สมการซักข้อครับ (สพฐ.2555 รอบแรก)

[เรียวคุง]

ช่วยเสนอแนะวิธีทำข้อนี้หน่อยครับ ขอบคุณครับ

[Amankris]

ต้องใช้อสมการช่วยทำนะครับ

[TacH]

ลองจัดกำลังสองสมบูรณ์ดูครับสุดท้ายจะได้ว่า x+2=y+z-2 , y+4=z+x-4 และ z+6=y+x-6

[เรียวคุง]

จัดกำลังสองสมบูรณ์ยังไงครับ เอาค.ร.น. คูณก่อนรึปล่าว รบกวนช่วยอธิบายอีกนิดครับ ผมยังมองไม่ออกเลย = =

[gon]

นี่เป็นข้อสอบ สพฐ. รอบแรกข้อสุดท้ายฉบับภาษาไทยปีที่แล้วครับ ดูในกระทู้นี้ประกอบครับ.

ข้อสอบ สพฐ 2555 (รอบแรก)

ผมเคยลองจัดกำลังสองสมบูรณ์ดูแล้วเหมือนกัน แต่จัดไม่ออก

แต่ถ้าใช้อสมการโคชีที่อยู่ในรูปแบบของ Engel หรือ Engel form เหมือนในกระทู้ที่ว่าบอก ซึ่งพิสูจน์ได้ง่าย ๆ จากอสมการโคชี มีรูปแบบดังนี้
$$\frac{x_1^2}{a_1}+\frac{x_2^2}{a_2}+...+\frac{x_n^2}{a_n} \ge \frac{(x_1+x_2+...+x_n)^2}{(a_1+a_2+...+a_n)}$$

เมื่อ $x_1, x_2, ... x_n$ เป็นจำนวนจริงใด ๆ และ $a_1, a_2, ... , a_n$ เป็นจำนวนจริงบวก

และจะเป็นสมการก็ต่อเมื่อ $\frac{x_1}{a_1} = \frac{x_2}{a_2} = ... = \frac{x_n}{a_n}$

ดังนั้น ถ้าประยุกต์อสมการโคชีในรูปแบบดังกล่าวจะได้ว่า $$\frac{(x+2)^2}{y+z-2} + \frac{(y+4)^2}{z+x-4}+\frac{(z+6)^2}{x+y-6} \ge \frac{(x+y+z+12)^2}{2(x+y+z)-12}$$
แต่โจทย์กำหนดให้ $\frac{(x+2)^2}{y+z-2} + \frac{(y+4)^2}{y+z-2}+\frac{(z+6)^2}{x+y-6} = 36$ ดังนั้นจะได้อสมการ $\frac{(x+y+z+12)^2}{2(x+y+z)-12} \le 36$

จากอสมการนี้ ถ้าจัดรูปจะได้ $(x+y+z)^2-48(x+y+z)+576 \le 0 \iff (x+y+z-24)^2 \le 0$ แต่ปกติแล้ว ค่าของ $(x+y+z-24)^2 \ge 0$ เสมอ ดังนั้นจะสรุปได้ว่า $x+y+z-24 = 0 \iff x+y+z=24$ เท่านั้น

เมื่อแทนค่าในโจทย์ก็จะได้ว่า $$\frac{(x+2)^2}{22-x} + \frac{(y+4)^2}{20-y} + \frac{(z+6)^2}{18-z} = 36$$
ซึ่งจากเงื่อนไขการเป็นสมการ จะได้ว่า $\frac{x+2}{22-x} = \frac{y+4}{20-y} = \frac{z+6}{18-z}$

ถ้าลองจับ $\frac{x+2}{22-x} = \frac{y+4}{20-y}$ แล้วจัดรูป จะได้ $x-y=2 ... (1)$

และถ้าจับ $\frac{x+2}{22-x} = \frac{z+6}{18-z}$ จะได้ $x-z=4 ... (2)$

แต่เราทราบว่า $x+y+z=24 ... (3)$

ดังนั้นถ้านำสมการ (1)+(2)+(3) , จะได้ $3x = 30$ จึงได้ $x=10, y= 8, z = 6$

ดังนั้น $x^2+y^2+z^2 = 200$ มีได้ค่าเดียว

[เรียวคุง]

