสอง นั้นหากแก้ระบบสมการตรงๆ อาจะพบว่า ไม่มีค่า aและ b ที่เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้อง

เข้าใจว่าผู้ออกข้อสอบอาจตกหล่นไป

ส่วนวิธีโกงๆหน่อยก็ตามเอกลักษณ์นี้ค่ะ
$(a^6-3a^2b^4)^2+(b^6-3b^2a^4)^2=(a^4+b^4)^3$

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Rosalynn

อนึ่งข้อสอง นั้นหากแก้ระบบสมการตรงๆ อาจะพบว่า ไม่มีค่า aและ b ที่เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้อง

เข้าใจว่าผู้ออกข้อสอบอาจตกหล่นไป

ส่วนวิธีโกงๆหน่อยก็ตามเอกลักษณ์นี้ค่ะ
$(a^6-3a^2b^4)^2+(b^6-3b^2a^4)^2=(a^4+b^4)^3$

คนตั้งโจทย์อาจตั้งมาจากเอกลักษณ์นี้ก็ได้ครับ แต่อาจจะพลาดตรงแทนค่าตัวเลข

[artty60]

สุดยอดครับเป็นวิธีที่ง่ายขึ้นเยอะเลย

คำตอบได้ $ a^4+b^4=3$ พอดี

ข้อ3.ได้เป็น$x^3-74x^2-89x-27=0$


ปล.ไม่ค่อยมั่นใจ

[คนอยากเก่ง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

สุดยอดครับเป็นวิธีที่ง่ายขึ้นเยอะเลย

คำตอบได้ $ a^4+b^4=3$ พอดี

ข้อ3.ได้เป็น$x^3-74x^2-89x-27=0$


ปล.ไม่ค่อยมั่นใจ

ข้อ 3 ทำยังไงเหรอครับ
ผมใช้สูตร สมการกำลัง 3 น่ะครับ ยาวมากเลย
ได้ $x^3-74x^2-104x-27=0$ ไม่ค่อยมั่นใจครับ

[artty60]

#23
ให้ใช้หลักเรื่องความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์ของพหุนามครับ

ดูจากค่าที่ได้น่าจะมาถูกทางแล้วแต่อาจจะบวกลบเลขผิดตรงสปส.ของxนะครับ

ผมคิดซ้ำดูแล้วได้-89x เท่าเดิมครับ

[คนอยากเก่ง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

#23
ให้ใช้หลักเรื่องความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์ของพหุนามครับ

ดูจากค่าที่ได้น่าจะมาถูกทางแล้วแต่อาจจะบวกลบเลขผิดตรงสปส.ของxนะครับ

ผมคิดซ้ำดูแล้วได้-89x เท่าเดิมครับ

อ่า โทษครับๆแทนเลขผิด

ท่านคิดวิธีนี้รึเปล่าครับ
$a+b+c= 5
,ab+bc+ac=4,
abc=3$
(ขี้เกียจใส่วงเล็บ)
$ab^3+bc^3+ac^3 = (ab+bc+ac)(ab^2+bc^2+ac^2)-(a+b+c)(abc)(ab+bc+ac)+3(abc)^2$
$ab^3+bc^3+ac^3 = (4)(-14)-(5)(3)(4)+3(9)$
$= -56-60+27$
ผมไปหาสูตรมา ผมจำไม่ได้ซะด้วย มีวิธีง่ายกว่านี้ไหมครับ

[artty60]

#25
แบบนั้นแหละครับ

Newton's Identity

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

Shareโจทย์TMCซักข้อครับ
$เขียนเลข1,2,...,99ติดกันเป็น123456789101112...จงหาเศษจากการหารเลขนี้ด้วย45(ผมตอบ9ไม่รู้จะถูกหรือเปล่าครับ)$

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

Shareโจทย์TMCซักข้อครับ
$เขียนเลข1,2,...,99ติดกันเป็น123456789101112...จงหาเศษจากการหารเลขนี้ด้วย45(ผมตอบ9ไม่รู้จะถูกหรือเปล่าครับ)$

คำตอบถูกต้องแล้วครับ

$\because 45=9\cdot 5$

แยกพิจารณา

$123456789101112...9899$ เห็นได้ชัดว่าหารด้วย $5$ เหลือเศษ $4$

จึงได้ว่า $123456789101112...9890$ หารด้วย 5 ลงตัว



$1+2+...+99=4950$ หารด้วย $9$ ลงตัว

$123456789101112...9899$ หารด้วย $9$ ลงตัว

หารด้วย $123456789101112...9890$ หารด้วย $9$ ลงตัว

$\therefore 123456789101112...9890$ หารด้วย $45$ ลงตัว

จึงได้ว่า $123456789101112...9899$ หารด้วย $45$ เหลือเศษ $9$

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

Shareโจทย์TMCซักข้อครับ
$เขียนเลข1,2,...,99ติดกันเป็น123456789101112...จงหาเศษจากการหารเลขนี้ด้วย45(ผมตอบ9ไม่รู้จะถูกหรือเปล่าครับ)$

ข้อนี้เป็นของ ชั้น มัธยม ไหนครับ

แล้วก็มีข้อสอบอีกมั้ยครับ ช่วยเอาลงหน่อยครับ

[artty60]

ผลรวมของเลขโดดของ $123456789101112...9899=10(2\sum_{n = 1}^{9})=900 $

ผลรวมของเลขโดดของ$900=9$ ดังนั้น $123456789101112...9899$ หารด้วย9ลงตัว

จะได้ผลลัพธ์ลงท้ายด้วย1 เมื่อหารด้วย5จะเหลือเศษ1 ซึ่ง1นี้เป็น1ที่มาจากการหารด้วย9มาแล้ว

ดังนั้นเศษที่เกิดจากการหารจำนวนข้างต้นด้วย45จึงเท่ากับ1×9=9 ถูกต้องแล้วครับ

[computer]

หนูสอบของม.1ก็มีข้อนี้ โจทย์ที่จำได้:
$1)\, 2^n=(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)...(2^{32}+1)+1,\, n=?$
$2)$หาผลคูณของเลขสองหลักสุดท้ายของค่า $1!+2!+3!+...+2013!$
$3)\,P_1(x)=2x^2-6x+3$ โดย รากคำตอบของ $P_n(x)$ มีค่าเป็น2เท่าของรากคำตอบของ $P_{n-1}(x)$
$\,\,\,\,P_7(x)=x^2-bx+c$ จงหา $b+c$

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

$1)\, 2^n=(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)...(2^{32}+1)+1,\, n=?$

คูณ $(2-1)$ ทั้งสองข้าง

$2^n(2-1)=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)...(2^{32}+1)+1=2^{64}-1+1=2^{64}$

$n=64$