ปัญหา 3 ข้อ prime ideal ครับ

[Lekkoksung]

อันดับแรกจะให้ช่วยเช็คการแสดงว่า $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\mathbb{Z}_{n}$

ให้ $x \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ดังนั้น $x=a+n\mathbb{Z}$ สำหรับบาง $a\in \mathbb{Z}$

พิจารณา
$$x=a+n\mathbb{Z}=\{ a+nb : b\in \mathbb{Z} \}=\bar{a} $$
เพราะฉะนั้น $x \in \mathbb{Z}_{n}$

ให้ $y \in \mathbb{Z}_{n}$ ดังนั้นเราจะได้ว่า
$$y=\{ x+nk : k \in \mathbb{Z} \}=x+n\mathbb{Z}$$
เพราะฉะนั้น $y \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\mathbb{Z}_{n}$

อันดับที่สอง ช่วยแสดงให้ดูหน่อยครับ

An ideal $P \not = R$ of a commutative ring $R$ with $1$ is a prime ideal iff $R/P$ is an integral domain.

อันดับที่สาม อยากถามว่าจะมีการพิสูจน์

$p \mathbb{Z}$ เป็น prime ideal ของ $\mathbb{Z}$ ก็ต่อเมื่อ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ เมื่อ $n \geq 2$

โดยไม่ใช้อันที่หนึ่งและสองที่กล่าวมาข้างต้นอีกหรือไม่ครับ ที่สะดวกกว่า

ขอบคุณล่่วงหน้าครับ

>>>>>แก้แล้วน่ะครับ<<<<<

[nooonuii]

1. ถูกครับ

2. เช็คตามนิยามเลยครับ

ขาไป สมมติว่า $ab=0+P$

จะได้ว่า $ab\in P$ ดังนั้น $a\in P$ หรือ $b\in P$

นั่นคือ $a+P=0+P$ หรือ $b+P=0+P$

ซึ่งเป็นนิยามของ integral domain

ขากลับ

สมมติ $ab\in P$

จะได้ว่า $ab+P=0+P$

$(a+P)(b+P)=0+P$

ดังนั้น $a+P=0+P$ หรือ $b+P=0+P$

$a\in P$ หรือ $b\in P$

ซึ่งก็คือนิยามของ prime ideal

3. $\mathbb{Z}_p$ เป็น prime ideal ของอะไรครับ

[nooonuii]

3. ต้นกำเนิดแนวคิดในการสร้าง prime ideal มาจากจำนวนเฉพาะในเซตของจำนวนเต็มนี่เองครับ

prime ideal ก็คือภาคขยายของจำนวนเฉพาะที่เรารู้จักในทฤษฎีจำนวนไปยัง ring ทั่วไปนั่นเอง

อยากพิสูจน์ว่า $p\mathbb{Z}$ เป็น prime ideal ก็แค่ไล่นิยามแล้วใช้สมบัติของจำนวนเฉพาะครับ

สมมติว่า $ab\in p\mathbb{Z}$

จะได้ $ab=pk$ สำหรับบาง $k$

ลองทำต่อดูครับ

[kongp]

ในคณิตศาสตร์มี Non symmetry ไหมครับ ในวิชาคณิตศาสตร์ควรมีสมการ ใช่ Non Symmetry มีสมการได้ แต่ไม่ใช่อุดมคติที่ต้องการเสมอไปก็มี ที่เป็นคณิตศาสตร์ย่อมมีความแน่นอนแม้ในความซับซ้อนในที่สุด ที่ควรถูกบันทึกไว้

[Lekkoksung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kongp

ในคณิตศาสตร์มี Non symmetry ไหมครับ ในวิชาคณิตศาสตร์ควรมีสมการ ใช่ Non Symmetry มีสมการได้ แต่ไม่ใช่อุดมคติที่ต้องการเสมอไปก็มี ที่เป็นคณิตศาสตร์ย่อมมีความแน่นอนแม้ในความซับซ้อนในที่สุด ที่ควรถูกบันทึกไว้

ต้องขอโทษด้วยจริงๆครับ ผมมีความรู้อยู่ไม่มากครับ ไม่รู้จริงๆครับ