ขอบคุณมากครับ กระจ่างแจ้งเลยครับ

[TacH]

แบบนี้ได้ป่าวครับ
$\frac{(x+2)^2}{(\sqrt{y+z-2})^2}+\frac{(y+4)^2}{(\sqrt{z+x-4})^2}+\frac{(z+6)^2}{(\sqrt{x+y-6})^2}$

$=\frac{(x+2)^2}{(\sqrt{y+z-2})^2}+\frac{(y+4)^2}{(\sqrt{z+x-4})^2}+\frac{(z+6)^2}{(\sqrt{x+y-6})^2}-2(x+2)-2(y+4)-2(z+6)+(\sqrt{y+z-2})^2+(\sqrt{z+x-4})^2+(\sqrt{x+y-6})^2+2(x+2)+2(y+4)+2(z+6)-(\sqrt{y+z-2})^2-(\sqrt{z+x-4})^2-(\sqrt{x+y-6})^2$

$=(\frac{(x+2)^2}{(\sqrt{y+z-2})^2}-2(x+2)+(\sqrt{y+z-2})^2)+(\frac{(y+4)^2}{(\sqrt{z+x-4})^2}-2(y+4)+(\sqrt{y+z-2})^2)+(\frac{(z+6)^2}{(\sqrt{x+y-6})^2}-2(z+6)+(\sqrt{y+z-2})^2)+2(x+2)+2(y+4)+2(z+6)-(\sqrt{y+z-2})^2-(\sqrt{z+x-4})^2-(\sqrt{x+y-6})^2$


$=(\frac{x+2}{\sqrt{y+z-2}}-\sqrt{y+z-2})^2+(\frac{y+4}{\sqrt{z+x-4}}-\sqrt{z+x-4})^2+(\frac{z+6}{\sqrt{x+y-6}}-\sqrt{x+y-6})^2+2(x+2)+2(y+4)+2(z+6)-(\sqrt{y+z-2})^2-(\sqrt{z+x-4})^2-(\sqrt{x+y-6})^2$


$=(\frac{x+2}{\sqrt{y+z-2}}-\sqrt{y+z-2})^2+(\frac{y+4}{\sqrt{z+x-4}}-\sqrt{z+x-4})^2+(\frac{z+6}{\sqrt{x+y-6}}-\sqrt{x+y-6})^2+36
=36$
ดังนั้น
$(\frac{x+2}{\sqrt{y+z-2}}-\sqrt{y+z-2})^2+(\frac{y+4}{\sqrt{z+x-4}}-\sqrt{z+x-4})^2+(\frac{z+6}{\sqrt{x+y-6}}-\sqrt{x+y-6})^2=0$
จะได้ต่อว่า
$(\frac{x+2}{\sqrt{y+z-2}}-\sqrt{y+z-2})^2=0$
$(\frac{y+4}{\sqrt{z+x-4}}-\sqrt{z+x-4})^2=0$
$(\frac{z+6}{\sqrt{x+y-6}}-\sqrt{x+y-6})^2=0$

แก้ไปมาจะได้ $x^2+y^2+z^2=200$ ครับ

[polsk133]

สุดยอดครับ = =

[gnap]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

นี่เป็นข้อสอบ สพฐ. รอบแรกข้อสุดท้ายฉบับภาษาไทยปีที่แล้วครับ ดูในกระทู้นี้ประกอบครับ.

