simulation ภาคตัดกรวย

[TOP]

พาราโบลา
เลื่อนจุด a ไปทางซ้ายหรือขวา (โดยใช้เมาส์คลิกแล้วลาก) ให้สังเกตการเคลื่อนที่ของจุด k

HTML4STRICT Code:

1. <applet code="PGC.class" archive="applets/PGC.jar" width=480 height=320><param name=launch_button value=""><param name=launch_size value=""><param name=control_panel value=0><param name=graph_border value=0><param name=background_image value=""><param name=builtin_functions value=0><param name=builtin_examples value=0><param name=center value="(0,3)"><param name=zoom value=32><param name=line value=0><param name=plot value=0><param name=spin value=0><param name=active value="a"><param name=t_minimum value=-pi><param name=t_maximum value=pi><param name=t_count value=32><param name=a value="(3,-1)"><param name=b value=""><param name=c value=""><param name=d value=""><param name=f value="(0,1)"><param name=g value="(20t,-1)"><param name=h value="((2t), (2t)^2 / 4)"><param name=k value="(ax, ax^2 / 4)"><param name=m value="k + ((kx,-1)-k)|sin t|"><param name=n value="k + (f-k)|sin t|"></applet>

สีเขียว: y = x² / 4 , สีแดง: y = -1 , f = (0,1)

จุด k ถูกกำหนดจากตำแหน่งที่ทำให้ระยะห่างระหว่าง k และ f เท่ากับระยะทางที่สั้นที่สุดจากจุด k ไปยังเส้นสีแดง

เส้นสีเขียวแสดงถึงจุด k ที่เป็นไปได้ทั้งหมด เราเรียกเส้นสีเขียวนี้ว่า พาราโบลา เราเรียกจุด f ว่าจุดโฟกัสของพาราโบลา และเรียกเส้นสีแดงว่า ไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา

ความโค้งของพาราโบลาขึ้นกับระยะห่างระหว่างจุดโฟกัส กับเส้นไดเรกตริกซ์ ทดลองเลื่อนจุด c ด้วยเมาส์เพื่อดูความโค้งของพาราโบลาหลายๆแบบ

HTML4STRICT Code:

1. <applet code="PGC.class" archive="applets/PGC.jar" width=480 height=320><param name=launch_button value=""><param name=launch_size value=""><param name=control_panel value=0><param name=graph_border value=0><param name=background_image value=""><param name=builtin_functions value=0><param name=builtin_examples value=0><param name=center value="(0,0)"><param name=zoom value=32><param name=line value=0><param name=plot value=0><param name=spin value=0><param name=active value="a"><param name=t_minimum value=-pi><param name=t_maximum value=pi><param name=t_count value=80><param name=a value=""><param name=b value=""><param name=c value="(4,3)"><param name=d value=""><param name=f value="0, (cx^2 / (4cy))"><param name=g value="(4t, -fy)"><param name=h value="(cx 2t, cy (2t)^2)"><param name=k value=""><param name=m value="c + ((cx,-fy)-c)|sin t|"><param name=n value="c + (f-c)|sin t|"></applet>

สีเขียว: y = (c_y x²)/c_x² , สีแดง: y = -f_y , f = (0,(c_x²)/(4c_y))

หมายเหตุ: ในที่นี้เมื่อกล่าวถึงจุด k ใดๆจะหมายถึงพิกัด (k_x,k_y)

[TOP]

วงรี
เลื่อนจุด a เป็นแนววงกลมรอบจุดกำเนิด สังเกตแนวการเคลื่อนที่ของจุด k

HTML4STRICT Code:

