Problems Collection (First Series)

[R.Wasutharat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

79. กำหนดจำนวนนับ n หาค่า $$ \int_0^{\infty} \,\, \frac{x^n}{e^x + \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}} \,\, dx $$ (Hint: เศษกับส่วน สัมพันธ์กันอย่างไร)

\[
\int\limits_0^\infty {\frac{{x^n }}{{e^x + \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{x^k }}{{k!}}} }}} dx = n!\mathop {\lim }\limits_{s \to \infty } \int\limits_0^s {\frac{{\frac{{x^n }}{{n!}}}}{{e^x + \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{x^k }}{{k!}}} }}} dx = n!\mathop {\lim }\limits_{s \to \infty } \int\limits_0^s {\left( {1 - \frac{{e^x + \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {\frac{{x^k }}{{k!}}} }}{{e^x + \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{x^k }}{{k!}}} }}} \right)} dx = n!\mathop {\lim }\limits_{s \to \infty } \left[ {\ln \left| {\frac{{e^x }}{{e^x + \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{x^k }}{{k!}}} }}} \right|} \right]_0^s = n!\ln 2
\]

[Suwiwat B]

โจทย์ของคุณ passer-by ดีมากเลยครับ และต้องขอขอบคุณ คุณ passer-by ด้วยนะครับ ที่ให้โจทย์ดีๆเเบบนี้มา

[passer-by]

จะแวะเข้ามาบอกว่า Solutions กึ่งบทความทั้งหมดจะถูกซอยเป็น 8-10 ฉบับ ครับ พอรวมกันหมดก็น่าจะประมาณ 100 หน้า A4 หรือมากกว่านั้นนิดหน่อย

ตอนนี้ ผมเขียน Solutions (Part 1) เสร็จแล้วครับ เป็น A4 12 หน้า กะว่าให้เสร็จซัก 2-3 parts ก่อนแล้วค่อย post ทีเดียว

แต่มีเรื่องรบกวนสมาชิกบางท่านหน่อยครับ คือผมไม่มี scanner และร้านที่เขารับ scan พวกนี้ก็หน้าละหลายบาท

บ้านใครที่มี scanner และ scan ได้ฟรีๆ รวมทั้ง net แรงๆ ผมว่า จะส่งไปรษณีย์ต้นฉบับไปให้ครับ แต่คิดว่าเป็นหลังกลางเดือนหน้า

พอ scan เสร็จแล้ว ผมรบกวน upload files ไว้ที่ sendspace หรือที่ไหนก็ได้ แล้วเอา link มาปะไว้ที่ webboard นี้ เพราะถ้า scan แล้วขึ้น webboard โดยตรง คงกินเนื้อที่มากๆๆๆ

ช่วยกันหลายๆคน หลายๆบ้าน ก็ดีครับ เพราะ part นึงก็ประมาณ 10 กว่าหน้า A4 (โดยส่งที่อยู่มาหาผมทาง pm ได้เลยครับ)

ขอบคุณล่วงหน้า จากใจจริง

[kongp]

ขอด้วยครับที่ phongphanp@yahoo.com

และขอถามหน่อยครับว่านึกยังไงเอาโจทย์มาลงแจกครับ ส่วนตัวอยากเห็นวิธีใหม่ๆ ในการแก้โจทย์ มากกว่าแก้ปัญหาได้
เพราะเป็นการตรวจวัดความรู้และเสาะหาแนวทางใหม่ๆ ผมจบโรงเรียนกีฬาที่ไม่เน้นวิชาการเท่าไหร่ แต่ก็สนใจศึกษาเรื่อยๆ
ผมเห็นหนังสือ Contest ของอเมริกาก็สนใจแต่ไม่เคยได้ลองทำโจทย์จนครบ

ตลาดหนังสือในเมืองไทยก็ผุบๆ โผๆ ยิ่งหนังสือเก่ายิ่งหายาก ใครพบเหตุการณ์แบบนี้มีไหมครับ

[กิตติ]

บ้านไกลต่างจังหวัด จะคุ้มค่าส่งไปรษณีย์หรือเปล่าครับ....
บ้านผมอยู่ลำปาง ยินดีช่วยครับ อุปกรณ์มีครบครับ

[passer-by]

สรุปว่า ตอนนี้มีคุณ nongtum กับคุณกิตติ ที่เป็นอาสาสมัครจะช่วยงานครั้งนี้ ซึ่งก็คงเพียงพอแล้วครับ

แล้วก็ขอบคุณทั้ง 2 ท่านมากๆ

คิดว่าพอหลังจากวันที่ post solutions (กึ่งบทความ)แล้ว น่าจะทำให้กระทู้นี้สมบูรณ์มากขึ้น เพราะในนั้นจะมีการจัดระบบเทคนิคต่างๆไว้อย่างชัดเจน
---------------------------------------------------------------------------------

