True - False Marathon

[nooonuii]

81. จริง การพิสูจน์แค่ไล่นิยามก็จบครับ

82. เท็จ ผมกับคุณ passer-by เพิ่งพิสูจน์ไปในกระทู้ Calculus Marathon (1) ว่า $a^a>\frac{1}{2}$ ทุกค่า $a>0$ ครับ

[Mastermander]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
82. มีจำนวนจริง $a$ ที่ทำให้$$a^a=\frac14$$

Let $a=-2$

[nongtum]

84. เมื่อ $x\in\mathbb{R}$ แล้ว $\displaystyle\lim_{x\to 0}0^x=\lim_{x\to 0}x^0$
85. ฟังก์ชัน $y=x^x\in C^\infty(\mathbb{R})$
86. คำตอบของสมการ $x^2+ax+b=0,\ a,b\in\mathbb{Z}$ ที่มี discriminant ไม่เป็นลบ สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนต่อเนื่องเชิงเดียวได้เสมอ (ดูข้อ 80 ประกอบ)

[Mastermander]

84. False
$$0\ne1$$

[M@gpie]

เท็จ 85. เพราะ $x<0\; $ เพราะ $ \; x^x $ ไม่นิยาม ที่ $x$ เป็นอตรรกยะ

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:


Let $a=-2$

แง้ว โดนหลอกอีกแล้วครับ

87. ให้ $f : (a,b)\to\mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง จะได้ว่า $f$ เป็น strictly monotone function ก็ต่อเมื่อ $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

88. มีฟังก์ชันต่อเนื่อง $f: [0,1]\to [0,1]$ ซึ่งมีคุณสมบัติว่า $f(x)\neq x$ ทุกค่า $x\in [0,1]$

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
88. มีฟังก์ชันต่อเนื่อง $f: [0,1]\to [0,1]$ ซึ่งมีคุณสมบัติว่า $f(x)\neq x$ ทุกค่า $x\in [0,1]$

เท็จ เรื่องนี้เล่นกันไปหลายครั้งแล้วครับ ดูคำตอบของคุณ passer-by คุณ nooonuii และของผมได้ที่
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=1352 http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=745

[M@gpie]

ข้อ 87. ของพี่ noonuii คล้ายๆกับข้อ 83. ของผมรึเปล่าครับ?

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ M@gpie:
ข้อ 87. ของพี่ noonuii คล้ายๆกับข้อ 83. ของผมรึเปล่าครับ?

ใช่ครับ แต่ไม่เหมือนซะทีเดียว

ป.ล. ยังเหลือข้อ 52, 59, 66, 68, 71, 75, 76, 77, 79, 83, 86, 87
ไม่ทราบว่ามีคนยังตามคิดข้อเหล่านี้อยู่รึเปล่าครับ

[nooonuii]

52. จริง ไม่รู้จะทำยังไงแล้วครับ ก็เลยให้น้องเปิ้ลช่วยคิด

จากข้อสังเกตของคุณ Warut เพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า
$$\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln{n}}{2^{n-1}}>1}$$

ถ้า $n\geq 8$ จะได้ว่า $\ln{n}>2$ ดังนั้น

$$\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln{n}}{2^{n-1}}>\frac{\ln{2}}{2}+\frac{\ln{3}}{2^2}+\frac{\ln{4}}{2^3}+\frac{\ln{5}}{2^4}+\frac{\ln{6}}{2^5}+\frac{\ln{7}}{2^6}+\sum_{n=8}^{ \infty} \frac{2}{2^{n-1}}}$$

$$\displaystyle{=\frac{\ln{2}}{2}+\frac{\ln{3}}{2^2}+\frac{\ln{4}}{2^3}+\frac{\ln{5}}{2^4}+\frac{\ln{6}}{2^5}+\frac{\ln{7}}{2^6} +\frac{1}{32} \approx 1.012750657}$$

[warut]

ข้อ 52. นี่ผมก็ทำคล้ายๆกับคุณ nooonuii ครับ แต่สามารถลดการคำนวณลงได้อีกนิดนึงดังนี้ $$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln{n}}{2^{n-1}} >\frac{\ln{2}}{2}+ \frac{\ln{3}}{2^2}+ \frac{\ln{4}}{2^3}+ \frac{\ln{5}}{2^4}+ \frac{\ln{6}}{2^5}+ \frac{\ln{6}}{2^6}+ \frac{\ln{6}}{2^7}+ \cdots$$ $$=\frac{\ln{2}}{2}+ \frac{\ln{3}}{2^2}+ \frac{\ln{4}}{2^3}+ \frac{\ln{5}}{2^4}+ \frac{\ln{6}}{2^4} \approx 1.007 > 1$$

หมายเหตุ ข้อนี้ถ้าใครมีแค่เครื่องคิดเลขธรรมดา (ไม่ใช่ scientific calculator) และจำค่า $e$ ได้ถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 2 ก็ทำได้แล้วครับ เพราะว่า $$ \frac{\ln{2}}{2}+ \frac{\ln{3}}{2^2}+ \frac{\ln{4}}{2^3}+ \frac{\ln{5}}{2^4}+ \frac{\ln{6}}{2^4} $$ $$= \frac{1}{16} \ln(2^8 \cdot 3^4 \cdot 4^2 \cdot 5 \cdot 6) = \frac18 \ln(576\sqrt{30}) $$ ดังนั้นเราจึงแค่แสดงว่า $$ \sqrt{ \sqrt{ \sqrt{ 576\sqrt{30} } } } \approx 2.73 > e$$ ป.ล. ตอนนี้ผมยังไม่ได้ให้เวลากับกระทู้นี้เท่าไหร่เลยครับ เพราะเห็นว่าเป็นกระทู้ที่เราแค่เล่นกันสนุกๆไม่มีความเร่งร้อนอะไร

