โจทย์ค่าย สพฐ.2554

[polsk133]

#45 มีอีกวิธีคือลองวาดสามเหลี่ยมนั้นแล้วมีวงกลมแนบใน จะมีบางรูปคล้ายกับสามเหลี่ยมบางรูปในโจทย์

เพิ่มเติมอีกวิธีคือ ผลบวกพื้นที่เท่ากัน

[banker]

M เป็นจุดบนส่วนโค้งน้อย AB
โจทย์ไม่ได้กำหนดว่าอยู่ตรงไหน

เพื่อให้ง่าย ให้ M เป็นจุดกึ่งกลางส่วนโค้งน้อย AB

เพื่อให้ง่ายไปอีก ให้สี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ 4 หน่วย

โจทย์ให้หา $\frac{MC+MD}{MA+MB} \ $ ก็คือให้หา $\frac{MB}{MC}$

$CB^2 = 16+16 = 32 \ \ \to \ CB = 4 \sqrt{2} $

$ME = 2 \sqrt{2} +2 $

$MC^2 = ( 2 \sqrt{2} +2)^2 + 2^2 = 8(2+\sqrt{2} )$

$MB^2 = BC^2 - MC^2 = 32 - ( ( 2 \sqrt{2} +2)^2 + 2^2 ) = 8(2-\sqrt{2} )$

$\frac{MC^2}{MB^2}= \frac{ 8(2+\sqrt{2}) }{8(2-\sqrt{2})} = 3+2\sqrt{2} $

$\frac{MC}{MB}= \sqrt{ 3+2\sqrt{2}} $

[Pain 7th]

#47 มีรูปทั่วไปให้ด้วยครับผม

โดย Ptolemy' theorem เราจะได้

$MB \cdot AD+ MA\cdot BD = MD \cdot AB$

$MA\cdot BC+ MB \cdot AC = MC \cdot AB$

$MB (AC+AD)+MA (BC+BD) = AB (MC+MD)$

$\dfrac{AC+AD}{AB} = \dfrac{MC+MD}{MA+MB}$

$\dfrac{MC+MD}{MA+MB} = \sqrt{2}+1$

[artty60]

$\sqrt{3+2\sqrt{2} } = \sqrt{2}+1$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pain 7th

#47 มีรูปทั่วไปให้ด้วยครับผม

โดย Ptolemy' theorem เราจะได้

$MB \cdot AD+ MA\cdot BD = MD \cdot AB$

$MA\cdot BC+ MB \cdot AC = MC \cdot AB$

$MB (AC+AD)+MA (BC+BD) = AB (MC+MD)$

$\dfrac{AC+AD}{AB} = \dfrac{MC+MD}{MA+MB}$

$\dfrac{MC+MD}{MA+MB} = \sqrt{2}+1$

ขอบคุณครับ ลืมวิธีนี้ไปเลย

โจทข์ข้อนี้ อาจารย์คงต้องการทบทวนทฤษฎีนี้มั๊ง

[artty60]

ข้อนี้ยากจัง คิดยังไงครับ แปลงมาได้เป็น

$(3\times1681\times 841)-2\sqrt{1681\times 1682} +2\sum_{n = 1}^{1681} [\sqrt{n^2-1}-2\sqrt{n^2-n}]$

งงงง!

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

ข้อนี้ยากจัง คิดยังไงครับ แปลงมาได้เป็น

$(3\times1681\times 841)-2\sqrt{1681\times 1682} +2\sum_{n = 1}^{1681} [\sqrt{n^2-1}-2\sqrt{n^2-n}]$

งงงง!

จัดเป็น Telescoping series ดังนี้ครับ

$$a_n - b_n = \frac{1}{2}[(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})-(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})]^2$$

[artty60]

ผมยังคิดต่อไม่ออกว่ามันจะออกมาเป็น $p+q\sqrt{2}$ ได้ยังไงน่ะครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

ผมยังคิดต่อไม่ออกว่ามันจะออกมาเป็น $p+q\sqrt{2}$ ได้ยังไงน่ะครับ

solution

$$\sqrt{a_n - b_n} = \frac{1}{\sqrt{2}}|(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})-(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})| = \frac{1}{\sqrt{2}}[(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})-(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})]$$

แทนค่า $n=1, 2, ... , 1681$ ตัดกัน จะได้ $$\sqrt{a_1-b_1}+...+\sqrt{a_{1681}-b_{1681}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{1681}-\sqrt{1682}+1) = \frac{41}{\sqrt{2}}-29+\frac{1}{\sqrt{2}} = -29 + 21\sqrt{2}$$

[artty60]

ขอบคุณท่านgonมากครับ สุดยอดเลย ตอนแรกผมลืมเรื่องค่าบวกไปครับ

และต้องรวมกันเป็น $\frac{1}{\sqrt{2}}[2\sqrt{n}-\sqrt{n-1}-\sqrt{n+1}]$ แล้วจึงเห็น

ขอคาราวะ 3จอก

[artty60]

ขอยีมรูปคุณbankerมาต่อเติมหน่อย



$\triangle AFG\simeq \triangle MNG$ (ม.ม.ม.)

$AF=MN$

ให้ $AF=x$

$2012-x+2555-x=3333$

$x=617$

$\therefore MN=617$

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

ขอยีมรูปคุณbankerมาต่อเติมหน่อย

Attachment 10200

$\triangle AFG\simeq \triangle MNG$ (ม.ม.ม.)

$AF=MN$

ให้ $AF=x$

$2012-x+2555-x=3333$

$x=617$

$\therefore MN=617$

คำตอบถูก แต่ว่าผมสงสัยว่า
มันไม่มีสามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการแบบ ม.ม.ม. (มุม-มุม-มุม) ป่ะคับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

ขอยีมรูปคุณbankerมาต่อเติมหน่อย



$\triangle AFG\simeq \triangle MNG$ (ม.ม.ม.)

$AF=MN$

ให้ $AF=x$

$2012-x+2555-x=3333$

$x=617$

$\therefore MN=617$

ข้อนี้ผมติดมานาน นานจนลืมไปเลย

ที่ติดคือ
1. พิสูจน์ไม่ได้ว่า M, N อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลม AFOH

2. แม้อยู่บนเส้นรอบวง ก็ยังพิสูจน์ไม่ได้ว่า AF=MN

[artty60]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ข้อนี้ผมติดมานาน นานจนลืมไปเลย

ที่ติดคือ
1. พิสูจน์ไม่ได้ว่า M, N อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลม AFOH

2. แม้อยู่บนเส้นรอบวง ก็ยังพิสูจน์ไม่ได้ว่า AF=MN

เนื่องจาก จากรูปข้างบน $F\hat A N=F\hat M N\rightarrow N\hat A M=A\hat M F$

$\therefore MN=AF$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

เนื่องจาก จากรูปข้างบน $F\hat A N=F\hat M N\rightarrow N\hat A M=A\hat M F$

$\therefore MN=AF$

ที่ผมสงสัยคือ

เรารู้ว่า วงกลมที่ล้อมรอบ AHOF ตัดเส้น BD แต่ไม่รู้ว่าตัดที่ M หรือเปล่า

ทำนองเดียวกัน วงกลมที่ล้อมรอบ AHOF ตัดเส้น CE แต่ไม่รู้ว่าตัดที่ N หรือเปล่า