โจทย์จาก My Math ครับ

[littledragon]

ถ้า $abc=1$ แล้ว
$$\frac{a^6}{a+b^2+c^3}+\frac{b^6}{b+c^2+a^3}+\frac{c^6}{c+a^2+b^3}\geq 1$$

[littledragon]

ขอบคุณมากๆครับ

[littledragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Jew

เนื่องจาก(gonjv'0kd)
$$LHS\geqslant \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{a^3+b^3+c^3+a^2+b^2+c^2+a+b+c}$$
ต่อไปนี้จะแสดงว่า$$\frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{a^3+b^3+c^3+a^2+b^2+c^2+a+b+c}\geq 1$$
โดย AM-GM
$a^3+b^3+c^3\geqslant 1$
โดย GM-HM
$3\leqslant ab+bc+ca$
โดย AM-GM
$a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+cat \geqslant 3$

นำมาบวกกันจะได้ว่า
$a^3+b^3+c^3+a^2+b^2+c^2+a+b+c\geqslant 9$.........2
โดย AM-GM จะได้
$a^3+b^3+c^3\geqslant 9$......1
1/2 จะได้
$$\frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{a^3+b^3+c^3+a^2+b^2+c^2+a+b+c}\geqslant1$$
ซึ่งสมมูลกับ
$$\frac{a^6}{a+b^2+c^3}+\frac{b^6}{b+c^2+a^3}+\frac{c^6}{c+a^2+b^3}\geqslant\frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{a^3+b^3+c^3+a^2+b^2+c^2+a+b+c }\geqslant 1$$
จะได้
$$\frac{a^6}{a+b^2+c^3}+\frac{b^6}{b+c^2+a^3}+\frac{c^6}{c+a^2+b^3}\geq 1$$
ตามต้องการ

งงอะครับบบบบ

[LightLucifer]

คืองี้ครับ
โดย AM-GM
$a^3+b^3+c^3\geqslant 3$
$a^2+b^2+c^2\geqslant 3$
$a+b+c\geqslant 3$

ใช้แค่นี้แหละครับ

[RoSe-JoKer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

คืองี้ครับ
โดย AM-GM
$a^3+b^3+c^3\geqslant 3$
$a^2+b^2+c^2\geqslant 3$
$a+b+c\geqslant 3$

ใช้แค่นี้แหละครับ

งง...ผมไม่ได้ทำเลขโอมาพักนึงแล้ว ฝีมือตก สับสนว่าจากข้อมูลตรงนั้นเราจะใช้ทำอะไรต่อไป? ชี้แนะด้วยครับ
ส่วนตัวผมทำแบบนี้นะครับ
$a=x^3, b=y^3, c=z^3$
เราจะต้องทำการพิสูจน์ว่า
เมื่อ $xyz=1$
$\sum_{cyc} \frac{x^{18}}{x^8y^5z^5+x^3y^3z^12+x^4y^10z^4}\geq 1$
ซึ่งจาก อสมการ cauchy เราได้ว่า
$\sum_{cyc} \frac{x^{18}}{x^8y^5z^5+x^3y^3z^12+x^4y^10z^4}\geq \frac{(\sum_{cyc} x^9)^2}{\sum_{cyc} x^8y^5z^5+\sum_{cyc} x^3y^3z^12+sum_{cyc} x^4y^10z^4}$
ที่เหลือก็ไม่ยากมากแล้ว amgm แล้ว muirhead ไปก็โอเค ข้างขวา weak กว่าข้างซ้ายเยอะมากถึงมากที่สุด...
ว่าแต่ mymath มีอสมการด้วย...ส่งวิธีทำไปจะได้เงิน หรือรางวัลอะไรไหมเนี่ย อยากลองส่งไปดูบ้างจัง

[Jew]

ผมพิมพ์ผิดครับตอนนี้แก้เรียบร้อยแล้วครับ
ป.ล.murihead คืออะไรครับ
จากข้อมูลตรงนั้นผมใช้โคชีกับพิสูจน์ย้อนกลับนิดหน่อยก็ได้แล้วครับ

