โจทย์เรื่อง อนุกรม ที่คิดไม่ออก

[jabza]

ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม $2+\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{5}{8} + \frac{7}{16} +.... เท่ากับเท่าไร (ตอบ 5 - \frac{2n+3}{2^n}$)

[nongtum]

Hint: พิจารณา $$\sum_{i=1}^n\frac{2n-1}{2^n}=\sum_{i=1}^n\frac{n}{2^{n-1}}-\sum_{i=1}^n\frac{1}{2^n}$$แล้วหาผลรวมทีละตัวเพื่อเอามาลบกัน

ปล. พิมพ์ข้อความนอกสมการ ตัวหนังสือจะดูดีกว่านะครับ

[pood]

ถ้าไม่ใช้ความรู้เรื่องแคลคูลัส หมายความว่าใช้ความรู้ที่ง่ายกว่านี้ จะสามารถทำโจทย์ข้อนี้ได้ป่ะคะ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jabza

ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม $2+\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{5}{8} + \frac{7}{16} +.... เท่ากับเท่าไร (ตอบ 5 - \frac{2n+3}{2^n}$)

เฉลยที่ให้ไว้ไม่ถูกนะครับ ต้องเป็น $5 - \frac{4n+2}{2^n}$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pood

ถ้าไม่ใช้ความรู้เรื่องแคลคูลัส หมายความว่าใช้ความรู้ที่ง่ายกว่านี้ จะสามารถทำโจทย์ข้อนี้ได้ป่ะคะ

การแยกส่วนอย่างที่คุณ nongtum , hint นั้นก็เป็นพื้นฐานที่ง่ายอย่างหนึ่งครับ แต่หากต้องการทำอีกวิธีหนึ่ง ก็สามารถทำได้โดยใช้เทคนิคที่เราเรียกกันว่า วิธีการผลต่าง (method of difference) เราจะพิจารณาลำดับ $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{8}, \cdots$ ซึ่งมีพจน์ทั่วไปเป็น $a_n = \frac{2n-3}{2^{n-1}} \quad , n = 2, 3, 4, \cdots$

จากนั้นสมมติให้ $a_n = \frac{2n-3}{2^{n-1}} = u_n - u_{n-1} = \frac{An + B}{2^n} - \frac{A(n-1) + B}{2^{n-1}}$

ทำการเทียบสัมประสิทธิ์เพื่อคำนวณหาค่าของ A, B ออกมา

จากนั้นคำนวณ ผลบวก $a_2 + a_3 + ... + a_n = (u_2 - u_1) + (u_3 - u_2) + ... + (u_n - u_{n-1}) = u_n - u_1$ แล้วสุดท้ายนำไปรวมกับ $a_1$ ก็จะได้ $s_n = 5 - \frac{4n+2}{2^n}$

ข้อนี้อาจจะยุ่งยากนิด เพราะว่า พจน์แรก คือ $a_1 = 2$ นั้นไม่เข้าพวกกับชุดหลัง คือ $a_2, a_3, ...$ เวลาคำนวณ $s_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n$ จึงต้องแยกเป็น $s_n = a_1 + (a_2 + a_3 + ... + a_n)$

[Hamaichi]

แยกคิด เป็น $S_n=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{5}{8}+...+\frac{2n-1}{2^n}$ ...(1)
$\frac{1}{2}S_n=\frac{1}{4}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+...+\frac{2n-3}{2^n}+\frac{2n-1}{2^{n+1}}$ ...(2)
(1)-(2): $\frac{1}{2}S_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}...+\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{2n-1}{2^{n+1}}$
$=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{n-1}})-1+\frac{1}{2}-\frac{2n-1}{2^{n+1}}$
$=\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}-\frac{2n-1}{2^{n+1}}$
$=2-\frac{2}{2^n}-\frac{1}{2}-\frac{2n-1}{2^{n+1}}$
$S_n=4-\frac{4}{2^n}-1-\frac{2n-1}{2^n}=3-\frac{2n+3}{2^n}$
แล้วก็นำ 2 ที่แยกไว้มาบวกเข้าไปก็จะได้
ผลบวก n พจน์แรก คือ $5-\frac{2n+3}{2^n}$ ผมไปทำผิดตรงบรรทัดไหนเหรอคับ ทำไมได้คำตอบไม่เท่าพี่gonง่า