1. <applet code="PGC.class" archive="applets/PGC.jar" width=480 height=320><param name=launch_button value=""><param name=launch_size value=""><param name=control_panel value=0><param name=graph_border value=0><param name=background_image value=""><param name=builtin_functions value=0><param name=builtin_examples value=0><param name=center value="(1,0)"><param name=zoom value=64><param name=line value=0><param name=plot value=0><param name=spin value=0><param name=active value="a"><param name=t_minimum value=-pi><param name=t_maximum value=pi><param name=t_count value=30><param name=a value="(.5,.5)"><param name=b value=""><param name=c value=""><param name=d value=""><param name=f value="(1,0)"><param name=g value="(4, 20t)"><param name=h value="2 (cos t, sqrt(3/4) sin t)"><param name=k value="2 (cos arg a, sqrt(3/4) sin arg a)"><param name=m value="(4,ky) + (k-(4,ky))|sin t|"><param name=n value="k + (f-k)|sin t|"></applet>

สีเขียว: y² = 3 - 3x²/4 , สีแดง: x = 4 , f = (1,0)

จุด k ถูกกำหนดจากตำแหน่งที่ทำให้ระยะห่างระหว่าง k และ f เป็นครึ่งหนึ่งของระยะห่างระหว่าง k ไปยังเส้นตรงสีแดงในแนวตั้ง

เส้นสีเขียวรูปวงรี คือตำแหน่งของ k ทั้งหมดที่เป็นไปได้ เราเรียกเส้นโค้งนี้ว่าวงรี เราเรียกจุด f ว่าจุดโฟกัสของวงรี และเรียกเส้นตรงสีแดงในแนวตั้งว่า เส้นไดเรกตริกซ์ของวงรี

จริงๆแล้ววงรีมีจุดโฟกัส 2 จุด และเส้นไดเรกตริกซ์ 2 เส้น จุดโฟกัสอีกจุดหนึ่งของรูปข้างบนอยู่ที่ตำแหน่ง (-1,0) และเส้นไดเรกตริกซ์อีกเส้นอยู่ที่ x = -4 จะสังเกตได้ว่าจะอยู่ตรงข้ามแบบสมมาตรกับอีกอันหนึ่ง

วงรีไม่ได้มีรัศมีเหมือนที่วงกลมมี โดยสำหรับวงรีทุกวง จะมีอัตราส่วนของระยะห่างระหว่าง k ไปยังจุดโฟกัสต่อระยะห่างระหว่าง k ไปยังเส้นไดเรกตริกซ์เป็นค่าคงที่ ที่น้อยกว่า 1 (สำหรับวงรีในรูปข้างบนมีค่าคงที่นี้เป็น 0.5) เราเรียกอัตราส่วนที่ค่าคงที่นี้ว่าค่า eccentricity

เลื่อน d ไปทางซ้ายหรือขวา ระหว่างค่า 0 ถึง 1 เพื่อดูวงรีที่มีค่า eccentricity ต่างๆ เป็น d_x

HTML4STRICT Code:

1. <applet code="PGC.class" archive="applets/PGC.jar" width=480 height=320><param name=launch_button value=""><param name=launch_size value=""><param name=control_panel value=0><param name=graph_border value=0><param name=background_image value=""><param name=builtin_functions value=0><param name=builtin_examples value=0><param name=center value="(1, 0)"><param name=zoom value=110><param name=line value=0><param name=plot value=0><param name=spin value=0><param name=active value="d"><param name=t_minimum value=-pi><param name=t_maximum value=pi><param name=t_count value=36><param name=a value=""><param name=b value=""><param name=c value=""><param name=d value="(.5, 1)"><param name=f value="dx + realonly(0, im(arcsin (2dx-1)))"><param name=g value="1/f + 10 i t"><param name=h value="cos t + i sqrt(1-f^2) sin t"><param name=k value=""><param name=m value=""><param name=n value=""></applet>

สีเขียว: y² = (1 - f_x²)(1 - x²) , สีแดง: x = 1 / f_x , f = (d_x,0)

เลื่อน c เพื่อดูวงรีทั้งหมด ซึ่งมีจุดโฟกัสอยู่ที่ f และ g

HTML4STRICT Code:

