Inequality with a+b+c=2

[James007]

Let $a,b,c$ be real numbers with $0<a<1,0<b<1,0<c<1$ and $a+b+c=2$.
Prove that
$$\frac{a}{1-a} \cdot \frac{b}{1-b} \cdot \frac{c}{1-c} \geq 8$$.
ขอวิธีสวยๆ หน่อยครับ

[หยินหยาง]

เป็นไปได้หรือครับที่ไม่รู้ว่าวิธีสวยๆ ของข้อนี้ ถ้าจำไม่ผิดข้อนี้เป็นโจทย์ สอวน.ค่าย1 ของปีที่แล้วมั้ง
แนวคิด ผมทำแบบสวยๆไม่เป็นทำได้แบบงูๆ ปลาๆ แก้ขัดไปวันๆ ครับ
จากโจทย์จะได้ว่า
$\frac{a}{2-2a} *\frac{b}{2-2b}*\frac{c}{2-2c}\geqslant 1$
$\frac{a}{b+c-a}*\frac{b}{a-b+c}*\frac{c}{a+b-c}\geqslant 1$
ให้
$a=x+y$
$b=y+z$
$c=z+x$

ต่อจากนั้นก็ลุยต่อเองได้อยู่แล้ว

[nooonuii]

มาจากอสมการนี้ $(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8xyz$

น่าจะคุ้นเคยกันดี ลองเปลี่ยนตัวแปรดูสิครับ

[Keehlzver]

โจทย์ข้อนี้ก็ Homogenize ไป เเทน $1$ ใน $L.H.S.$ ด้วย $\frac{a+b+c}{2}$ ก็จะได้อสมการที่คุณหยินหยางโพสเเต่ผมสงสัยนิดหน่อยครับ

คือว่าทำไมเราถึงเเทนค่า $a=x+y$, $b=y+z$, $c=z+x$ ลงไปได้อ่ะครับ ทั้งๆที่ $a,b,c$ ต่างก็ไม่ใช่ด้านของสามเหลี่ยม

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

โจทย์ข้อนี้ก็ Homogenize ไป เเทน $1$ ใน $L.H.S.$ ด้วย $\frac{a+b+c}{2}$ ก็จะได้อสมการที่คุณหยินหยางโพสเเต่ผมสงสัยนิดหน่อยครับ

คือว่าทำไมเราถึงเเทนค่า $a=x+y$, $b=y+z$, $c=z+x$ ลงไปได้อ่ะครับ ทั้งๆที่ $a,b,c$ ต่างก็ไม่ใช่ด้านของสามเหลี่ยม

จริงๆแล้วเป็นครับ เพราะ $a,b,c\in (0,1)$ และ $a+b+c=2$

[Jew]

ผมไม่เข้าใจอยู่ดีอ่ะครับ
ว่าทัมไมมันถึงเป็นด้านของสามเหลี่ยม
ปและทัมไมถ้าเป็นด้านของสามเหลี่ยมถึงแทนได้ครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Jew

ผมไม่เข้าใจอยู่ดีอ่ะครับ
ว่าทัมไมมันถึงเป็นด้านของสามเหลี่ยม
ปและทัมไมถ้าเป็นด้านของสามเหลี่ยมถึงแทนได้ครับ

ก็ลองเช็คอสมการนี้ดูสิครับ

$a+b-c>0$

$b+c-a>0$

$c+a-b>0$

ถ้าเป็นด้านของสามเหลี่ยมแต่ละเทอมข้างบนจะเป็นบวกหมดครับ

จริงๆถ้าจะใช้อสมการ

$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$

ก็ไม่จำเป็นต้องเช็คครับเพราะอสมการนี้จริงทุกจำนวนจริง

แต่กรณีนี้ต้องเช็คเพราะว่าอสมการอยู่ในรูปการหารทุกอย่างต้องเป็นบวก

ถึงจะย้ายข้างอสมการโดยที่อสมการไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย

[Keehlzver]

ให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมใดๆ จะมีจุด $P$, $Q$, $R$ ที่ทำให้ $AQ$, $BR$, $CP$ เเบ่งครึ่งมุม $BAC$, $ABC$, เเละ $BCA$ ตามลำดับโดยที่ จุด $P$, $Q$, $R$ อยู่บนด้านของสามเหลี่ยม $AB$, $BC$, $CA$ ตามลำดับ จะได้ว่าเส้นเเบ่งครึ่งมุมของสามเหลี่ยม $ABC$ คือ $AQ$, $BR$, $CP$ ตัดกันจุดเดียว จุดตัดดังกล่าวเป็นจุดศูนย์กลางวงกลมเเนบในสามเหลี่ยม $ABC$