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Hamaichi

มันมีวิธีที่ง่ายกว่านี้ไหมคับ ถ้าทำตามวิธีของพี่กอนก็จได้อย่างนี้ใช่มะคับ
แยกคิด เป็น $S_n=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{5}{8}+...+\frac{2n-1}{2^{n-1}}$ ...(1)
$\frac{1}{2}S_n=\frac{1}{4}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+...+\frac{2n-3}{2^{n-1}}+\frac{2n-1}{2^{n}}$ ...(2)
(1)-(2): $\frac{1}{2}S_n=\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{2}{8}+...+\frac{2}{2^{n-1}}-\frac{2n-1}{2^n}=3-\frac{4n+2}{2^n}$
แล้วก็นำ 2 ที่แยกไว้มาบวกเข้าไปก็จะได้
ผลบวก n พจน์แรก คือ $5-\frac{4n+2}{2^n}$

วิธีหลังที่พี่อธิบาย ไม่ใช่แบบที่ทำมาครับ ที่น้องทำมานั้นเป็นการทำแบบพื้นฐานปกติ ว่าแต่มันค่อนข้างจะผสมปนเปชอบกลนะ ดูแล้วงงๆ

ตรงนี้ครับ บรรทัดแรกที่บอกว่า $S_n=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{5}{8}+...+\frac{2n-1}{2^{n-1}}$ ...(1)

นี่น้องกำลังบอกว่า $a_n = \frac{2n-1}{2^{n-1}}$ ซึ่งแสดงว่า $a_1 = 1 \ne \frac{1}{2}$ (ตามโจทย์) หรือ $a_2 = \frac{3}{2} \ne \frac{3}{4}$

[Hamaichi]

ขอบคุณที่แนะนำคับ ผิดเต็มๆเลย

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Hamaichi

แยกคิด เป็น $S_n=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{5}{8}+...+\frac{2n-1}{2^n}$ ...(1)
$\frac{1}{2}S_n=\frac{1}{4}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+...+\frac{2n-3}{2^n}+\frac{2n-1}{2^{n+1}}$ ...(2)
(1)-(2): $\frac{1}{2}S_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}...+\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{2n-1}{2^{n+1}}$
$=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{n-1}})-1+\frac{1}{2}-\frac{2n-1}{2^{n+1}}$
$=\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}-\frac{2n-1}{2^{n+1}}$
$=2-\frac{2}{2^n}-\frac{1}{2}-\frac{2n-1}{2^{n+1}}$
$S_n=4-\frac{4}{2^n}-1-\frac{2n-1}{2^n}=3-\frac{2n+3}{2^n}$
แล้วก็นำ 2 ที่แยกไว้มาบวกเข้าไปก็จะได้
ผลบวก n พจน์แรก คือ $5-\frac{2n+3}{2^n}$ ผมไปทำผิดตรงบรรทัดไหนเหรอคับ ทำไมได้คำตอบไม่เท่าพี่gonง่า

ต้องเริ่มแบบนี้ครับ. เพราะ n ของเราเริ่มตั้งแต่ 2, 3, ...
$$s_n = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \cdots + \frac{2n-3}{2^{n-1}}$$
อีกอย่าง เวลาคำนวณตอนที่นำ 2 คูณตลอด อย่าลืมคูณพจน์ท้ายสุด คือ $\frac{2n-3}{2^n}$ ด้วยนะครับ. !

[Hamaichi]

ขอขอบคุณอีกครั้งคับ ที่ช่วยมาดูให้อีกรอบ ตอนนี้ได้คำตอบกระจ่างแล้วนะคับ

[jabza]

ขอขอบคุณพี่gonมากขอรับ ตอนแรกก็มะค่อยเชื่อเพราะลอกคำตอบมาจากในหนังสือ แต่ตอนนี้เชื่อแล้วขอรับ ขอบคุณครับที่ช่วยหาจุดผิดของหนังสือครับ ข้าน้อยขอคารวะ!!

ปล.พี่gonไม่มีจุดผิดให้ผมท้วงเลยน้า อุส่าห์จะท้วงMaster webซักคน

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jabza

ขอขอบคุณพี่gonมากขอรับ ตอนแรกก็มะค่อยเชื่อเพราะลอกคำตอบมาจากในหนังสือ แต่ตอนนี้เชื่อแล้วขอรับ ขอบคุณครับที่ช่วยหาจุดผิดของหนังสือครับ ข้าน้อยขอคารวะ!!

ปล.พี่gonไม่มีจุดผิดให้ผมท้วงเลยน้า อุส่าห์จะท้วงMaster webซักคน

อ่านที่พี่เขียนบ่อย ๆ เดี๋ยวก็เจอครับ พี่ชอบมั่วและเบลออยู่บ่อยครั้ง จังหวะตอนเบลอนึกทีไรขายหน้าทุกที โดยเฉพาะช่วงที่ง่วงสุด ๆ แต่ต้องแข็งใจทำเรื่องที่ปวดหัว

Note. Web Master ครับ ไม่ใช่ Master Web