1. <applet code="PGC.class" archive="applets/PGC.jar" width=480 height=320><param name=launch_button value=""><param name=launch_size value=""><param name=control_panel value=0><param name=graph_border value=0><param name=background_image value=""><param name=builtin_functions value=0><param name=builtin_examples value=0><param name=center value="(0,0)"><param name=zoom value=80><param name=line value=0><param name=plot value=0><param name=spin value=0><param name=active value="a"><param name=t_minimum value=-pi><param name=t_maximum value=pi><param name=t_count value=30><param name=a value=""><param name=b value=""><param name=c value="(1,1)"><param name=d value=""><param name=f value="(1,0)"><param name=g value="-f"><param name=h value="((|c-f|+|c-g|)/2 cos t, sqrt(((|c-f|+|c-g|)/2)^2-(fx^2)) sin t)"> <param name=k value="c + (g-c)|sin t|"><param name=m value="c + 8 i t e^(i*((arg(c-f)+arg(c-g))/2))"><param name=n value="c + (f-c)|sin t|"></applet>

สีเขียว: y² = (a² - f_x²)(1 - x²/a²) , a = (|c - f| + |c - g|) / 2

เมื่อเลื่อน c ไปรอบๆจะสังเกตได้ว่า

• ผลรวมของความยาวของ cf และ cg จะมีค่าคงที่และมีความยาวเท่ากันแกนเอกของวงรี
• เส้นตรงที่ผ่าน c เรียกว่าเส้นสัมผัส จะสังเกตได้ว่ามุมที่ cf ทำกับเส้นสัมผัสและ มุมที่ cg ทำกับเส้นสัมผัสมีค่าเท่ากันเสมอ นั่นก็หมายความว่าหากภายในวงรี ทำจากกระจกเงา เมื่อเราทำการฉายแสงจากจุดโฟกัส ไปยังตำแหน่งใดๆของวงรี แสงสะท้อนที่ได้จะผ่านจุดโฟกัสอีกจุดหนึ่งเสมอ

[TOP]

ไฮเพอร์โบลา
เลื่อนจุด a ด้วยเมาส์ไปรอบๆจุดกำเนิด สังเกตแนวการเคลื่อนที่ของจุด k

HTML4STRICT Code:

1. <applet code="PGC.class" archive="applets/PGC.jar" width=480 height=320><param name=launch_button value=""><param name=launch_size value=""><param name=control_panel value=0><param name=graph_border value=0><param name=background_image value=""><param name=builtin_functions value=0><param name=builtin_examples value=0><param name=center value="(1,0)"><param name=zoom value=30><param name=line value=0><param name=plot value=0><param name=spin value=0><param name=active value="a"><param name=t_minimum value=-pi><param name=t_maximum value=pi><param name=t_count value=20><param name=a value="(.5,.5)"><param name=b value=""><param name=c value=""><param name=d value=""><param name=f value="(4,0)"><param name=g value="(1, 20t)"><param name=h value="2 (sec t, sqrt(3) tan t)"><param name=k value="2 (sec arg a, (ax/|ax|) * sqrt(3) tan arg a)"><param name=m value="(1,ky) + (k-(1,ky))|sin t|"><param name=n value="f + (k-f)|sin t|"></applet>

สีเขียว: y² = 3x² - 12 , สีแดง: x = 1 , f = (4,0)

จุด k ถูกกำหนดจากตำแหน่งที่ทำให้ระยะห่างระหว่าง k และ f เป็นสองเท่าของระยะห่างระหว่าง k ไปยังเส้นตรงสีแดงในแนวตั้ง

เส้นโค้งสีเขียว 2 เส้นแสดงถึงตำแหน่งของ k ทั้งหมดที่เป็นไปได้ เส้นโค้งทั้งสองนี้เราเรียกรวมกันว่า ไฮเพอร์โบลา เราเรียกจุด f ว่าจุดโฟกัสของไฮเพอร์โบลา และเรียกเส้นตรงสีแดงในแนวตั้งว่า เส้นไดเรกตริกซ์ของไฮเพอร์โบลา

