มาเล่นกัน ^.^!!

[-InnoXenT-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onasdi

ผมก็เป็นครับ เคยทำได้แล้วก็ลืม เป็นอะไรที่เซ็งมาก ไม่รู้ว่าจะนั่งนึกหรือจะคิดใหม่ดี
ข้อ 13 ครับ ผมลองคิดประมาณนี้ แอบถึกนิดหน่อย
$\displaystyle{4\cos (2n-1)\sin (2n)\cos (2n+1)=2\sin 2n (\cos 4n+\cos 2)}$
$=2\sin 2n \cos 4n +2\sin 2n\cos 2=\sin 6n -\sin 2n + \sin (2n+2) + \sin (2n-2)$

ดังนั้น $\displaystyle{4\Big[\cos3^{\circ}\sin4^{\circ}\cos5^{\circ}+\cos5^{\circ}\sin6^{\circ}\cos7^{\circ}+...+\cos175^{\circ}\sin176^{\circ}\cos177^{\circ }\Big]}$
$\displaystyle{=\sum_{n = 2}^{88}4\cos (2n-1)\sin (2n)\cos (2n+1)}$
$\displaystyle{=\sum_{n = 2}^{88}\Big[\sin 6n -\sin 2n + \sin (2n+2) + \sin (2n-2)\Big]}$

ใช้สูตร $\displaystyle{\sum_{n = a}^{b}\sin(2kn)=\frac{\sin(a+b)k\cdot\sin(b-a+1)k}{\sin k}}$
[พิสูจน์โดยคูณ 2sin k เข้าไป แล้วจะได้ telecoping series]

$\displaystyle{=\frac{\sin (90\cdot 3)\cdot\sin(87\cdot 3)}{\sin 3}-\frac{\sin 90\cdot\sin 87}{\sin 1}+\frac{\sin 92\cdot\sin 87}{\sin 1}+\frac{\sin 88\cdot\sin 87}{\sin 1}}$
$\displaystyle{=\frac{\cos 9}{\sin 3}+\frac{-\cos 3+2\cos 2\cdot \cos 3}{\sin 1}}$

จัดรูปจนมึนแล้วครับ ทำต่อให้หน่อยนะครับ

อาจจะมีวิธี telecoping ตรงๆ แต่คิดไม่ออกครับ

คิดต่อจากตรงนี้นะครับ ทำได้ละ

$\displaystyle{=\frac{\frac{\cos 9^{\circ}}{\sin 3^{\circ}}+\frac{-\cos 3^{\circ}+2\cos 2^{\circ}\cdot \cos 3^{\circ}}{\sin 1^{\circ}}}{4cos1^{\circ}cos5^{\circ}}}$

จัดรูปครับ

$\displaystyle{=\frac{\sin1^{\circ}\cos9^{\circ}-\sin3^{\circ}\cos3^{\circ}+\sin6^{\circ}\cos2^{\circ}}{4\cos1^{\circ}\sin1^{\circ}\cos5^{\circ}\sin3^{\circ}}}$

คูณ ด้วย $\frac{2}{2}$ จะได้

$\displaystyle{=\frac{\sin10^{\circ}-\sin8^{\circ}-\sin6^{\circ}+\sin8^{\circ}+\sin4^{\circ}}{4\sin3^{\circ}\sin2^{\circ}\cos5^{\circ}}}$

$\displaystyle{=\frac{\sin10^{\circ}+\sin4^{\circ}-\sin6^{\circ}}{4\sin2^{\circ}\cos5^{\circ}\sin3^{\circ}}}$

$\displaystyle{=\frac{2\sin5^{\circ}\cos5^{\circ}-2\cos5^{\circ}\sin1^{\circ}}{4\sin2^{\circ}\cos5^{\circ}\sin3^{\circ}}}$

$\displaystyle{=\frac{\sin5^{\circ}-\sin1^{\circ}}{2\sin2^{\circ}\sin3^{\circ}}}$

$\displaystyle{=\frac{2\cos3^{\circ}\sin2^{\circ}}{2\sin2^{\circ}\sin3^{\circ}}}$

