Why does it exist ?

[B บ ....]

Let $x \in \mathbb{R}$, the following improper integral exists for all $x$
$$\int_{-\infty}^{x}(\cos(tu)-e^{-\frac{t^2}{2}})e^{-\frac{u^2}{2}}du$$ where $t$ is a fixed real number.
ทำไมมัน exist หรอครับ ?

[gools]

ถ้ารู้อยู่แล้วว่า $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^2/2} du$ ลู่เข้าก็จะสามารถใช้ comparison test ได้ครับ

แต่ถ้าไม่รู้ให้สังเกตว่า $\int_{-\infty}^{-1} e^{-u^2/2} du = \int_{1}^{\infty} e^{-u^2/2} du \leq \int_{1}^{\infty} e^{-u/2} du$ ซึ่งลู่เข้า

[B บ ....]

ขอบคุณมากครับ สงสัยอีกอย่าง เจอบางครั้งในพวก probability ครับ
Let $f$ be a real valued-function function with domain $\mathbb{R}$, then
$$\frac{d}{dx} \int_{-\infty}^x f(t)dt = f(x) $$
มันจริงเสมอหรอครับ ใช้ fundamental theorem of calculus หรอครับ ? ถ้ามันไม่จริงเสมอนี่ ต้องมีเงื่อนไขประมาณไหนหรอครับมันถึงจริง ? ถ้า $\int_{-\infty}^{\infty} f dx $ exist เป็นเงื่อนไขหนึ่งที่จะทำให้ได้ผลลัพธ์แบบนั้นมั้ยอ่ะครับ (คือ prob ชอบมี diff $F$ = $f$ ครับ แต่เหมือนมันไม่ได้มาจาก fun of cal โดยตรง)

[gools]

ถ้า $f(t)$ continous บน $(-\infty, x]$ และ $\int_{-\infty}^{x}f(t) dt$ exists แล้ว
\[\int_{-\infty}^{x}f(t) dt=\int_{-\infty}^{c}f(t) dt+\int_{c}^{x}f(t) dt\]
ทางขวาของสมการจะเห็นว่า diff ของตัวแรกเป็น $0$ และ diff ของตัวหลังเป็น $f(x)$ โดย fundamental theorem of calculus

ความจริงแล้วเรามีเงื่อนไขที่อ่อนกว่านี้ที่ทำให้ข้างต้นเป็นจริง ก็คือ $f(t)$ continuous 'almost everywhere' บน $(-\infty, x]$ หมายความว่า $f(t)$ continous ทุกที่บน $(-\infty, x]$ ยกเว้นเซ็ต $E$ ที่มี Lebesgue measure $0$. ตัวอย่างเช่น $f(x)=e^{x}$ สำหรับ $x\leq 2$ และ $f(x)=e^{-x}$ สำหรับ $x>2$ จะเห็นว่าฟังก์ชันนี้ continuous ทุกที่ยกเว้นเซ็ต $\{2\}$ ซึ่งมี Lebesgue measure $0$ และ $\int_{-\infty}^{\infty}f(t) dt$ exists.

[B บ ....]

ขอบคุณมากๆครับ