CGMO 2007 problem 3

[RoSe-JoKer]

...ช่วยผมทีครับ ภาพเสียหายหน่อยแต่ทุกพจน์ + หมดเลยนะครับ...

[murderer@IPST]

CGMO นี่คือของประเทศอะไรเหรอครับ

เพราะรู้สึกว่าอันนี้จะเป็นข้อสอบในค่ายของไทยปีที่แล้วด้วยนิครับ

[RoSe-JoKer]

CGMO=chinese girl mathematics olympiad ครับ

[dektepteptep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

CGMO=chinese girl mathematics olympiad ครับ

อย่างนี้คุณ Rose-Joker ต้องได้เข้าร่วมการแข่งขันแน่ๆเลยครับ 555+

[nut_sk129]

ตอบ 2/5 หรือปล่าวครับ

[nut_sk129]

Pf.
ให้ $\frac{a_1}{{a_2}^2+1}+\frac{a_2}{{a_3}^2+1}+...+\frac{a_n}{{a_1}^2+1}=L$
$[a_1({a_2}^2+1)+...+a_n({a_1}^2+1)]L \geq{a_1+a_2+...+a_n}^2$
$L \geq \frac{4}{a_1{a_2}^2+...+a_n{a_1}^2 + 2}$
โดยไม่เสียนัยทั่วไปสมมติ
$a_1 \geq a_2 \geq ... \geq a_n$
$a_1{a_2}^2+...+a_n{a_1}^2 \leq{a_1}^3+...+{a_n}^3 \leq \frac{{a_1+a_2+...+a_n}^3}{9}$ จากPower maen (n=3)
$\Rightarrow L \geq \frac{4}{\frac{8}{9}+2} = \frac{18}{13}$

[owlpenguin]

เท่าที่ดู อสมการจะเป็นสมการเมื่อ $a_1=a_2=...=a_n=\frac{2}{n}$
แล้วพอแทนในอสมการมันจะได้ $\geq\frac{2n^2}{n^2+4}$ ซึ่งมันจะ $\geq\frac{2}{5}$ ก็ต่อเมื่อ $n=1$ ครับ
แต่ว่าโจทย์มันกำหนดให้ $n>3$ ช่วยอธิบายด้วยครับ

[zead]

ข้อนี่ตอบ$ \frac{3}{2} $ครับ
โดยแทนค่า $\left(\,1,1,0,...,0\right)$

[owlpenguin]

แล้วทำไมมันถึงน้อยที่สุดครับ?

[nut_sk129]

โทษทีครับ นึกว่าอ้างได้เลย
เดี๋ยวแก้ให้ครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nut_sk129

${a_1}^3+...+{a_n}^3 \leq \frac{{a_1+a_2+...+a_n}^3}{9}$ จากPower mean (n=3)

ผมว่าไม่ใช่ power mean นะครับ