หา limit

[amy1001]

จงหา limit ต่อไปนี้โดยไม่ใช่กฎโลปิตาล

$$\lim_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{1+x^2}-\sqrt[4]{1-2x}}}{x-x^2}$$

[คณิตต้องอดทน]

ถ้าตัวหลัง รากที่ 3 คิดออกครับ 2/3

[Napper]

ผมให้ $A=\sqrt[3]{1+x^2}$ และ $B=\sqrt[4]{1-2x}$

เนื่องจากว่าเราต้องการให้รากมันหายไป ทางเดียวที่ผมนึกออกคือเอาแต่ละตัวไปยกกำลัง 12 เลยใช้สูตรผลต่างกำลัง 12 ครับ
$$A^{12}-B^{12}=(A-B)\left(A^{11}+A^{10}B+\cdots+B^{10}\right)$$

สังเกตว่า $A^{12}-B^{12}=(1+x^2)^4-(1-2x)^3=x^8+4x^6+6x^4+8x^3-8x^2+6x$ เอาทุกอย่างยัดลงไปได้ว่า

$$\lim_{x \to 0} \frac{A-B}{x(1-x)}=\lim_{x \to 0} \frac{x^7+4x^5+6x^3+8x^2-8x+6}{(1-x)(A^{11}+A^{10}B+\cdots+B^{10})}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$$

ที่ได้เช่นนั้นเพราะว่าลิมิตของแต่ละอันย่อยๆมันหาได้หมด อย่างตัวเศษก็เหลือ 6 เฉยๆ และตัวส่วนวงเล็บแรกเป็น 1 วงเล็บสองเป็น 1 บวกกัน 12 ตัวครับ

[Amankris]

มองเป็นโจทย์หลายๆข้อผสมกันครับ

HINT

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt[3]{1+x^2}-1}{x}=\lim_{x\to0}\dfrac{x}{\sqrt[3]{1+x^2}^2+\sqrt[3]{1+x^2}+1}=0$

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\sqrt[4]{1-2x}}{x}=\lim_{x\to0}\dfrac{2}{(1+\sqrt[4]{1-2x})(1+\sqrt{1-2x})}=\dfrac{1}{2}$

[amy1001]

ขอบคุณมากๆเลยค่ะ ตอนแรกคิดว่าโจทย์ผิดมั้ย (พอซับซ้อนมากก็เริ่มคิดท้อ55)

[thai_be]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Napper

ผมให้ $A=\sqrt[3]{1+x^2}$ และ $B=\sqrt[4]{1-2x}$

เนื่องจากว่าเราต้องการให้รากมันหายไป ทางเดียวที่ผมนึกออกคือเอาแต่ละตัวไปยกกำลัง 12 เลยใช้สูตรผลต่างกำลัง 12 ครับ
$$A^{12}-B^{12}=(A-B)\left(A^{11}+A^{10}B+\cdots+B^{10}\right)$$

สังเกตว่า $A^{12}-B^{12}=(1+x^2)^4-(1-2x)^3=x^8+4x^6+6x^4+8x^3-8x^2+6x$ เอาทุกอย่างยัดลงไปได้ว่า

$$\lim_{x \to 0} \frac{A-B}{x(1-x)}=\lim_{x \to 0} \frac{x^7+4x^5+6x^3+8x^2-8x+6}{(1-x)(A^{11}+A^{10}B+\cdots+B^{10})}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$$

ที่ได้เช่นนั้นเพราะว่าลิมิตของแต่ละอันย่อยๆมันหาได้หมด อย่างตัวเศษก็เหลือ 6 เฉยๆ และตัวส่วนวงเล็บแรกเป็น 1 วงเล็บสองเป็น 1 บวกกัน 12 ตัวครับ

คนอื่นเข้าใจ ผมยังงงอยู่เลย
ทำไมไม่เห็น (x-x^2) ยกกำลัง 12 เลยอ่ะครับ

[thai_be]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

มองเป็นโจทย์หลายๆข้อผสมกันครับ

HINT

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt[3]{1+x^2}-1}{x}=\lim_{x\to0}\dfrac{x}{\sqrt[3]{1+x^2}^2+\sqrt[3]{1+x^2}+1}=0$

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\sqrt[4]{1-2x}}{x}=\lim_{x\to0}\dfrac{2}{(1+\sqrt[4]{1-2x})(1+\sqrt{1-2x})}=\dfrac{1}{2}$

ลองวิธีนี้เหมือนกันครับ
แต่ไม่เข้าใจ lim อันแรก -1 มาจากไหน แล้วทำไมข้างล่างเหลือแค่ x อ่ะครับ
ช่วยแสดงวิธีทำให้ดูหน่อยได้ไหมครับ