Nice solution!!

[-Fussball-]

โจทย์ : ให้พหุนาม $ax^{17}+bx^{16}+1$ หารด้วย $x^2+x-1$ ลงตัว จงหาค่าของ $a+b$

ข้อนี้มีวิธีคิดอย่างไรโดยไม่ใช้การหารยาวครับ

ปล. นำมาจากหนังสือ " พีชคณิตคิดเพื่อชาติ " ครับ
ปล2. ถ้าอยากทำโจทย์อินทิเกรตที่มีวิธีคิดแพรวพราวเช่น $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{tan^{\sqrt{2}}x}dx$ หรือ $\int_{0}^{\pi} sin^{4}(x+3sin3x) dx $
จะฝึกจากหนังสือเล่มใด หรือ หนังสือเล่มใดมีโจทย์ลักษณะนี้อยู่มากช่วยแนะนำทีครับ

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -Fussball-

โจทย์ : ให้พหุนาม $ax^{17}+bx^{16}+1$ หารด้วย $x^2+x-1$ ลงตัว

ข้อนี้มีวิธีคิดอย่างไรโดยไม่ใช้การหารยาวครับ

ปล. นำมาจากหนังสือ " พีชคณิตคิดเพื่อชาติ " ครับ
ปล2. ถ้าอยากทำโจทย์อินทิเกรตที่มีวิธีคิดแพรวพราวเช่น $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{tan^{\sqrt{2}}x}dx$ หรือ $\int_{0}^{\pi} sin^{4}(x+3sin3x) dx $
จะฝึกจากหนังสือเล่มใด หรือ หนังสือเล่มใดมีโจทย์ลักษณะนี้อยู่มากช่วยแนะนำทีครับ

โจทย์จะถามว่าอะไรครับ

[-Fussball-]

$a+b$ ครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -Fussball-

โจทย์ : ให้พหุนาม $ax^{17}+bx^{16}+1$ หารด้วย $x^2+x-1$ ลงตัว

ข้อนี้มีวิธีคิดอย่างไรโดยไม่ใช้การหารยาวครับ

ปล. นำมาจากหนังสือ " พีชคณิตคิดเพื่อชาติ " ครับ

ถ้าเปลี่ยนโจทย์เป็น ให้พหุนาม $ax^{17}+bx^{16}+1$ หารด้วย $x^2$- $x-1$ ลงตัว อย่างนี้จะทำได้มั้ยครับ ถ้าเข้าใจตรงนี้ก็ไม่ยากครับ

[Amankris]

ลองเริ่มแบบนี้ดู

$ax^{17}+bx^{16}+1=(x^2+x-1)P(x)$

แล้วแทนค่าด้วยรากของ $x^2+x-1$ ก็แก้สมการได้

[Yuranan]

I try to do this problem but I can't find close form or make it easily. It be
$$(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})^n$$ If I know this,I will solve simply.

[-Fussball-]

ผมลองเริ่มจากระบบสมการ $x^2+x-1=0 \rightarrow x^2=-x+1 \rightarrow x^4=x^2-2x+1 \rightarrow x^4=-3x+2$
แล้วก็ทำไปเรื่อยๆ จะได้ $ax^{17}+bx^{16}+1 = kx+c = 0 \rightarrow k=c=0$ ซึ่ง $k,c$ จะอยู่ในเทอม $a,b$ แล้วก็แก้สมการออกมา แต่ปัญหาคือเลขมันเยอะมากครับ

ผิดถูกประการใดโปรดชี้แนะด้วยครับ

[Amankris]

อาจจะตอบในรูปของ $F_n$ นะครับ

แต่ผมว่าไม่เยอะมากนะ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -Fussball-

โจทย์ : ให้พหุนาม $ax^{17}+bx^{16}+1$ หารด้วย $x^2+x-1$ ลงตัว จงหาค่าของ $a+b$

ตอบ $-2584$

ให้ $p,q$ เป็นรากของพหุนาม $x^2+x-1$

จะได้ว่า $p+q=-1,pq=-1$

นิยามลำดับ $a_n=p^n+q^n$

จะได้ความสัมพันธ์

$a_{n+1}=-a_n+a_{n-1},a_1=-1,a_2=3$

จากความสัมพันธ์นี้จะสามารถหาค่า $a_3,a_4,...$ ไปได้เรื่อยๆ

เราจะได้ว่า

$a+b=\dfrac{p^{16}-q^{16}+q^{17}-p^{17}}{p-q}$

$~~~~~~=-a_{16}+a_{15}+a_{14}-a_{13}-a_{12}+a_{11}+a_{10}-a_9-a_8+a_7+a_6-a_5-a_4+a_3+a_2-1$

$~~~~~~=-2584$