มาช่วยกันเฉลยอสมการ Hojoo Lee

[nooonuii]

ข้อ 71 ลองดู official solution ที่นี่ครับ

CMO1999

วิธีที่ไม่แยกกรณีที่ผมมีตอนนี้คือใช้ Lagrange Multiplier

ซึ่งห่างไกลจาก elementary solution มาก

ข้อ 14 มองผ่านๆคิดว่าน่าจะใช้ trick ข้อ 83 นะ

[RoSe-JoKer]

ข้อ 71 แบบไม่แยกเคสนะครับ...
ให้ $y$ เป็นจำนวนที่อยู่ระหว่าง $x$ กับ $z$ นะครับ จะได้ว่า $(y-x)(z-y)\geq 0$
จากอสมการ Am-Gm เราได้ว่า
$1=(x+y+z)^3=(\frac{(x+z)}{2}+\frac{(x+z)}{2}+y)^3\geq \frac{27}{4}y(x+z)^2$
จะได้ว่า
$\frac{4}{27}\geq y(x+z)^2=x^2y+2xyz+z^2y$
จึงเป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า
$x^2y+2xyz+z^2y\geq x^2y+y^2z+z^2x$
ซึ่งจะจัดรูปได้เป็น
$xyz+z(y-x)(z-y)\geq 0$ ซึ่งก็เ็ป็นจริงแหละครับ...
...

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

ให้ $y$ เป็นจำนวนที่อยู่ระหว่าง $x$ กับ $z$ นะครับ จะได้ว่า $(y-x)(z-y)\geq 0$

อันนี้ใช่ WLOG ป่าวครับ

[RoSe-JoKer]

ไม่ใช่ครับ...
WLOG (Without Loss Of Generality) สะกดงี้เปล่าหว่า? ช่างเหอะ...
ในความเข้าใจของผมคือการที่เราสามารถนำมาเขียนเพื่อแสดงว่าเราสามารถกำหนดลำดับของค่าตัวแปรของเราได้โดยที่ยังคงรูปของอสมการตั้งต้นอย ู่อะครับ...
เช่นอสมการสามตัวแปร ให้เป็น $f(a,b,c)$ ละกัน ถ้าสมมุติว่าเราสลับตัวสองตัวใดๆของ $f(a,b,c)$ เช่นสลับเป็น $f(b,a,c)$ ก็ยังพบว่าอสมการยังเหมือนเดิมอยู่นั้นก็คือเราสามารถเขียน WLOG แล้วก็กำหนดให้ $a\geq b\geq c$ อะไรประมาณนี้ได้อะครับ...
ตัวอย่าง
$f(a,b,c)=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$
ได้ว่า
$f(b,a,c)=\frac{b}{a+c}+\frac{a}{c+b}+\frac{c}{b+a}=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=f(a,b,c)$
อะไรประมาณนี้แหละครับ...(แต่ต้องลองสลับทุกคู่นะ...สลับ a กับ c, b กับ c ทุกคู่เลย แต่จริงๆตอนมองก็ควรจะรู้แต่แรกแล้วว่าอสมการมัน symmetric หรือ cyclic)
แต่ในกรณีโจทย์ข้อนี้ผมไม่ได้เขียน WLOG เพื่อจะเรียงลำดับค่าตัวแปรไว้ครับ เพราะว่าอสมการมัน cyclic ไง แต่เราสามารถกำหนดตัวแปรค่าใดค่าหนึ่งของอสมการให้อยู่ที่จุดใดจุดหนึ่งของการเรียงลำดับได้หน่ะครับ (ย้ำว่าตัวเดียวนะครับ) เช่น ให้ $a=max{a,b,c}$ ให้ $x=min{x,y,z}$ หรือให้เป็นค่ากลางอย่างที่ผมทำ

[LightLucifer]

อ่อ ขอบคุณครับ