Fermat's little theorem

[Amankris]

1. จงหาจำนวนนับ $k$ ที่มากที่สุดที่หาร $n^5-n$ ลงตัว ทุกจำนวนนับ $n$
2. จงหาจำนวนนับ $k$ ที่มากที่สุดที่หาร $n^9-n$ ลงตัว ทุกจำนวนนับ $n$
3. จงหาจำนวนนับ $k$ ที่มากที่สุดที่หาร $n^{13}-n$ ลงตัว ทุกจำนวนนับ $n$
4. จงหาจำนวนนับ $k$ ที่มากที่สุดที่หาร $n^{37}-n$ ลงตัว ทุกจำนวนนับ $n$

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

1. จงหาจำนวนนับ $k$ ที่มากที่สุดที่หาร $n^5-n$ ลงตัว ทุกจำนวนนับ $n$
2. จงหาจำนวนนับ $k$ ที่มากที่สุดที่หาร $n^9-n$ ลงตัว ทุกจำนวนนับ $n$
3. จงหาจำนวนนับ $k$ ที่มากที่สุดที่หาร $n^{13}-n$ ลงตัว ทุกจำนวนนับ $n$
4. จงหาจำนวนนับ $k$ ที่มากที่สุดที่หาร $n^{37}-n$ ลงตัว ทุกจำนวนนับ $n$

ไม่แน่ใจนะครับ เอิ้กกกก ๆ

my solution

1. จะหา $k \in \mathbb{N} $ ซึ่ง $n^5 \equiv n \pmod{k}$
เนื่องจาก $n^5-n = n(n-1)(n+1)(n^2+1)$ ซึ่งมี $n^2-n , n^3-n,n^5-n$ เป็นตัวประกอบ
เพราะว่า $n^2 \equiv n \pmod{2},n^3 \equiv n \pmod{3},n^5 \equiv n \pmod{5}$ จะได้ว่า $2,3,5$ หาร $n^5-n$ ลงตัว และ $(2,3,5) = 1$ จะได้จำนวนนับที่มากที่สุดซึ่งหาร $n$ ลงตัวคือ $2*3*5 = 30$

2. ด้วยเหตุผลเดียวกับข้อหนึ่ง ตอบ $30$
3. เนื่องจาก $n^{13}-n = n(n-1)(n+1)(n^2+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)(n^4-n^2+1)$ ซึ่งมี $n^2-n , n^3-n , n^5-n,n^7-n,n^{13}-n$ และ $(2,3,5,7,13) = 1$
ด้วยเหตุผลเดียวกับข้อ 1
จำนวนนับที่มากที่สุดซึ่งหาร $n^{13}-n$ ลงตัวคือ $2*3*5*7*13 = 2730$
4. เนื่องจาก $n^{37}-n = n(n-1)(n+1)(n^2-1)(n^2-n+1)(n^2+n+1)(n^4-n^2+1)(n^6-n^3+1)(n^6+n^3+1)(n^{12}-n^6+1)$ ซึ่งมี $n^2-n,n^3-n,n^5-n,n^7-n,n^{13}-n,n^{17}-n,n^{19}-n,n^{37}-n$ และ $(2,3,5,7,13,17,19,37) = 1$
ด้วยเหตุผลเดียวกับข้อ 1 จะได้ จำนวนนับที่มากที่สุดซึ่งหาร $n^{37}-n$ ลงตัวคือ $32626230$