ข้อสอบ สพฐ 2555 (รอบแรก)

ผมเคยลองจัดกำลังสองสมบูรณ์ดูแล้วเหมือนกัน แต่จัดไม่ออก

แต่ถ้าใช้อสมการโคชีที่อยู่ในรูปแบบของ Engel หรือ Engel form เหมือนในกระทู้ที่ว่าบอก ซึ่งพิสูจน์ได้ง่าย ๆ จากอสมการโคชี มีรูปแบบดังนี้
$$\frac{x_1^2}{a_1}+\frac{x_2^2}{a_2}+...+\frac{x_n^2}{a_n} \ge \frac{(x_1+x_2+...+x_n)^2}{(a_1+a_2+...+a_n)}$$

เมื่อ $x_1, x_2, ... x_n$ เป็นจำนวนจริงใด ๆ และ $a_1, a_2, ... , a_n$ เป็นจำนวนจริงบวก

และจะเป็นสมการก็ต่อเมื่อ $\frac{x_1}{a_1} = \frac{x_2}{a_2} = ... = \frac{x_n}{a_n}$

ดังนั้น ถ้าประยุกต์อสมการโคชีในรูปแบบดังกล่าวจะได้ว่า $$\frac{(x+2)^2}{y+z-2} + \frac{(y+4)^2}{z+x-4}+\frac{(z+6)^2}{x+y-6} \ge \frac{(x+y+z+12)^2}{2(x+y+z)-12}$$
แต่โจทย์กำหนดให้ $\frac{(x+2)^2}{y+z-2} + \frac{(y+4)^2}{y+z-2}+\frac{(z+6)^2}{x+y-6} = 36$ ดังนั้นจะได้อสมการ $\frac{(x+y+z+12)^2}{2(x+y+z)-12} \le 36$

จากอสมการนี้ ถ้าจัดรูปจะได้ $(x+y+z)^2-48(x+y+z)+576 \le 0 \iff (x+y+z-24)^2 \le 0$ แต่ปกติแล้ว ค่าของ $(x+y+z-24)^2 \ge 0$ เสมอ ดังนั้นจะสรุปได้ว่า $x+y+z-24 = 0 \iff x+y+z=24$ เท่านั้น

เมื่อแทนค่าในโจทย์ก็จะได้ว่า $$\frac{(x+2)^2}{22-x} + \frac{(y+4)^2}{20-y} + \frac{(z+6)^2}{18-z} = 36$$
ซึ่งจากเงื่อนไขการเป็นสมการ จะได้ว่า $\frac{x+22}{22-x} = \frac{y+4}{20-y} = \frac{z+6}{18-z}$

ถ้าลองจับ $\frac{x+22}{22-x} = \frac{y+4}{20-y}$ แล้วจัดรูป จะได้ $x-y=2 ... (1)$

และถ้าจับ $\frac{x+22}{22-x} = \frac{z+6}{18-z}$ จะได้ $x-z=4 ... (2)$

แต่เราทราบว่า $x+y+z=24 ... (3)$

ดังนั้นถ้านำสมการ (1)+(2)+(3) , จะได้ $3x = 30$ จึงได้ $x=10, y= 8, z = 6$

ดังนั้น $x^2+y^2+z^2 = 200$ มีได้ค่าเดียว

เงื่อนไขการเป็นสมการคืออะไรหรอครับ

[ปากกาเซียน]

a1/b1=a2/b2=........

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gnap

เงื่อนไขการเป็นสมการคืออะไรหรอครับ

เงื่อนไขการเป็นสมการ หมายความว่า

$$\frac{x_1^2}{a_1}+\frac{x_2^2}{a_2}+...+\frac{x_n^2}{a_n} = \frac{(x_1+x_2+...+x_n)^2}{(a_1+a_2+...+a_n)}$$
เมื่อ $\frac{x_1}{a_1} = \frac{x_2}{a_2} = ... = \frac{x_n}{a_n} (= k)$

(ซึ่งพิสูจน์มาจาก อสมการโคชี รูปแบบปกติครับ)

[กิตติ]

วิธีแบบม.ต้นที่ไม่ใช่คิดง่ายๆของคุณTacH....สุดยอดครับ ขอจำไปใช้ครับ

[gnap]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TacH

แบบนี้ได้ป่าวครับ
$\frac{(x+2)^2}{(\sqrt{y+z-2})^2}+\frac{(y+4)^2}{(\sqrt{z+x-4})^2}+\frac{(z+6)^2}{(\sqrt{x+y-6})^2}$