จริงๆที่ผม เอาโจทย์มา post ครั้งนี้ ความมุ่งหวังใหญ่ๆ ก็คือ เป็นการ รวบรวมเทคนิคที่กระจัดกระจายตาม resources ต่างๆ ที่เกี่ยวกับ Problem-solving ให้ได้มากที่สุด สำหรับน้องๆ ที่กำลังจะก้าวเข้าสู่สนามแข่งขันระดับต่างๆ ได้มีเก็บไว้ศึกษา (ยกเว้นสนาม Entrance ที่ผมไม่ได้เน้นมากนัก)

มันอาจจะไม่มีประโยชน์เลยกับน้องที่มือโปรมากๆแล้ว ซึ่งตรงนี้ ผมก็เข้าใจ เพียงแต่ มันก็น่าจะมีประโยชน์บ้างกับน้องๆที่อยู่ในช่วงกำลังเริ่มต้นหรือเริ่มมาได้ระดับหนึ่ง ได้ต่อยอดขึ้นไปเรื่อยๆ

ส่วนในระดับอุดมศึกษา ก็จะตีกรอบไว้แค่ไม่เกิน advance calculus ครับ เพราะน่าจะเป็นวิชาที่คนเขาถึงง่ายสุด ไม่ว่าจะเรียน science หรือ engineering (นอกจาก cal แล้วอาจจะมีหลุดวิชาอื่นมาบ้าง ก็นิดๆหน่อยๆ)

ถ้าจะถามว่า ไอเดียที่กระจายตามโจทย์พวกนี้ เป็นไอเดียใหม่มั้ย ก็คงไม่ใช่หรอกครับ แต่ผมก็หวังว่า สิ่งเก่าๆพวกนี้ จะมีใครซักคน modify มันเพื่อสร้างแรงบันดาลใจใหม่ๆในการแก้โจทย์ปัญหาใหม่ๆ ในอนาคตครับ

[-SIL-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

บ้านไกลต่างจังหวัด จะคุ้มค่าส่งไปรษณีย์หรือเปล่าครับ....
บ้านผมอยู่ลำปาง ยินดีช่วยครับ อุปกรณ์มีครบครับ

ค่าบริการไปรษณีย์ในกรณี ลงทะเบียน หรือ EMS จะขึ้นอยู่กับน้ำหนักของของที่จะส่งครับ
ปล. ถ้าจำไม่ผิดคิดเป็นกรัม กรัมละบาทครับ (ลงทะเบียน ส่วน EMS ก็คูณ 2)

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

บ้านไกลต่างจังหวัด จะคุ้มค่าส่งไปรษณีย์หรือเปล่าครับ....
บ้านผมอยู่ลำปาง ยินดีช่วยครับ อุปกรณ์มีครบครับ

อุปกรณ์มีครบ หมายถึง มีดผ่าตัด เข็มฉีดยา น้ำเกลือ แล้วก็ ยาสลบ หรือเปล่าครับ

ปล.ยินดีด้วยครับที่ท่านเป็น 1 ใน 2 ที่ได้รับการคัดเลือก ขอบคุณสำหรับน้ำใจที่มีต่อชาว MC.

[กิตติ]

คุณpasser-byครับ...ถ้ายังไงช่วยบอกหน่อยครับว่าเวลาแสกนต้องการรายละเอียดขนาดไหน
หรือถ้าต้นฉบับเป็นไฟล์พวกwordหรือpdf ก็จะส่งมาแล้วผมพริ้นต์เองก็ได้ครับ
คุณหยินหยางครับ...อุปกรณ์มีครบ ขาดแต่คนที่จะเข้ามาทดสอบว่าอุปกรณ์ใช้ได้ไหม....แซวเล่นอย่าซีเรียสครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

คุณหยินหยางครับ...อุปกรณ์มีครบ ขาดแต่คนที่จะเข้ามาทดสอบว่าอุปกรณ์ใช้ได้ไหม....แซวเล่นอย่าซีเรียสครับ

เรื่องนั้นไม่มีปัญหาครับเพราะผมว่ามีคนหนึ่งที่เหมาะสมครับ คนผู้นั้นเป็นผู้นำของเราทุกๆเรื่องอยู่แล้วคาดว่าเรื่องอย่างนี้ท่านก็คงไม่พลาดแน่ นึกออกแล้วใช่มั้ยครับคนนั้่นคือใคร

[กิตติ]

รับมุขไม่ทันจริงๆครับท่านหยินหยาง....
ช่วงนี้ผมกำลังเคาะสนิมที่เกาะร่องหยักสมองส่วนคณิตศาสตร์ มันเกาะแน่นเลยครับ...
เห็นเวปไซด์คณิตศาสตร์ของทางเวียตนามแล้วบอกตรงๆๆว่า อิจฉาชะมัดหยาดเลยครับ resourceของเขาเยอะจริงๆ แต่อย่างน้อยเข้ามาในMCเห็นหลายๆคนแลกเปลี่ยนกันแล้วบรรยากาศมันน่าสนุกดี บางช่วงก็เงียบกันไปนานเลยเหมือนกัน
ช่วงนี้กลับมาคึกคักกันอีกแล้ว...

