IJSO 5th รอบ 2

[passer-by]

เพิ่งได้มาหมาดๆครับ ถ้ามีพิมพ์ผิดก็บอกได้นะครับ


1. H1 และ H2 เป็นรูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าสองรูปที่มีจุดศูนย์กลางร่วมกันและ H2 แนบใน H1 ถ้าจุดยอดของ H2 แบ่งด้านของ H1 เป็น 2 ส่วนในอัตราส่วน 2:1 แล้วอัตราส่วนของพื้นที่ H2 ต่อพื้นที่ H1 เป็นเท่าใด

2. รูปสามเหลี่ยม ABC มีมุม C = 60 องศา ลากเส้นแบ่งครึ่งมุม C ไปตัด AB ที่จุด D ถ้า CD ยาว 3 หน่วย และ AC ยาว 2 หน่วย แล้ว BC มีความยาวกี่หน่วย

3.วงกลม 3 วง รัศมี 2r , r และ r สัมผัสภายนอกซึ่งกันและกัน ถ้าวงกลมทั้งสามแนบในวงกลมรัศมี 2 หน่วย แล้ว r มีค่าเท่าใด

4. แก้วกรวยกลมตรงใบหนึ่งมีก้นแก้วเป็นจุดยอดกรวยใส่ทรงกลม 2 ลูก ที่มีรัศมี 1.5 และ 3 หน่วยลงในแก้วได้พอดีโดยทรงกลมทั้ง 2 สัมผัสกัน ปริมาตรของน้ำที่เทลงในแก้วจนทรงกลมลูกบนอยู่ปริ่มน้ำเท่ากับกี่ลูกบาศก์หน่วย

5. $ \sin^2 1^{\circ} + \sin^2 3^{\circ} + \sin^2 5^{\circ}+... + \sin^2 89^{\circ} $ มีค่าเท่ากับเท่าใด

6. กำหนด $ \theta $ เป็นมุมแหลม หาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $ \sec^2 \theta + 2 cosec^2 \theta $ มีค่าเท่าใด

7. ถ้า r เป็นจำนวนจริงซึ่ง $ r = \frac{1}{r} +1 $ แล้ว $ \frac{r^{16}-1}{r^8 +2r^7} $ มีค่าเท่าใด

8. ถ้า a , b , c เป็นค่าคงที่ทำให้พาราโบลา $ y = ax^2 + bx + c $ มีจุดยอดอยู่บนเส้นตรง y = x +1 และสัมผัสกับเส้นตรง y = x แล้ว a มีค่าเท่าใด

9. หมวกของชายคนหนึ่งหล่นลงน้ำขณะที่เขาเริ่มพายเรือตามน้ำเมื่อพายไปได้ 15 นาที เขาเปลี่ยนใจกลับทิศเรือเพื่อตามไปเก็บหมวกและเก็บได้หลังจากที่หมวกได้ลอยไปแล้ว 200 m ถ้าการไหลของกระแสน้ำและกำลังพายเรือของชายคนนี้มีค่าสม่ำเสมอแล้วกระแสน้ำมีอัตราเร็วกี่กิโลเมตรต่อชั่วโมง

10. ด.ช. ณัฐ นั่งรถออกไปเที่ยวนอกเมืองกับพ่อและคอยนับจำนวนรถบรรทุกที่แล่นสวนมาในเวลา 1 ชั่วโมง เขาพบว่าถ้าพ่อขับรถด้วยอัตราเร็ว 80 กิโลเมตร ต่อชั่วโมง เขาจะนับรถได้ 57 คัน แต่ถ้าพ่อขับรถด้วยอัตราเร็ว 90 กิโลเมตรต่อชั่วโมง เขาจะนับได้ 61 คัน สมมติให้รถบรรทุกเหล่านี้วิ่งเข้าเมืองในอัตราสม่ำเสมอและอัตราเร็วเท่ากันหมด รถบรรทุกเหล่านี้วิ่งด้วยอัตราเร็วกี่กิโลเมตรต่อชั่วโมง

[Anonymous314]

6.