$\displaystyle{=\cot3^{\circ}}$

ได้แล้วววววว

ปล. อย่าลืม ข้อ 17 ผมนะครับ ^^

[Onasdi]

เย่ๆ เยี่ยมครับ

หลังจากผมแอบดูคำตอบของคุณ -InnoXenT-
ก็คิดวิธีใหม่ได้ครับ คูณตลอดด้วย $2\sin 3^\circ$

$\displaystyle{\cos (2n-1)\Big[2\sin (2n)\sin 3\Big]\cos (2n+1)=\cos (2n-1)\Big[\
cos(2n-3)-\cos(2n+3)\Big]\cos (2n+1)}$
$\displaystyle{=\cos(2n-3)\cos (2n-1)\cos (2n+1)-\cos (2n-1)\cos (2n+1)\cos(2n+3)}$
ดังนั้น
$\displaystyle{2\sin 3^\circ\Big[\cos3^{\circ}\sin4^{\circ}\cos5^{\circ}+\cos5^{\circ}\sin6^{\circ}\cos7^{\circ}+...+\cos175^{\circ}\sin176^{\circ}\cos177^{\circ }\Big]}$
$\displaystyle{=\cos1^{\circ}\cos3^{\circ}\cos5^{\circ}-\cos3^{\circ}\cos5^{\circ}\cos7^{\circ}+\cos3^{\circ}\cos5^{\circ}\cos7^{\circ}-...-\cos175^{\circ}\cos177^{\circ}\cos179^{\circ }}$
$\displaystyle{=2\cos1^{\circ}\cos3^{\circ}\cos5^{\circ}}$

[-InnoXenT-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onasdi

เย่ๆ เยี่ยมครับ

หลังจากผมแอบดูคำตอบของคุณ -InnoXenT-
ก็คิดวิธีใหม่ได้ครับ คูณตลอดด้วย $2\sin 3^\circ$

$\displaystyle{\cos (2n-1)\Big[2\sin (2n)\sin 3\Big]\cos (2n+1)=\cos (2n-1)\Big[\
cos(2n-3)-\cos(2n+3)\Big]\cos (2n+1)}$
$\displaystyle{=\cos(2n-3)\cos (2n-1)\cos (2n+1)-\cos (2n-1)\cos (2n+1)\cos(2n+3)}$
ดังนั้น
$\displaystyle{2\sin 3^\circ\Big[\cos3^{\circ}\sin4^{\circ}\cos5^{\circ}+\cos5^{\circ}\sin6^{\circ}\cos7^{\circ}+...+\cos175^{\circ}\sin176^{\circ}\cos177^{\circ }\Big]}$
$\displaystyle{=\cos1^{\circ}\cos3^{\circ}\cos5^{\circ}-\cos3^{\circ}\cos5^{\circ}\cos7^{\circ}+\cos3^{\circ}\cos5^{\circ}\cos7^{\circ}-...-\cos175^{\circ}\cos177^{\circ}\cos179^{\circ }}$
$\displaystyle{=2\cos1^{\circ}\cos3^{\circ}\cos5^{\circ}}$

ง่ายกว่ากันเยอะเลยแฮะ

[[SIL]]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

เฉลย ข้อ 16 นะครับ เห็นนานมากแล้ว ไม่มีใครตอบเลย

คิดได้ 3 คู่อันดับ แต่ใช้ได้แค่ 1 เพราะคุณสมบัติเรื่อง log

คิดได้ $(x,y,z) = (5,\frac{1}{16},\frac{1}{400^2})$

17. จงหา $$\sum_{k = 0}^{2003} \frac{2003!(2546-k)!}{2546!(2003-k)!}$$

ผมได้ $(x,y,z) = (2^{-3/8},2^{-11/4},2^{-5/2})$ ครับ (โจทย์ไม่สวยแต่วิธีทำสวยดีนะ)
วิธีทำ จาก $log_{\sqrt{2}}(2x) = log_y(zx^{-4})$
$$(y)^{log_{\sqrt{2}}(2x)} = zx^{-4}$$
$$(2x)^{log_{\sqrt{2}}(y)} = zx^{-4}$$
$$(y^2)(x^{log_{\sqrt{2}}(y)+4}) = z$$
$$y^2z^{-1} = -log_216y^2 = log_{\sqrt{2}}(2x)$$
ทุกสมการจะจัดออกมาได้เหมือนกันแล้วก็แก้สมการครับ (หรือว่าแก้ผิดหว่า )