จากทฤษฎีบทที่ว่า จากจุดภายนอกของวงกลมลากเส้นตรงไปสัมผัสวงกลมได้สองจุดซึ่งความยาวของเส้นสัมผัสวงกลมจะเท่ากัน ดังนั้นในสามเหลี่ยม $ABC$ เราจะได้ว่าจุดสัมผัสของวงกลมเเนบในสามเหลี่ยมดังกล่าวคือ $P$, $Q$, $R$ เพราะฉะนั้นเส้นสัมผัสวงกลม $AP=AR$, $BP=BQ$ เเละ $CQ=CR$

จากข้อความข้างต้นเราได้ว่าในสามเหลี่ยม $ABC$ $AB=AP+PB$, $BC=BQ+QC$ เเละ $CA=CR+RA$ เเละใช้ความสัมพันธ์ที่ว่า $AP=AR$, $BP=BQ$ เเละ $CQ=CR$ จะได้ว่า $AB=AP+PB$, $BC=PB+CQ$ เเละ $CA=CQ+AP$
ถ้าให้ $AP=x$, $PB=y$ เเละ $CQ=z$ เราจะได้ว่า $AB=x+y$, $BC=y+z$, $CA=z+x$ ซึ่งการที่ด้านของสามเหลี่ยมใดๆ จะมี $x,y,z$ ร่วมดังกล่าวด้วยเหตุนี้ครับผม

จากทฤษฎีบทที่ว่าสำหรับสามเหลี่ยม $ABC$ ใดๆ $AB+BC>CA$, $BC+CA>AB$ เเละ $CA+AB>BC$ เสมอ
กลับมาดูที่โจทย์นะครับ โจทย์บอกว่า $0<a,b,c<1$ เเละ $a+b+c=2$ การพิสูจน์ว่า $a,b,c$ เป็นด้านของสามเหลี่ยม จากการที่ $a<1$ จะได้ $2a<2=a+b+c$ ทำให้ได้ว่า $b+c>a$ พิสูจน์ในทำนองเดียวกันจะได้ว่า $a+b>c$ เเละ $c+a>b$ เหมือนกัน จากทฤษฎีบทที่อ้างไว้ $a,b,c$ เป็นด้านของสามเหลี่ยมจึงมี $x,y,z$ ที่ทำให้ $a=x+y$, $b=y+z$, $c=z+x$ ตามต้องการครับ

ผมฝากโจทย์ถามคุณ nooonuii หน่อยสิครับ โจทย์ของ Vasile $(a^2+b^2+c^2)^2 \geq 3(a^3b+b^3c+c^3a)$ จะจัดรูปกำลังสองสมบูรณ์เเบบที่เห็นๆกันได้ยังไงอ่ะครับ ที่ข้างในกำลังสองมันมีอยู่หลายพจน์มากเลย ผมดูเเล้วไม่มีวิธีพิจารณาเลยอะครับ เพราะจำนวนพจน์มันมากจริงๆ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Keehlzver

ผมฝากโจทย์ถามคุณ nooonuii หน่อยสิครับ โจทย์ของ Vasile $(a^2+b^2+c^2)^2 \geq 3(a^3b+b^3c+c^3a)$ จะจัดรูปกำลังสองสมบูรณ์เเบบที่เห็นๆกันได้ยังไงอ่ะครับ ที่ข้างในกำลังสองมันมีอยู่หลายพจน์มากเลย ผมดูเเล้วไม่มีวิธีพิจารณาเลยอะครับ เพราะจำนวนพจน์มันมากจริงๆ

โจทย์ข้อนี้น่ากลัวมากครับ ผมเคยลองมาหลายรอบแล้ว

ความยากคงอยู่ที่ เงื่อนไขที่ทำให้สมการเป็นจริงนั้นประหลาดมาก

แค่ $a=b=c$ คงไม่พอเพราะอสมการนี้เป็นจริงเมื่อ

$ (a,b,c) \sim\left(\sin^{2}\frac{4\pi}{7},\sin^{2}\frac{2\pi}{7},\sin^{2}\frac{\pi}{7}\right) $

ด้วย เป็นโจทย์ที่มองหารูปแบบของ SOS ได้ยากมากครับ

ถ้าให้ผมเดา Vasile เขาคงเจอโจทย์ข้อนี้โดยความบังเอิญครับ

เพราะเขามี software ที่ใช้ generate อสมการและเอกลักษณ์พีชคณิต