จริงๆแล้วไฮเพอร์โบลามีจุดโฟกัส 2 จุด และเส้นไดเรกตริกซ์ 2 เส้น จุดโฟกัสอีกจุดหนึ่งของรูปข้างบนอยู่ที่ตำแหน่ง (-4,0) และเส้นไดเรกตริกซ์อีกเส้นอยู่ที่ x = -1 จะสังเกตได้ว่าจะอยู่ตรงข้ามแบบสมมาตรกับอีกอันหนึ่ง

คล้ายๆกับวงรี ไฮเพอร์โบลาทุกอัน จะมีอัตราส่วนของระยะห่างระหว่าง k ไปยังจุดโฟกัสต่อระยะห่างระหว่าง k ไปยังเส้นไดเรกตริกซ์เป็นค่าคงที่ ที่มากกว่า 1 (สำหรับไฮเพอร์โบลาในรูปข้างบนมีค่าคงที่นี้เป็น 2)

เลื่อน d ไปทางซ้ายหรือขวา ระหว่างค่า 1 ถึง ฅ เพื่อดูไฮเพอร์โบลาที่มีค่า eccentricity ต่างๆ เป็น d_x

HTML4STRICT Code:

1. <applet code="PGC.class" archive="applets/PGC.jar" width=480 height=320><param name=launch_button value=""><param name=launch_size value=""><param name=control_panel value=0><param name=graph_border value=0><param name=background_image value=""><param name=builtin_functions value=0><param name=builtin_examples value=0><param name=center value="(0, 0)"><param name=zoom value=64><param name=line value=0><param name=plot value=0><param name=spin value=0><param name=active value="d"><param name=t_minimum value=-pi><param name=t_maximum value=pi><param name=t_count value=30><param name=a value=""><param name=b value=""><param name=c value=""><param name=d value="(2, 2)"><param name=f value="dx + realonly(0, im(sqrt(dx-1)))"><param name=g value="1/f + 10 i t"><param name=h value="sec t + i sqrt(f^2-1) tan t"><param name=k value=""><param name=m value=""><param name=n value=""></applet>

สีเขียว: y² = (1 - f_x²)(1 - x²) , สีแดง: x = 1 / f_x , f = (d_x,0)

ไฮเพอร์โบลาซึ่งมีค่า eccentricity เป็น sqrt(2) เราเรียกว่าไฮเพอร์โบลาฉาก ตัวอย่างรูปข้างล่างแสดงไฮเพอร์โบลาฉาก ทดลองเลื่อนจุด c ไปรอบๆเพื่อดูไฮเพอร์โบลาฉากหลายๆแบบ

HTML4STRICT Code:

1. <applet code="PGC.class" archive="applets/PGC.jar" width=480 height=320><param name=launch_button value=""><param name=launch_size value=""><param name=control_panel value=0><param name=graph_border value=0><param name=background_image value=""><param name=builtin_functions value=0><param name=builtin_examples value=0><param name=center value="(0, 0)"><param name=zoom value=40><param name=line value=0><param name=plot value=0><param name=spin value=0><param name=active value="d"><param name=t_minimum value=-pi><param name=t_maximum value=pi><param name=t_count value=60><param name=a value=""><param name=b value=""><param name=c value="(-1,1)"><param name=d value=""><param name=f value="(1,1)(sec t, tan t)"><param name=g value="(tan t, sec t)"><param name=h value="(sec t, tan t)"><param name=k value=""><param name=m value=""><param name=n value="c (cosh (2t), sinh (2t))"></applet>

สีเขียว: x² - y² = 1 , สีน้ำเงิน: y = 1 / x , สีแดง: (x,y) = (tan(t) , sec(t)) , สีเทา: (cosh(t) + i sinh(t)) c

