Inequality problems for Beginner

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

เอาโจทย์ที่คิดว่าไม่ยากมากและก็ไม่ง่ายมากสำหรับเด็ก สอวน. มาให้สนุกกันครับ...

5.
$a,b,c>0$ and $ab+bc+ca=3$ show that
$\sum_{cyc} \frac{1}{1+a^2(b+c)}\leq \frac{1}{abc}$

Credit: MO2007+MO2008 ...หนังสือที่ทุกคนก็คงมี
หวังว่าคงจะชอบกันนะครับ

$\frac{3}{3}=\frac{ab+bc+ca}{3}\geqslant (abc)^{\frac{2}{3}}\rightarrow 1\geqslant abc$
จะได้ว่า
$a^2b+a^2c+1\geqslant a^2b+a^2c+abc = a(ab+bc+ca)=3a\rightarrow \frac{1}{3a}\geqslant \frac{1}{a^2b+a^2c+1} $
$\therefore \frac{1}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geqslant \sum_{cyc} \frac{1}{a^2b+a^2c+1} $
$\leftrightarrow \frac{1}{3}(\frac{ab+bc+ca}{abc})\geqslant \sum_{cyc} \frac{1}{a^2b+a^2c+1} $
$\leftrightarrow \frac{1}{abc}\geqslant \sum_{cyc} \frac{1}{a^2b+a^2c+1} \ \ \ \square$

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

เอาโจทย์ที่คิดว่าไม่ยากมากและก็ไม่ง่ายมากสำหรับเด็ก สอวน. มาให้สนุกกันครับ...

6.
$a,b,c>0$ and $a+b+c=1$ show that
$\sum_{cyc} \frac{a-bc}{a+bc}\leq \frac{3}{2}$

Credit: MO2007+MO2008 ...หนังสือที่ทุกคนก็คงมี
หวังว่าคงจะชอบกันนะครับ

พิจรณา
$\sum_{cyc} \frac{a-bc}{a+bc}\leq \frac{3}{2}\leftrightarrow\sum_{cyc} \frac{a-bc}{a+bc}-3\leq \frac{3}{2}-3\leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{bc}{a+bc}\geq \frac{3}{4} $
จึงเพียงพอที่จะพิสูจน์
$\sum_{cyc} \frac{bc}{a+bc}\geq \frac{3}{4}$

โดยอสมการ Cauchy-Schwarz
$(\sum_{cyc}\frac{b^2}{bc+ba}\cdot \frac{c^2}{ac+bc})(\sum_{cyc}(bc+ba)(ac+bc)) \geq (\sum_{cyc}bc)^2\leftrightarrow \sum_{cyc}(\frac{b^2}{bc+ba}\cdot \frac{c^2}{ac+bc}) \geq \frac{(\sum_{cyc}bc)^2}{\sum_{cyc}((bc+ba)(ac+bc))}$
ให้ $ab+bc=x,bc+ca=y,ca+ab=z$ จะได้
$\frac{(\sum_{cyc}bc)^2}{\sum_{cyc}((bc+ba)(ac+bc))}=\frac{(\frac{x+y+z}{2})^2 }{xy+yz+zx} $
พิจรณา
$x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx \leftrightarrow 4(\frac{x+y+z}{2} )^2 \geq 3(xy+yz+zx)\leftrightarrow \frac{(\frac{x+y+z}{2})^2 }{xy+yz+zx} \geq \frac{3}{4} $
นั่นคือ $\sum_{cyc}\frac{b^2}{bc+ba}\cdot \frac{c^2}{ac+bc} \geq \frac{(\sum_{cyc}bc)^2}{\sum_{cyc}((bc+ba)(ac+bc))}=\frac{(\frac{x+y+z}{2})^2 }{xy+yz+zx} \geq \frac{3}{4} $
จาก $a+b+c=1$ จะได้ว่า
$ \sum_{cyc}\frac{b^2}{bc+ba}\cdot \frac{c^2}{ac+bc} \geq \frac{3}{4}\leftrightarrow\sum_{cyc}\frac{b}{c+a}\cdot \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{4}\leftrightarrow\sum_{cyc}\frac{b}{1-b}\cdot \frac{c}{1-c} \geq \frac{3}{4}\leftrightarrow\sum_{cyc}\frac{bc}{1-(b+c)+bc} \geq \frac{3}{4}\leftrightarrow\sum_{cyc} \frac{bc}{a+bc}\geq \frac{3}{4} \square$