Solution

$\sec ^2 \theta + 2\cos ec^2 \theta = \frac{1}{{\cos ^2 \theta }} + \frac{2}{{\sin ^2 \theta }}$
โดยอสมการ Cauchy
$\left( {\frac{1}{{\cos \theta }}} \right)\left( {\cos \theta } \right) + \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{{\sin \theta }}} \right)(\sin \theta ) \le \sqrt {\frac{1}{{\cos ^2 \theta }} + \frac{2}{{\sin ^2 \theta }}} \sqrt {\cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta } $
$1 + \sqrt 2 \le \sqrt {\frac{1}{{\cos ^2 \theta }} + \frac{2}{{\sin ^2 \theta }}} $
$3 + 2\sqrt 2 \le \frac{1}{{\cos ^2 \theta }} + \frac{2}{{\sin ^2 \theta }}$
ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $3 + 2\sqrt 2 $
หาได้เมื่อ $\theta = \arctan \left( {2^{\frac{1}{4}} } \right)$

[กรza_ba_yo]

เดี่ยวจะลองคิดดูนะคับ

[Tinyo Dragonn]

ข้อ 9 โจทย์สวยดี
สมมุติให้คนพายเรือด้วยอัตราเร็ว $x$ กม./ชม.
ให้กระแสน้ำเร็ว $y$ กม./ชม.
ให้ $s$ กม. แทนระยะห่างของคนกับหมวก หลังจากหมวกตกน้ำ $15 $นาที
จะคิดแยกเป็น 2 ช่วง คือ สีน้ำเงิน และแดง
ช่วงสีน้ำเงิน ในโจทย์บอกว่าชายคนนี้กำลังพายตามน้ำ($x+y$ กม./ชม.)
ดังนั้น หมวกก็ลอยไปทางเดียวกับที่ชายคนนี้กำลังพายเรือ(ลอยตามกระแสน้ำ$ y$ กม./ชม.)
ระยะทางห่างกัน $s$ (ไปทางเดียวกันนำความเร็วมาลบกัน)
จะได้ว่า
$v=\frac{s}{t}$
$(x+y)-y=\frac{s}{\frac{15}{60} }$
$x=\frac{s}{\frac{15}{60} }$
ติดไว้ก่อน
ช่วงสีแดง คือ เขากำลังพายเรือทวนน้ำกลับไปเอาหมวก($x-y$ กม./ชม.)
ขณะที่หมวกกำลังลอยตามน้ำ($y$ กม./ชม.)
ในระยะทาง $s$ กม./ชม.(พายเรือสวนกันเหมือนนำความเร็วมาบวกกัน)
จะได้ว่า
$v=\frac{s}{t}$
$(x-y)+y=\frac{s}{t} $
$x=\frac{s}{t} $
อ้า! คุ้นๆเหมือนกับข้างบน
ดังนั้น$ t=\frac{15}{60}$ ชม.
เวลาที่หมวกลอย คือ เวลาช่วงสีน้ำเงินกับแดงมาบวกกัน $\frac{15}{60} +\frac{15}{60} =\frac{30}{60}$
จากโจทย์บอกว่าชายคนนี้เก็บหมวกได้เมื่อหมวกลอยไป $200 $ม.
ดังนั้น
$v=\frac{s}{t}$
$y=\frac{\frac{200}{1000}}{\frac{30}{60}}=0.4 $กม./ชม.

[Tinyo Dragonn]

ข้อ 9 นี้คุ้นๆว่าเคยทำมาก่อน จากที่ไหนไม่รู้ แต่นานแล้ว

[Anonymous314]

7.

Solution

$r = \frac{1}{r} + 1$
$r^2 - r - 1 = 0$
$\left( {r^{16} - r^{15} - r^{14} } \right) + (r^{15} - r^{14} - r^{13} ) + 2(r^{14} - r^{13} - r^{12} ) + 3(r^{13} - r^{12} - r^{11} ) + 5(r^{12} - r^{11} - r^{10} ) + 8(r^{11} - r^{10} - r^9 ) +$
$13(r^{10} - r^9 - r^8 ) + 21(r^9 - r^8 - r^7 ) + 34(r^8 - r^7 - r^6 ) + 55(r^7 - r^6 - r^5 ) + 89(r^6 - r^5 - r^4 ) + $
$144(r^5 - r^4 - r^3 ) + 233(r^4 - r^3 - r^2 ) + 377(r^3 - r^2 - r^1 ) + 610(r^2 - r - 1) = 0$
$r^{16} - 987r - 610 = 0$
ดังนั้น $r^{16} - 1 = 987r + 609$