คุณpasser-byครับ....ประโยคนี้"ถ้าจะถามว่า ไอเดียที่กระจายตามโจทย์พวกนี้ เป็นไอเดียใหม่มั้ย ก็คงไม่ใช่หรอกครับ แต่ผมก็หวังว่า สิ่งเก่าๆพวกนี้ จะมีใครซักคน modify มันเพื่อสร้างแรงบันดาลใจใหม่ๆในการแก้โจทย์ปัญหาใหม่ๆ ในอนาคตครับ"....ผมเห็นด้วยครับ คุณเสียสละมากเลยครับ หากคนรุ่นเราไม่ทำอะไรฝากให้คนรุ่นต่อไปได้พัฒนา ผมว่ามันเป็นความสูญเปล่าครับ....

[passer-by]

วันนี้ เพิ่งส่ง EMS ครึ่งทางแรกของ solution กึ่งบทความไปให้คุณ nongtum scan ครับ คาดว่าเร็วๆนี้ น่าจะมี link มาปะไว้ที่นี่

ครึ่งแรกนี้จะมี 52 หน้าครับ ส่วนครึ่งหลังยังไม่เสร็จ แต่คิดว่าจะให้เสร็จในเดือนมิถุนายน แล้วส่งให้คุณกิตติไป scan

ทั้งหมดเป็นลายมือครับ แล้วก็เป็น First Draft

อีกเรื่องคือ..พอดีมีบางท่านถามเรื่อง ลิขสิทธิ์มา ผมก็บอกไว้ตรงนี้เลยว่า การทำซ้ำ พิมพ์ใหม่ ดัดแปลง แจกฟรี ผมไม่ห้ามเลยครับ แต่ขออย่างเดียวว่า อย่าให้เป็นพาณิชย์แบบค้ากำไรเกินควรก็พอ

ไม่ต้องให้เครดิตผม ,ไม่ต้อง refer ว่ามาจากที่นี่เลยก็ได้ครับ ผมไม่ซีเรียส

หรือจะทำเป็นพาณิชย์แบบปกติ หรือ พิมพ์ขายเป็นการกุศล อันนี้ก็ไม่ว่าเช่นกันครับ แต่ถ้าเริ่มมีผลประโยชน์มากเกินไป ผมขอบิณฑบาตไว้ตรงนี้ ว่าอย่าทำเลย


p.s. มีโจทย์บางข้อที่ผมพิมพ์ผิด แต่ผมมา edit ให้เรียบร้อยแล้วนะครับ ใครที่มี version แรกลองมาเช็คได้อีกที

[Switchgear]

แวะเข้ามาให้กำลังใจทุกคนครับ ... ผมเห็นด้วยกับคุณกิตติ #56 ที่ว่า

หากคนรุ่นเราไม่ทำอะไรฝากให้คนรุ่นต่อไปได้พัฒนา ผมว่ามันเป็นความสูญเปล่าครับ....

หลายคนเมื่อเก่งและสอบผ่านรุ่นตัวเองไปแล้ว มักจะไม่หันกลับมาตอบแทนคืนให้สังคม ซึ่งก็ไม่ใช่ความผิดอะไร!
แต่คงดีกว่าไม่ใช่หรือ "หากคนเก่งรุ่นก่อน ช่วยถ่ายทอดความรู้ให้กับคนรุ่นหลังได้เก่งขึ้นไปอีก" เหมือนกับที่นิวตัน
กล่าวไว้ว่า "หากเรามองได้ไกลกว่าคนรุ่นก่อน นั่นเป็นเพราะเรายืนอยู่บนบ่าของยักษ์ใหญ่ในอดีต" ดังนั้นพวกเรา
น่าจะช่วยกันเป็นส่วนหนึ่งของยักษ์ใหญ่ให้กับคนไทยรุ่นหลังได้ยืนบนบ่า เพื่อมองให้ไกลกว่าอดีตเช่นกัน

ผมอิจฉาพวกฝรั่งหรือประเทศที่เด็กเขาอ่านภาษาอังกฤษคล่องๆ เพราะมีตำรับตำราเยี่ยมๆ ให้อ่านเพียบ
น่าสงสารเด็กบ้านเราที่ยังขาดตำราเยี่ยมๆ ภาคภาษาไทยให้อ่านกันมากพอ ... เด็กพรสวรรค์ด้านคำนวณ
จึงเสียโอกาสไปนับจำนวนไม่ถ้วน เพราะขาดพรสวรรค์ทางภาษา!

