Functional Equation for POSN camp.

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

เป็นโจทย์เกี่ยวกับฟังก์ชัน ใครมีโจทย์เจ๋งๆ หรือทำข้อไหนได้รบกวนโพสต์ด้วยนะครับ แล้วจะลงกี่ข้อก็ตามแต่ใจท่านเป็นโจทย์ตั้งแต่ค่าย 1 ถึง TMO หรือ ค่ายสูงกว่านั้นก็ได้ครับ

============================================================

1.จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbf{Z} \rightarrow \mathbf{Z}$ ซึ่ง $ f(m+n-mn)=f(m)+f(n)-f(mn) $

2.จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{Q}$ ซึ่ง $ f(x+f(x)+2y)=2x+2f(f(y)) $

3.กำหนด $f:\mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ และ $f(3x+y)+f(3x-y)=f(x+y)+f(x-y)+16f(x)$ จงแสดงว่า $f$ เป็นฟังก์ชันคู่

[Thgx0312555]

3. ให้ $P(x,y)$ แทนข้อความดังกล่าว
$P(0,0)$; $f(0)=0$
$P(x,x)$; $f(4x)=16f(x)$
$P(x,0)$; $f(3x)=9f(x)$

$P(x,3x)$; $f(6x)+f(0)=f(4x)+f(-2x)+16f(x)$
จัดรูปโดยใช้ที่พิสูจน์ไว้ข้างต้นจะได้

$9f(2x)-f(-2x)=32f(x)$

แทน $x$ ด้วย $2x$ จะได้
$9f(4x)-f(-4x)=32f(2x)$

แทนค่า $f(4x)=16f(x), f(-4x)=16f(-x)$
$9\cdot 16f(x) - 16f(-x) = 32f(2x)$
$9f(x)-f(-x)=2f(2x)$

$f(2x) = \dfrac{9f(x)-f(-x)}{2}$

แทนค่า $x$ ด้วย $-x;$ $f(-2x) = \dfrac{9f(-x)-f(x)}{2}$

จากสมการ $9f(2x)-f(-2x)=32f(x)$ แทนค่า $f(2x),f(-2x)$
$9(\dfrac{9f(x)-f(-x)}{2})-\dfrac{9f(-x)-f(x)}{2}=32f(x)$

$41f(x)-9f(-x) = 32f(x)$

จะได้ $f(x)=f(-x)$
ดังนั้น $f$ เป็นฟังก์ชันคู่

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย

2.จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{Q}$ ซึ่ง $ f(x+f(x)+2y)=2x+2f(f(y)) $

ให้ $P(x,y)$ แทนข้อความ $f(x+f(x)+2y)=2x+2f(f(y))$

$P(0,0); f(f(0))=2\cdot 0 +2f(f(0))$
$f(f(0))=0$

$P(x,0); f(x+f(x)) = 2x+2f(f(0)) = 2x$

สำหรับทุกจำนวนตรรกยะ $k$ จะมี $a = \dfrac{k}{2}+f(\dfrac{k}{2})$ ซึ่ง $f(a)=k$
$\therefore f: onto$

$P(x+f(x),0); f(x+f(x)+f(x+f(x))) = 2x+2f(x)$
$f(x+f(x)+2x) = 2x+2f(x)$

แต่จาก $P(x,x); f(x+f(x)+2x) = 2x+2f(f(x))$

$f(f(x)) = f(x)$

แต่ $f$ เป็นฟังก์ชัน onto แทนค่า $f(x)$ ด้วย $x$
$f(x)=x$

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

มี 1 ฟังก์ชันแล้วครับ

$f(x)=x$

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

3. ให้ $P(x,y)$ แทนข้อความดังกล่าว
$P(0,0)$; $f(0)=0$
$P(x,x)$; $f(4x)=16f(x)$
$P(x,0)$; $f(3x)=9f(x)$

$P(x,3x)$; $f(6x)+f(0)=f(4x)+f(-2x)+16f(x)$
จัดรูปโดยใช้ที่พิสูจน์ไว้ข้างต้นจะได้

$9f(2x)-f(-2x)=32f(x)$

แทน $x$ ด้วย $2x$ จะได้
$9f(4x)-f(-4x)=32f(2x)$

นำสองสมการนี้มาแก้ แล้วแทนค่า $f(4x)=16f(x)$
จะได้ $f(x)=f(-x)$
ดังนั้น $f$ เป็นฟังก์ชันคู่

แก้สมการยังไงหรอครับ ผมแก้ไม่ออก

[polsk133]

3.
แทน
$$P(0,0): f(0)=0$$
$$p(x,0): f(3x)=9f(x)$$
$$p(x,x): f(4x)=16f(x)$$
$$p(x,2x): f(5x)+f(x)=f(3x)+f(-x)+16f(x)$$

ได้ $$f(5x)=24f(x)+f(-x)$$

$$p(x,6x): f(9x)+f(-3x)=f(7x)+f(-5x)+16f(x)$$

แทนลงไปได้ $$81f(x)+9f(-x)=f(7x)+24f(-x)+f(x)+16f(x)$$

ได้ $$f(7x)=64f(x)-15f(-x)$$

$$p(4x,3x): f(15x)+f(9x)=f(7x)+f(x)+16f(4x)$$

แทนลงไปได้ $$9f(5x)+81f(x)=64f(x)-15f(-x)+257f(x)$$

$$216f(x)+9f(-x)+81f(x)=321f(x)-15f(-x)$$

$$24f(-x)=24f(x)$$

[Thgx0312555]

แก้+อธิบายเพิ่มแล้วครับ

[Sirius]

http://imomath.com/index.php?options=338&lmm=0

มีโจทย์สมการเชิงฟังก์ชันเยอะครับ

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

4.จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$ ซึ่ง $3f(f(f(n)))+2f(f(n))+f(n)=6n$

5.จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ ซึ่ง $f(x)=f(x^2+\dfrac{x}{3}+\dfrac{1}{9})$

6.จงหาฟังก์ชัน $f: (0,1) \rightarrow \mathbf{R}$ ซึ่ง $f(xyz)=xf(x)+yf(y)+zf(z)$

7.จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ ซึ่ง $(x-y)f(x+y)=(x+y)f(x-y)$