$=\frac{(x+2)^2}{(\sqrt{y+z-2})^2}+\frac{(y+4)^2}{(\sqrt{z+x-4})^2}+\frac{(z+6)^2}{(\sqrt{x+y-6})^2}-2(x+2)-2(y+4)-2(z+6)+(\sqrt{y+z-2})^2+(\sqrt{z+x-4})^2+(\sqrt{x+y-6})^2+2(x+2)+2(y+4)+2(z+6)-(\sqrt{y+z-2})^2-(\sqrt{z+x-4})^2-(\sqrt{x+y-6})^2$

$=(\frac{(x+2)^2}{(\sqrt{y+z-2})^2}-2(x+2)+(\sqrt{y+z-2})^2)+(\frac{(y+4)^2}{(\sqrt{z+x-4})^2}-2(y+4)+(\sqrt{y+z-2})^2)+(\frac{(z+6)^2}{(\sqrt{x+y-6})^2}-2(z+6)+(\sqrt{y+z-2})^2)+2(x+2)+2(y+4)+2(z+6)-(\sqrt{y+z-2})^2-(\sqrt{z+x-4})^2-(\sqrt{x+y-6})^2$


$=(\frac{x+2}{\sqrt{y+z-2}}-\sqrt{y+z-2})^2+(\frac{y+4}{\sqrt{z+x-4}}-\sqrt{z+x-4})^2+(\frac{z+6}{\sqrt{x+y-6}}-\sqrt{x+y-6})^2+2(x+2)+2(y+4)+2(z+6)-(\sqrt{y+z-2})^2-(\sqrt{z+x-4})^2-(\sqrt{x+y-6})^2$


$=(\frac{x+2}{\sqrt{y+z-2}}-\sqrt{y+z-2})^2+(\frac{y+4}{\sqrt{z+x-4}}-\sqrt{z+x-4})^2+(\frac{z+6}{\sqrt{x+y-6}}-\sqrt{x+y-6})^2+36
=36$
ดังนั้น
$(\frac{x+2}{\sqrt{y+z-2}}-\sqrt{y+z-2})^2+(\frac{y+4}{\sqrt{z+x-4}}-\sqrt{z+x-4})^2+(\frac{z+6}{\sqrt{x+y-6}}-\sqrt{x+y-6})^2=0$
จะได้ต่อว่า
$(\frac{x+2}{\sqrt{y+z-2}}-\sqrt{y+z-2})^2=0$
$(\frac{y+4}{\sqrt{z+x-4}}-\sqrt{z+x-4})^2=0$
$(\frac{z+6}{\sqrt{x+y-6}}-\sqrt{x+y-6})^2=0$

แก้ไปมาจะได้ $x^2+y^2+z^2=200$ ครับ

แล้วบรรทัดที่3ไป4 มาจากไหนหรอครับ

[กิตติ]

บรรทัด สามไปสี่ ก็การบวกเข้าหักออกธรรมดานี่ครับ ลองกระจายพวกรูทยกกำลังสองออกแล้วได้พจน์กำลังหนึ่ง เช็คเครื่องหมายดีๆ แล้วมันตัดกันหมดเหลือแค่ $36$ เขียนช้าๆทีละตัว ผมเพิ่งเอาโจทย์ข้อนี้ไปให้ลูกทำ เกือบงงตอนบวกเข้าหักออกเหมือนกัน

[gnap]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

บรรทัด สามไปสี่ ก็การบวกเข้าหักออกธรรมดานี่ครับ ลองกระจายพวกรูทยกกำลังสองออกแล้วได้พจน์กำลังหนึ่ง เช็คเครื่องหมายดีๆ แล้วมันตัดกันหมดเหลือแค่ $36$ เขียนช้าๆทีละตัว ผมเพิ่งเอาโจทย์ข้อนี้ไปให้ลูกทำ เกือบงงตอนบวกเข้าหักออกเหมือนกัน

ขอโทษครับ
ต้องเป็นบรรทัด4ไป5สิ
ผมคงเบลอนับเลขผิด
ยังไงก็ขอคำแนะนำด้วยครับ