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
59. ถ้า $m > n$ แล้ว $\displaystyle{ n^{m^m}<m^{n^m}<m^{m^n}}$

เท็จครับ เช่น $m=4,n=2$ จะได้ $4^{2^4}=4^{4^2}$

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
66. มีจำนวนนับ $n$ ที่ทำให้ $\sin n=\frac1n$

เท็จครับ เพราะ $\sin n$ เป็นจำนวนอดิศัย (transcendental number) ซึ่งเราสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ Lindemann?Weierstrass Theorem อันมีใจความว่า

ถ้าหาก $\alpha_1, \dots, \alpha_m$ และ $\beta_1, \dots, \beta_m$ เป็น algebraic numbers โดยที่ $\alpha_1, \dots, \alpha_m$ ไม่เป็น $0$ พร้อมกันทุกตัว และ $\beta_1, \dots, \beta_m$ แตกต่างกันทั้งหมด แล้วเราจะได้ว่า $$\alpha_1e^{\beta_1} +\alpha_2e^{\beta_2} +\dots+ \alpha_me^{\beta_m} \ne0$$

(Lindemann คือคนที่พิสูจน์ว่า $\pi$ เป็น transcendental number โดยอาศัยใช้ความจริงที่ว่า $e^{\pi i}=-1$ ครับ)

เราจะพิสูจน์ว่า ถ้า $n\in\mathbb N$ แล้ว $\sin n$ เป็น transcendental number โดยใช้ contradiction ดังนี้ครับ

สมมติให้ $\sin n$ เป็น algebraic number ดังนั้นจะมีพหุนาม $$p(x)= a_0 +a_1x +a_2x^2 +\dots +a_mx^m$$ ซึ่งมีสัมประสิทธิ์ $a_0,\dots,a_m$ เป็นจำนวนเต็ม ที่มี $\sin n$ เป็นราก นั่นคือ $p(\sin n)=0$

เนื่องจาก $$\sin n=\frac{e^{ni}-e^{-ni}}{2i}$$ แทนค่า $\sin n$ ในรูปนี้ลงไปใน $p(x)$ แล้วคูณกระจายออกมา ผลลัพธ์ที่ได้จะอยู่ในรูป $$\alpha_0e^0 +\alpha_1e^{ni} +\alpha_{-1}e^{-ni} +\dots +\alpha_me^{mni} +\alpha_{-m}e^{-mni} =0$$ โดยที่ $\alpha_0, \alpha_1, \alpha_{-1}, \dots, \alpha_m, \alpha_{-m}$ เป็น algebraic numbers ที่ไม่เป็น $0$ พร้อมกันทุกตัว

จะเห็นว่าผลลัพธ์ที่ได้นี้มันขัดกับ Lindemann?Weierstrass Theorem ดังนั้น $\sin n$ จึงต้องเป็น transcendental number ครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
68. ให้ $A,B$ เป็นเซต ถ้า $X=A\cup B$ แล้ว $X-A=B-A$

จริง วันเด็กเราก็พิสูจน์แบบเด็กๆได้ดังนี้ครับ $$X-A=(A\cup B)-A=(A\cup B)\cap A'$$ $$=(A\cap A')\cup(B\cap A')=\emptyset\cup(B-A)=B-A$$

[nooonuii]

กระทู้เงียบไปแล้ว ข้อที่เหลือถ้าไม่มีใครมาตอบผมจะเฉลยเร็วๆนี้ครับ วันนี้เอาโจทย์ชุดใหม่มาให้ครับ

88. $\displaystyle{\sum_{n=3}^{\infty} \frac{n^3}{3^n}}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

89. ให้ $N$ เป็นจำนวนนับใดๆ จะได้ว่า $\displaystyle{ \sum_{m=-N}^{N} \sum_{n=-N}^{N} \frac{1}{(m+ni)^2} =0 } $ เมื่อ $i=\sqrt{-1}$ และ ตัวดรรชนีไม่นับกรณีที่ $m=n=0$

90. มีจำนวนจริง $a$ เพียงสามค่าที่ทำให้สมการ $(x+1)^2 = |x+a|$ มีคำตอบที่แตกต่างกันสามคำตอบ

91. ถ้า $3$ หาร $2a - 7b$ ลงตัว และ $4$ หาร $7a+2b$ ลงตัว แล้ว $5$ หาร $a^2+b^2$ ลงตัว

92. $\sqrt[3]{3} < \sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}} + \sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}} < 3\sqrt[3]{3}$

93. ถ้า $2z \leq 3x + 5y \leq 7z$ และ $3z \leq 5x + 7y \leq 11z$ แล้ว $x + 3y + 7z \geq 0$

94. ในบรรดาสมาชิก Mathcenter ทั้งหมด(นับจนถึงปัจจุบัน) จะมีอย่างน้อย 20 คนที่ได้ฉลองวันคล้ายวันเกิดในวันเดียวกัน (ห้ามไปฉลองวันที่ไม่ได้เกิดนะครับ )

ปิดท้ายด้วยข้อสอบ Qualify วิชา Topology ที่ผมเพิ่งสอบเสร็จไปหมาดๆครับ ทำผิดไปเยอะเลย

95. ถ้า $\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{y_n}{3^n} }$ เมื่อ $x_n,y_n \in \{0 , 2\} $ แล้วจะได้ว่า $x_n = y_n$ ทุกค่า $n\in\mathbb{N}$