โจทย์ สพฐ ครับ คล้ายกับ IMO 1979

[เทพเวียนเกิด]

ให้ p เเละ q เป็นจำนวนเต็มบวก เเละ $\frac{p}{q}$ = $1 -\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1703}$ จงพิสูจน์ว่า p หารด้วย 2555 ลงตัว

[polsk133]

ข้อนี้เห็นตอนอยู่ในค่ายบอกว่าโจทย์ผิดหนิครับ

[เทพเวียนเกิด]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

ข้อนี้เห็นตอนอยู่ในค่ายบอกว่าโจทย์ผิดหนิครับ

จริงหรอครับ ว่าเเล้วว่าโจทย์ต้องผิด มันพิสูจน์ไม่ได้ เพราะ 2555 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ

[polsk133]

ใช่แล้วครับผิดตรงนั้น

[gnap]

ถ้าเป็นจำนวนเฉพาะจะพิสูจน์ยังไงหรอครับ

[เทพเวียนเกิด]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gnap

ถ้าเป็นจำนวนเฉพาะจะพิสูจน์ยังไงหรอครับ

คงยาวน่าดูครับ เเต่ไม่เกิน 1 หน้ากระดาษ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

ใช่แล้วครับผิดตรงนั้น

เย้ ดีใจจัง พิสูจน์มาถูกทาง

[Slow_Math]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gnap

ถ้าเป็นจำนวนเฉพาะจะพิสูจน์ยังไงหรอครับ

บวกเข้า ลบออก ครับ

[gnap]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Slow_Math

บวกเข้า ลบออก ครับ

...?ยังไงอ่ะครับ

[polsk133]

ใช้ตัวนี้
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=14984
แล้วเอาหัวบวกท้ายครับ

[gnap]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

ใช้ตัวนี้
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=14984
แล้วเอาหัวบวกท้ายครับ

ยังไม่เข้าใจอ่ะครับ
อยากได้วิธีพิสูจน์เต็มๆได้มั้ยครับ
ถ้าได้จะเป็นพระคุณอย่างสูงครับ
ขอบคุณครับ

[artty60]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gnap

ยังไม่เข้าใจอ่ะครับ
อยากได้วิธีพิสูจน์เต็มๆได้มั้ยครับ
ถ้าได้จะเป็นพระคุณอย่างสูงครับ
ขอบคุณครับ

ลองดูข้อ1. IMO ปี1979 ดูครับ

Problem A1

m/n = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... - 1/1318 + 1/1319.

Prove that m is divisible by 1979.

Solution

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... - 1/1318 + 1/1319
= 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/1319 - 2(1/2 + 1/4 + ... + 1/1318)
= 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/1319 - (1+1/2+1/3+...+1/659)
= 1/660 + 1/661 + ... + 1/1319.

and to notice that 660 + 1319 = 1979. Combine terms in pairs from the outside:

1/660 + 1/1319 = 1979/(660.1319);
1/661 + 1/1318 = 1979/(661.1318) etc.

[artty60]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ เทพเวียนเกิด

ให้ p เเละ q เป็นจำนวนเต็มบวก เเละ $\frac{p}{q}$ = $1 -\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1703}$ จงพิสูจน์ว่า p หารด้วย 2555 ลงตัว

$\frac{p}{q}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1703}$

$=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1703}-2(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{1702})$

$=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1703}-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{851})$

$=\frac{1}{852}+\frac{1}{853}+\frac{1}{854}+...+\frac{1}{1703}$

$=(\frac{1}{852}+\frac{1}{1703})+(\frac{1}{853}+\frac{1}{1702})+(\frac{1}{854}+\frac{1}{1701})+...+(\frac{1}{1277}+\frac{1}{1278 })$

$=2555(\frac{1}{852\times 1703}+\frac{1}{853\times 1702}+...+\frac{1}{1277\times 1278})$

$\therefore 2555$ เป็นตัวประกอบหนึ่งของ p ดังนั้น $2555\mid p $

[ปากกาเซียน]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

$\frac{p}{q}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1703}$

$=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1703}-2(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{1702})$

$=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1703}-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{851})$

$=\frac{1}{852}+\frac{1}{853}+\frac{1}{854}+...+\frac{1}{1703}$

$=(\frac{1}{852}+\frac{1}{1703})+(\frac{1}{853}+\frac{1}{1702})+(\frac{1}{854}+\frac{1}{1701})+...+(\frac{1}{1277}+\frac{1}{1278 })$

$=2555(\frac{1}{852\times 1703}+\frac{1}{853\times 1702}+...+\frac{1}{1277\times 1278})$

$\therefore 2555$ เป็นตัวประกอบหนึ่งของ p ดังนั้น $2555\mid p $

ต้องพิสูจน์ว่าในวงเล็บที่เหลือเป็นจำนวนเต็มด้วยไม่ใช่หรอครับ

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

ในวงเล็บ < 1 ไม่เป็นจำนวนเต็มครับ

[ปากกาเซียน]

ใช่ครับมันเลยไม่น่าจะได้