[-InnoXenT-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

ผมได้ $(x,y,z) = (2^{-3/8},2^{-11/4},2^{-5/2})$ ครับ (โจทย์ไม่สวยแต่วิธีทำสวยดีนะ)
วิธีทำ จาก $log_{\sqrt{2}}(2x) = log_y(zx^{-4})$
$$(y)^{log_{\sqrt{2}}(2x)} = zx^{-4}$$
$$(2x)^{log_{\sqrt{2}}(y)} = zx^{-4}$$
$$(y^2)(x^{log_{\sqrt{2}}(y)+4}) = z$$
$$y^2z^{-1} = -log_216y^2 = log_{\sqrt{2}}(2x)$$
ทุกสมการจะจัดออกมาได้เหมือนกันแล้วก็แก้สมการครับ (หรือว่าแก้ผิดหว่า )

ผมคิดเลขผิดนี่หว่า - -a

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

17. จงหา $$\sum_{k = 0}^{2003} \frac{2003!(2546-k)!}{2546!(2003-k)!}$$

$\sum_{k = 0}^{2003} \frac{2003!(2546-k)!}{2546!(2003-k)!}$

$1+\sum_{k = 1}^{2003} \frac{2003!(2546-k)!}{2546!(2003-k)!}$

$1+\frac{2003!}{2546!}\sum_{k = 1}^{2003} \frac{(2546-k)!}{((2006-k)-543)!}$

$1+\frac{2003!(543!)}{2546!}\sum_{k = 1}^{2003} \binom{2546-k}{543} $

พิสูจน์ได้ไม่ยากว่า $\sum_{k = 1}^{n}\binom{m-k}{m-n}=\binom{m}{m-n+1} $

$1+\frac{2003!(543!)}{2546!} \binom{2546-k}{2546-2003} $

$1+\frac{2003!(543!)}{2546!} \binom{2546}{544} $

$1+\frac{2003!(543!)(2546!)}{2546!(544!)(2002!)} $

$1+\frac{2002}{544} $ = $\frac{2546}{544} $


คิดว่า น่าจะถูกแล้วนะครับ ถ้าผิดก็ขออภัย

ข้อ 18.นิยาม [x] หมายถึง จำนวนเต็มที่มากที่สุดซึ่งมีค่าไม่เกิน x
จงหา $[\sqrt{\sqrt{\sqrt{...\sqrt{2009}}}}]$ เมื่อมีเครื่องหมายกรณฑ์ทั้งสิ้น 2009 ตัว

[HIGG BOZON]

ข้อ 18 จะได้ค่าเป็น $\sqrt[2^{2009}]{2009}$ ซึ่งมีค่า $1.xxxx$ จึงได้ floor function เป็น 1
ข้อ 19 นำอักษรจากคำว่า "MISSISSIPPI" มาเรียงสับเปลี่ยนเป็นคำทีละ 5 ตัวอักษร โดยไม่สนใจความหมาย จะได้คำทั้งสิ้นกี่คำ

[-InnoXenT-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ HIGG BOZON

ข้อ 18 จะได้ค่าเป็น $\sqrt[2^{2009}]{2009}$ ซึ่งมีค่า $1.xxxx$ จึงได้ floor function เป็น 1
ข้อ 19 นำอักษรจากคำว่า "MISSISSIPPI" มาเรียงสับเปลี่ยนเป็นคำทีละ 5 ตัวอักษร โดยไม่สนใจความหมาย จะได้คำทั้งสิ้นกี่คำ