[LightLucifer]

murihead คืออะไรหรอครับช่วยชี้แนะด้วย
ที่ผมคิดคือ
$a^3+b^3+c^3\geqslant 3$.......(1)
$(a^3+b^3+c^3)^2\geqslant 9$..........(4)
$a^2+b^2+c^2\geqslant 3$..........(2)
$a+b+c\geqslant 3$..............(3)
$\frac{(4)}{(1)+(2)+(3)}$
$\frac{(a^3+b^3+c^3)}{a^3+b^3+c^3+a^2+b^2+c^2+a+b+c} \geqslant \frac{9}{9}=1$
ซึ่ง
$\frac{a^6}{a+b^2+c^3}+\frac{b^6}{b+c^2+a^3}+\frac{c^6}{c+a^2+b^3} \geqslant \frac{(a^3+b^3+c^3)}{a^3+b^3+c^3+a^2+b^2+c^2+a+b+c}\geqslant 1$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

murihead คืออะไรหรอครับช่วยชี้แนะด้วย
ที่ผมคิดคือ
$a^3+b^3+c^3\geqslant 3$.......(1)
$(a^3+b^3+c^3)^2\geqslant 9$..........(4)
$a^2+b^2+c^2\geqslant 3$..........(2)
$a+b+c\geqslant 3$..............(3)
$\frac{(4)}{(1)+(2)+(3)}$
$\frac{(a^3+b^3+c^3)}{a^3+b^3+c^3+a^2+b^2+c^2+a+b+c} \geqslant \frac{9}{9}=1$
ซึ่ง
$\frac{a^6}{a+b^2+c^3}+\frac{b^6}{b+c^2+a^3}+\frac{c^6}{c+a^2+b^3} \geqslant \frac{(a^3+b^3+c^3)}{a^3+b^3+c^3+a^2+b^2+c^2+a+b+c}\geqslant 1$

$\dfrac{(a^3+b^3+c^3)^2}{a^3+b^3+c^3+a^2+b^2+c^2+a+b+c} \leq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{9}$

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

murihead คืออะไรหรอครับช่วยชี้แนะด้วย
ที่ผมคิดคือ
$a^3+b^3+c^3\geqslant 3$.......(1)
$(a^3+b^3+c^3)^2\geqslant 9$..........(4)
$a^2+b^2+c^2\geqslant 3$..........(2)
$a+b+c\geqslant 3$..............(3)
$\frac{(4)}{(1)+(2)+(3)}$
$\frac{(a^3+b^3+c^3)}{a^3+b^3+c^3+a^2+b^2+c^2+a+b+c} \geqslant \frac{9}{9}=1$
ซึ่ง
$\frac{a^6}{a+b^2+c^3}+\frac{b^6}{b+c^2+a^3}+\frac{c^6}{c+a^2+b^3} \geqslant \frac{(a^3+b^3+c^3)}{a^3+b^3+c^3+a^2+b^2+c^2+a+b+c}\geqslant 1$

จะเข้ามาบอกว่าคุณ LightLucifer ติดโรคจากคุณ Jew แล้วครับ การเอาอสมการมาหารกันต้องระวังนะครับ ผมยกตัวอย่างให้ดูก็แล้วกัน

$~~~~~~ 4\geqslant 3.................(1)$
$~~~~~~ 3\geqslant 2.................(2)$
(1)/(2) จะได้ว่า $ \frac{4}{3} \geqslant \frac{3}{2}$ ซึ่งมันไม่จริงครับ

[LightLucifer]

อืมม ม ขอบคุณครับที่ช่วยชี้แนะ

[nooonuii]

$LHS\geqslant \dfrac{(a^3+b^3+c^3)^2}{a^3+b^3+c^3+a^2+b^2+c^2+a+b+c}$

ถ้ามาถึงตรงนี้ได้ก็มาถูกทางแล้วครับ แต่ที่ต้องทำต่อคือพิสูจน์ว่า

$a^3+b^3+c^3\geq a^2+b^2+c^2$

$a^3+b^3+c^3\geq a+b+c$

ซึ่งจะได้ว่า

$\dfrac{(a^3+b^3+c^3)^2}{a^3+b^3+c^3+a^2+b^2+c^2+a+b+c}\geq \dfrac{(a^3+b^3+c^3)^2}{3(a^3+b^3+c^3)}\geq 1$