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

----------------------------------------------------------------------------------
โจทย์ใน First Series กะไว้ว่าอยู่ที่ 270 ข้อครับ (เหตุผล ไม่มีอะไรมากครับ คือต้นเดือนหน้า ผมจะอายุ 27 ปี )

ขออนุญาตนอกเรื่องครับ เท่าที่ดูจากประวัติที่ลงไว้

วันนี้แล้วซิครับ ที่ครบรอบ อายุ 27 ปี สุขสันต์วันเกิดครับ $~~~~~~~~~$

ขอให้ คุณ passer-by มีสุขภาพแข็งแรง ปราศจากโรคภัยไข้เจ็บ มีความเจริญในหน้าที่การงาน คิดสิ่งใดขอให้สมปราถนาในทุกประการครับ

[passer-by]

ครับ ขอบคุณทุกคำอวยพรวันเกิด (ที่ surprised สุด คงเป็น SMS ของพี่ gon )

-------------------------------------------------------------------------
คิดว่า เดือนนี้ น่าจะ post link ได้ประมาณ 100 หน้านิดๆก่อนครับ ซึ่งคิดเป็น 65-70% (ตอนนี้เขียนได้ถึงประมาณหน้าที่ 90 แล้ว) แล้วอาจจะทิ้งช่วงไปซักระยะนึง ค่อยมาเก็บตกที่เหลือ

ในช่วงที่รอ link มาแปะ ผมขอ post หัวข้อใน free ebooks เล่มนี้ให้ก่อนแล้วกันครับ แล้วก็จะบอกว่าใน solutions กึ่งบทความนี้ จะมีโจทย์แถม แทรกอยู่ตามบางหัวข้อด้วย ครับ

สิ่งที่จะ post นี้ ผมไม่ได้เฉลยเรียงตามข้อนะ แต่เฉลยแยกตาม Category ของวิธีทำ

Note: ถ้ายัง งงๆกับชื่อหัวข้อก็ไม่เป็นไรครับ เอาไว้ตอนได้อ่านแบบเต็มๆแล้วจะเข้าใจมากขึ้นว่า ผมหมายถึงอะไร หรืออย่างบางหัวข้อ ที่ชื่ออาจดู simple แต่เนื้อในอาจไม่ simple ก็ได้นะครับ

(ในหัวข้อที่ 14 ผมให้ introduction เกี่ยวกับ advance geometry บางเรื่องที่ใช้บ่อยๆไว้ด้วย เช่น harmonic division , polar และ pascal theorem )

1. เมื่อพีชคณิตกลายพันธุ์
2. แปลงร่างให้ผลรวม
3. การใช้อสมการช่วยแก้สมการ
4. วิธีสร้างเทอมเป็นอนันต์
5. Square ที่อยู่ติดกัน
6. Copy+ Dilation
7. Working with projection
8. ยืมมือ $e^x$
9. จำนวนเต็มแตกต่างกัน
10. หลักรังนกพิราบ(ภาคพิสูจน์ +ภาคคำนวณ)
11. Why coloring?
12. แนวคิดแบบหยิน-หยาง
13. Recursive of cosine
14. 4 ของดีในเรขาคณิต
15. พหุนามเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง
16. สารพัดเทคนิคปลีกย่อยในทฤษฎีจำนวน
17. Monic polynomial
18. Riemann Sum
19. พหุนามมีรากจำนวนจำกัด
20. Nice undergraduate problems
21. $x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+1$ และทฤษฎีจำนวน
22. ผลพลอยได้จาก Erdos-Mordell inequality
23. ความผูกพันอย่างแนบแน่นของอินทิเกรต อนุกรมและลิมิต
24. เมื่อพีชคณิตกลายพันธุ์ (2)
25. ฟังก์ชันก่อกำเนิด
26. $ 1= \sum_{i=1}^n \,\, \frac{1}{d_i}$
27. สามเหลี่ยมและ combinatorics
28. แนวคิดแบบ recursive
29. Concurrency แบบไม่มี Ceva
30. ประโยชน์ของ 2 สิ่งที่อยู่ติดกัน
31. Ptolemy theorem..... เรื่องของด้านล้วนๆ
32. Finding upper bound
33. พหุนาม VS ทฤษฎีจำนวน
34. L'hopital Rule ช่วยได้
35. มากกว่าแค่คูณเมตริกซ์

(ยังมีอีกครับ แต่ตัดมาให้ดูแค่นี้ก่อน )