Problem Prime ideal

[viista]

Let R be an integral domain. If every ideal of R is a prime ideal, then R is a field.

[nooonuii]

ให้ $a\neq 0$

สมมติว่า $(a)\neq R$

ให้ $I=(a^2)\subseteq (a)$ เป็น proper ideal ของ $R$

จากสมมติฐาน $I$ เป็น prime ideal ของ $R$

เราทราบว่า $a^2=a\cdot a\in I$

เนื่องจาก $I$ เป็น prime ideal จะได้ $a\in I$

จากตรงนี้ลองพิสูจน์ต่อว่า

มี $b\in R$ ซึ่งทำให้ $ab=1$

ซึ่งจะทำให้ได้ว่า $R=(1)\subseteq (a)$ ซึ่งขัดแย้งกับที่สมมติไว้

ดังนั้น $R=(a)$

จึงได้ว่า $1=ax$ สำหรับบาง $x$

จึงได้ว่า $R$ เป็น field