ทดลองเลื่อนจุด c อีกครั้ง คราวนี้ให้เข้าใกล้จุดกำเนิด จะพบว่าไฮเพอร์โบลาฉากมีรูปร่างเป็นมุมฉาก นั่นคือเหตุผลที่เราเรียกไฮเพอร์โบลาแบบนี้ว่า ไฮเพอร์โบลาฉาก

[TOP]

มาระเบิดวงรีกันเถอะ
จากสมการวงรีในรูปมาตรฐานคือ x²/a² + y²/b² = 1

การระเบิดของวงรีทำโดยการ เลื่อนจุดโฟกัสทั้งสอง ให้ห่างจากกันเรื่อยๆ(วงรีจะโตขึ้น) จนถึงระยะ ฅ วงรีก็จะระเบิด

เพื่อจะให้เห็นภาพการระเบิดของวงรีชัดๆ เราจะจำกัดขอบเขตของวงรีให้อยู่ภายในบริเวณหนึ่งที่เราสามารถสังเกต พฤติกรรมของมันได้ง่าย โดยการกำหนดให้จุดโฟกัสทางซ้ายมือไม่เปลี่ยนแปลง แต่จะเลื่อนจุดโฟกัสทางขวามือแทน แต่เพื่อการจัดรูปทางสมการดูง่ายขึ้น เราจะขอเลื่อนจุดโฟกัสทางซ้ายมือ มาอยู่ที่ตำแหน่ง (k,0) โดยที่ k = a - c สมการวงรีที่ได้เลื่อน จุดโฟกัสทางซ้ายมือเรียบร้อยแล้ว คือ (x - a)²/a² + y²/b² = 1

ต่อจากนี้เราจะกำหนดให้ k เป็นค่าคงที่ ส่วนค่า a , b , c สามารถเปลี่ยนค่าได้
เนื่องจาก k = a - c และ b² = a² - c² = (a - c)(a + c) = k(a + c) สมการข้างบนก็จะกลายเป็น
(x - a)²/a² + y²/(k(a + c)) = 1
x²/a - 2x + y²/(k(1+c/a)) = 0
เนื่องจาก c = a - k จะได้ x²/a - 2x + y²/(k(1+(a - k)/a)) = 0
x²/a - 2x + y²/(k(2 - k/a)) = 0
ตอนนี้สมการของเราอยู่ในรูปที่มีค่าคงที่ k หนึ่งค่า และตัวแปร a หนึ่งตัวแล้ว เราจึงเริ่มเพิ่มค่าของ a ขึ้นเรื่อยๆ

หาลิมิตเมื่อ a เข้าใกล้ ฅ ทั้ง 2 ข้าง จะได้
lim_aฎฅ{x²/a - 2x + y²/(k(2 - k/a))} = lim_aฎฅ{0}
-2x + y²/(2k) = 0
y² = 4kx
นั่นไงละ เมื่อวงรีระเบิดแล้ว ผลที่ได้ก็คือ ได้พาราโบลานี่เอง

ทดลองเลื่อนจุด a ระหว่างค่า 0 ถึง 5 (ในที่นี้จะให้ผลเทียบเท่ากับระหว่าง 0 ถึง ฅ) เพื่อดูการเปลี่ยนรูปร่างของวงรีตั้งแต่ก่อนจะระเบิด และหลังจากระเบิดแล้ว

HTML4STRICT Code:

1. <applet code="PGC.class" archive="applets/PGC.jar" width=480 height=320><param name=control_panel value=0><param name=graph_border value=0><param name=line value=0><param name=center value="(2.5,0)"><param name=zoom value=80><param name=t_minimum value=-pi><param name=t_maximum value=pi><param name=t_count value=400><param name=a value="(2.5,0)"><param name=f value="(8*(-(1/5)+1/(5-ax))+8*(-(1/5)+1/(5-ax))*cos(t),sqrt(2*(-(1/5)+1/(5-ax))+1)*sin(t))"></applet>