ปล. Post ที่ 2,222 ของห้อง อสมการพอดีเลย ^^

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

เอาโจทย์ที่คิดว่าไม่ยากมากและก็ไม่ง่ายมากสำหรับเด็ก สอวน. มาให้สนุกกันครับ...

2.
$a,b,c>0$ such that $a+b+c=1$ show that
$\sum_{cyc} \frac{a^2}{b}\geq 3(\sum_{cyc} a^2)$

Credit: MO2007+MO2008 ...หนังสือที่ทุกคนก็คงมี
หวังว่าคงจะชอบกันนะครับ

จาก $a+b+c=1$
$\sum_{cyc} \frac{a^2}{b}\geq 3(\sum_{cyc} a^2)\leftrightarrow (a+b+c)\sum_{cyc} \frac{a^2}{b}\geq 3(\sum_{cyc} a^2)\leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{a^3}{b}+\sum_{cyc}\frac{ab^2}{c} \geq 2(\sum_{cyc} a^2)$
จึงเพียงพอที่จะพิสูจน์
$\sum_{cyc} \frac{a^3}{b}+\sum_{cyc}\frac{ab^2}{c} \geq 2(\sum_{cyc} a^2)$
โดยอสมการ Cauchy-Schwarz
$(\sum_{cyc} \frac{a^3}{b})(ab+bc+ca)=(\sum_{cyc} \frac{a^4}{ab})(ab+bc+ca)\geq (a^2+b^2+c^2)^2\leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{a^3}{b} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca}....(1)$
โดยอสมการ Cauchy-Schwarz
$(\sum_{cyc} \frac{ab^2}{c})(ab+bc+ca)=(\sum_{cyc} \frac{a^2b^2}{ac})(ab+bc+ca)\geq (ab+bc+ca)^2\leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{ab^2}{c} \geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{ab+bc+ca}....(2)$
$(1)+(2)$
$\sum_{cyc} \frac{a^3}{b}+\sum_{cyc}\frac{ab^2}{c} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca}+\frac{(ab+bc+ca)^2}{ab+bc+ca}$
โดย Power Mean จะได้ว่า
$\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca}+\frac{(ab+bc+ca)^2}{ab+bc+ca} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)^2}{2(ab+bc+ca)} \geq 2(a^2+b^2+c^2)$
$\leftrightarrow (a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)^2 \geq 4(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)$
$\leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^2+(ab+bc+ca)^2 \geq 2(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)$ ซึ่งเป็นจริงโดย $AM-GM \square$

[LightLucifer]

ขอ Hint ข้อ 7 หน่อยครับ

[Amankris]

@#19

Hint

ผมใช้ตัวนี้นะ $a^2+ab+bc+ca=(a+b)(a+c)$

[RoSe-JoKer]

ข้อ 7 ผมยกกำลังสองทั้งสองข้างก่อนอะครับ แล้วก็พยายามทำให้ทุกก้อนข้างซ้ายไม่ติดรากที่สองด้วยวิธีที่เหมาะสม (กรณีนี้ผมใช้ Cauchy นะ แต่มีเทคนิคหน่อยก่อนใช้ Cauchy) สุดท้ายจบด้วย Schur อะครับ

#ทำได้หรือยังเอ๋ย? อยากได้เฉลยหรือยัง :'D