$(r^8 - r^7 - r^6 ) + 3(r^7 - r^6 - r^5 ) + 4(r^6 - r^5 - r^4 ) + 7(r^5 - r^4 - r^3 ) + 11(r^4 - r^3 - r^2 ) + 18(r^3 - r^2 - r) + 29(r^2 - r - 1) = 0$
$r^8 + 2r^7 - 47r - 29 = 0$
ดังนั้น $r^8 + 2r^7 = 47r + 29$
จะได้ว่า $\frac{{r^{16} - 1}}{{r^8 + 2r^7 }} = \frac{{987r + 609}}{{47r + 29}} = \frac{{21(47r + 29)}}{{41r + 29}} = 21$

[Tinyo Dragonn]

ขอแนวคิดของข้อ 2 หน่อยค่ะ(ขอแบบเด็กม.ต้น)

[นนท์]

วิธีของคุณ Anonymous314 สุดยอดจริงๆๆคับ

[nooonuii]

7. $r-\dfrac{1}{r}=1$
ยกกำลังสองทั้งสองข้าง
$r^2-2+\dfrac{1}{r^2}=1$
$r^2+\dfrac{1}{r^2}=3$
ยกกำลังสองทั้งสองข้างได้
$r^4+\dfrac{1}{r^4}=7$
และสังเกตว่า
$1+\dfrac{2}{r}=r+\dfrac{1}{r}$
ดังนั้น
$\dfrac{r^{16}-1}{r^8+2r^7}=\dfrac{r^8-\frac{1}{r^8}}{1+\frac{2}{r}}$

$~~~~~~~~~~~=\dfrac{(r-\frac{1}{r})(r+\frac{1}{r})(r^2+\frac{1}{r^2})(r^4+\frac{1}{r^4})}{r+\frac{1}{r}}$

$~~~~~~~~~~~=21$

[นนท์]

โห มีแต่ท่านจอมยุทธ์เก่งๆๆท้านน้าน สุดยอดเลยคับ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Tinyo Dragonn

ขอแนวคิดของข้อ 2 หน่อยค่ะ(ขอแบบเด็กม.ต้น)

ขอตอบเฉพาะแนวคิดนะครับ

ลากเส้นเพิ่ม 2 เส้นครับ เส้นแรกต่อออกไปจาก B เพื่อให้ขนานกับ AC ส่วนอีกเส้นต่อออกไปจาก CD

ให้ทั้ง 2 เส้นตัดกันที่ E ครับ

ให้ DE = x , BE = y

จากสามเหลี่ยมคล้าย จะได้ $ \frac{2}{y}=\frac{3}{x} $

และเพราะสามเหลี่ยม CEB เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีมุมที่ฐานเท่ากับ 30องศา

ดังนั้น $ \frac{3+x}{2y} = \cos 30^{\circ}$ (สมการสร้างจากการลากส่วนสูงจาก B มายัง CE ของสามเหลี่ยม BEC)

แก้ 2 สมการก็จะได้ค่า y ออกมาครับ ซึ่งก็คือความยาวด้าน BE = BC

[Tinyo Dragonn]

ขอบคุณมากๆค่ะ

[titletam]

5.ใช้โคฟังก์ชันยุบsinเป็นcosเเล้วใช้สูตร $sin^2A+cos^2A=1$

[passer-by]

ข้อ 6 ผมคิดว่าวิธีที่ simple ที่สุดสำหรับเด็ก ม.ต้น น่าจะเป็นการเปลี่ยนฟังก์ชันที่ให้มาให้อยู่ในรูป $ \tan \theta $ ครับ แล้ว minimize จากฟังก์ชันของ tan

[The Got_SME]

ผมเคยสอบijsoแล้ว
ข้อสอบยากมาก