เพชรยอดมงกุฎ(ทำไม่ได้ครับช่วยที)ปี 48

[tatari/nightmare]

7.จาก $$\frac{\sin x+\sin y+\sin z}{\sin (x+y+z)}=2\sqrt{2}$$
จะได้ $\sin x+\sin y+\sin z=(2\sqrt{2})(\sin (x+y+z))........(1)$
ในทำนองเดียวกันจะได้ $\cos x+\cos y+\cos z=(2\sqrt{2})(\cos (x+y+z))......(2)$
$(1)^2+(2)^2$ จะได้ $$(\sin x+\sin y+\sin z)^2+(\cos x+\cos y+\cos z)^2$$
$=8\sin^2 (x+y+z)+8\cos^2 (x+y+z)$
$=8[\sin^2 (x+y+z)+\cos^2 (x+y+z)]=8$
แต่จากที่ $$(\sin x+\sin y+\sin z)^2=\sin^2 x+\sin^2 y+\sin^2 z+2\sin x\sin y+2\sin y\sin z+2\sin z\sin x....(3)$$ และ $$(\cos x+\cos y+\cos z)^2=\cos^2 x+\cos^2 y+\cos^2 z+2\cos x\cos y+2\cos y\cos z+2\cos z\cos x....(4)$$ นำ $(3)+(4)$ จะได้
$(\sin x+\sin y+\sin z)^2+(\cos x+\cos y+\cos z)^2$
$=\sin^2 x+\sin^2 y+\sin^2 z+2\sin x\sin y+2\sin y\sin z+2\sin z\sin x+\cos^2 x+\cos^2 y+\cos^2 z+2\cos x\cos y+2\cos y\cos z+2\cos z\cos x$
$=3+2(\sin x\sin y+\sin y\sin z+\sin z\sin x)+2(\cos x\cos y+\cos y\cos z+\cos z\cos x)$
$=3+2u+2w$ ถ้าให้ $\sin x\sin y+\sin y\sin z+\sin z\sin x=w$ และ $\cos x\cos y+\cos y\cos z+\cos z\cos x=u$ จึงได้ว่า $$3+2w+2u=8$$ นั่นคือ $w+u=\frac{5}{2}$ พิจารณา
$$u-w=\cos x\cos y-\sin x\sin y+\cos y\cos z-\sin y\sin z+\cos z\cos x-\sin z\sin x$$
$=\cos (x+y)+\cos (y+z)+\cos (z+x)$ ให้ $x+y+z=k$ จะได้
$=\cos (k-x)+\cos (k-y)+\cos (k-z)$ กระจายออกมาแล้วจัดรูปจะได้
$= \cos k(\cos x+\cos y+\cos z)+\sin k(\sin x+\sin y+\sin z)$ จากสมการ (1) และ (2) จะได้
$u-w=\cos k(2\sqrt{2}\cos k)+\sin k(2\sqrt{2}\sin k)=2\sqrt{2}(\sin^2 k+\cos^2 k)=2\sqrt{2}$ เมื่อแก้สมการ จะได้$u=\frac{4\sqrt{2}+5}{4}$ #

[RedfoX]

รู้สึก ว่า U-W มันไม่ครบนะ ขาดไป 2 เทอม

[tatari/nightmare]

ผมแก้แล้วครับถ้ามีที่ผิดอีกก็บอกครับ(กำลังมึนๆ) ส่วนข้อ 9.น่าจะใช้พวก รากที่ n ของ 1 ประมาณเนี่ยอะครับ

[nongtum]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ขอโทษครับอ่านโจทย์ไม่ดี งั้นน่าจะมี 2 คำตอบ คือ $x= 0 , x = 31 $ครับ

ตัวแรกคือ $x=30$ หรือเปล่าครับ

ข้อ 9 จำไม่ผิดคิดว่า คุณ passer-by เคยเฉลยไปแล้ว แต่จำไม่ได้ว่าทำยังไง แต่ผมคิดว่าคงใช้เอกลักษณ์ $\displaystyle{{n+1 \choose k+1} = {n \choose k} + {n \choose k+1}}$ ช่วยมังครับ
สังเกตด้วยว่า $\displaystyle{\sum_{k=0}^n {n \choose k}=2^n}$

[passer-by]

Question No. 9 is copied from HMMT 2004

[RedfoX]

อืม มีง่ายกว่านี้ไหมครับ งงจัง

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RedfoX

อืม มีง่ายกว่านี้ไหมครับ งงจัง

Main idea ก็คือใช้ binomial theorem กับ $ x= \omega $ ครับ

โดย $ \omega$ คือรากที่ 3 ของ 1 แต่ไม่ใช่ 1 (i.e. $ \omega^3 =1 ; \omega \neq 1$)

จากนั้น ใช้ คุณสมบัติที่ว่า $ 1+ \omega +\omega^2 = 0 $ มาช่วย เพื่อทำให้เทอมอื่นหายไป ให้เหลือแต่ผลบวกที่เราต้องการอย่างเดียว (ลองคิดดูนะครับ ว่าทำไมต้องมี 3 สมการ )

[M@gpie]

ยากจริงๆนะครับเนี่ย

[banker]

เพื่อให้กระทู้นี้สมบูรณ์ เอาตัวข้อสอบมาลงให้ครับ