เพิ่มเติม วิธีทำ ข้อ 18 ครับ

เนื่องจาก $44^2 < 2009 < 45^2$

ดังนั้น $44 < \sqrt{2009} < 45$

และ $6^2 < 44 < 45 < 7^2$

ดังนั้น $6 < \sqrt{44} < \sqrt{45} < 7$

เนื่องจาก $\sqrt{44} < \sqrt{\sqrt{2009}} < \sqrt{45}$

จะได้ $6 < \sqrt{\sqrt{2009}} < 7$

$4 = 2^2 < 6 < 7 < 9 = 3^2$ ---> $2 < \sqrt{6} < \sqrt{7} < 3$

ดังนั้น $2< \sqrt{\sqrt{\sqrt{2009}}} < 3$

$1^2 < 2 < \sqrt{\sqrt{\sqrt{2009}}} < 3 < 2^2$

$1 < \sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2009}}}} < 2$

$1 < \sqrt[2^5]{2009} < 1.414213562373095 $

เมื่อ ถอดรูททั้งอสมการไปเรื่อยๆ จะได้เลขทางขวา ที่เท่าใกล้ เลข 1 มากที่สุด ดังนั้น $[\sqrt[2^{2009}]{2009}] = 1$

ข้อ 19 คิดได้ 5 กรณีป่ะ

จะได้ทั้งหมด 440 วิธีป่ะคับ เรื่องนี้ไม่ชอบอ่ะ

[คusักคณิm]

ปลุกนิดนึง ด้วย ข้อสอบ IMO 1960/สอวน 2550

♣ให้$ N = 1⋅1! + 2⋅2! + 3⋅3! + . . . + 20⋅20!$
จงหาผลบวกของจำนวนเฉพาะทุกจำนวนที่เป็นตัวประกอบของ N + 1

[-InnoXenT-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คusักคณิm

ปลุกนิดนึง ด้วย ข้อสอบ IMO 1960/สอวน 2550

♫จงหาค่า $x$ จากอสมการ

♣ให้$ N = 1⋅1! + 2⋅2! + 3⋅3! + . . . + 20⋅20!$
จงหาผลบวกของจำนวนเฉพาะทุกจำนวนที่เป็นตัวประกอบของ N + 1

ให้เป็นข้อ 20 กับ 21 เลยนะครับ ผมลบข้อของผมออกแล้ว

[-InnoXenT-]

ข้อ 20 ตอบ $[\frac{-1}{2},0) \cup (0,\frac{45}{8}]$

ข้อ 21 ตอบ $2+3+5+7+11+13+17+19 = 77$

ขอปลุกด้วยข้อ 22 นะครับ

22. Given that

$50\sin^2{t}+5m\sin{t} + (4m-41) = 0$
$50\cos^2{t}+5m\cos{t} + (4m-41) = 0$

and $\tan{t} \not= 1$. Find the value of m

[[SIL]]

ไม่ได้เข้ามาซะนานเลย ได้ m = 8 ค่าเดียวครับ (สวยดี)
23. จงหาผลรวมเลขโดทั้งหมดที่ใช้เขียนจพนวนเต็มบวกจาก 1 ถึง 23000

[-InnoXenT-]

ข้อ 23 ตอบ

$126390$ รึเปล่าครับ

[-InnoXenT-]

ขอปลุกด้วยข้อ 24 นะครับ ลบโจทย์เดิมออกแล้ว หาเฉลยไม่ได้ T T

24. ให้ $t$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นพหุคูณของ $\frac{\pi}{2}$ และจำนวนเชิงซ้อน $x_1,x_2$ เป็นรากของสมการ
$(\tan^2{t})x^2 + (\tan{t})x +1 = 0$ จงหา $x^{n}_1+x^{n}_2$ เมื่อ $n \in \mathbf{N} $

[[SIL]]

ทิ้งไว้นาน ไม่ค่อยว่างครับ
ผมได้ $x_1^n+x_2^n = \frac{(2cos\frac{n\pi}{6})(cis\frac{3n\pi}{2})}{tan^nt}$
เอาเบาๆก่อน ^^
25. จงหาค่า x จากสมการ $3cosx+4sinx = 5$