(แสกนดิบๆ) ข้อสอบ สอวน. ปี 2553 (สวนกุหลาบ)

[Onasdi]

ปรากฎว่าครึ่งวงกลมไม่ได้อยู่กึ่งกลางของด้านซะด้วยครับ ลองหาความยาวเส้นทแยงมุมดูครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onasdi

ปรากฎว่าครึ่งวงกลมไม่ได้อยู่กึ่งกลางของด้านซะด้านครับ ลองหาความยาวเส้นทแยงมุมดูครับ

แก้ไขใหม่แล้ว ช่วยตรวจให้ด้วยครับ

[Onasdi]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

แก้ไขใหม่แล้ว ช่วยตรวจให้ด้วยครับ

เยี่ยมครับ

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

แก้ไขใหม่แล้ว ช่วยตรวจให้ด้วยครับ

[o:B]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

สูตรนี้มันใช้ได้เสมอเหรอครับ

เสมอครับ(ตลอดไป)

[Bonegun]

เรื่องเลข พีธากอรัสนี่

บางชุดก็ไม่มีเรียงกันนะ (อย่างที่ คห. คุณ banker บอก)

เช่น 8 15 17 12 35 37

ใครอยากรู้เพิ่ม ลองหาเรื่อง จำนวนพีธากอรัสปฐมฐานมาศึกษาดูก็ได้ครับ

เป็นการหาผลเฉลย ของสมการไดโอแฟนไทน์

หนังสือ สอวน. น่าจะมีอยู่มั้ง

[Switchgear]

ขอร่วมแจมเฉลยข้อ 30 ... เลือกข้อง่ายสุด :-)

จากรูปที่เจ้าของกระทู้สแกนไว้ มีรอยปากกาที่แสดงขั้นตอนการคิดข้อ 30 อย่างชัดเจน
และคุณ banker เฉลยไว้ในความเห็น #68 ด้วยขั้นตอนเหมือนกับเจ้าของกระทู้

ข้อนี้ คนส่วนใหญ่จะคำนวณพิธากอรัส 2 ครั้ง คือ หา OD จากสามเหลี่ยม AOD ก่อน
จากนั้นก็หา OM จากสามเหลี่ยม ODM อีกครั้งหนึ่ง

หากใช้ทฤษฏีบทที่ว่า คอร์ดสองเส้นตัดกัน ผลคูณเส้นแบ่งของคอร์ดแต่ละเส้นจะเท่ากัน
จะทำโจทย์ข้อนี้ได้เร็วขึ้น นั่นคือ ลากเส้นผ่าศูนย์กลางทับผ่านเส้น OM เพื่อตัดกับคอร์ด AB
จะเขียนสมการได้เป็น

(52+OM)(52-OM) = 63x33 ==> 52^2 - OM^2 = 63x33 ==> OM = 25

-------------------------------------------------------------
ถ้าผมเช็คไม่ผิด ... ข้อ 6 และ 19 ยังไม่มีใครโพสต์เฉลยวิธีทำไว้ ???
-------------------------------------------------------------

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ข้อ 19 ไม่แน่ใจว่าโจทย์ถามหาอะไร
แต่ถ้าให้พิจารณาเซตAน่าจะได้ว่า
$A=${$(1,1),(-1,-1)$}ครับ
ข้อ 6 ถ้าพิจารณาสมการ$\left\lfloor\,x\right\rfloor+\left\lfloor\,2x\right\rfloor=n $
เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มในช่วงตั้งแต่ 1-2553
ถ้า $x=a+k$ โดยที่ a เป็นจำนวนเต็ม และ kเป็นค่าทศนิยม
จะแบ่งพิจารณา 3 กรณี
1. $k<0.5$ ได้ $\left\lfloor\,x\right\rfloor+\left\lfloor\,2x\right\rfloor=n $
กลายเป็นสมการ $3a=n$ ดังนั้น n=3,6,9,...ได้
2. $k=0.5$ ได้ $\left\lfloor\,x\right\rfloor+\left\lfloor\,2x\right\rfloor=n $
กลายเป็นสมการ $a+2a+1=n$ ดังนั้น n=1,4,7,10,...ได้
3.$k>0.5$ ได้ $\left\lfloor\,x\right\rfloor+\left\lfloor\,2x\right\rfloor=n $
กลายเป็นสมการ $a+2a+1=n$ ดังนั้น n=1,4,7,10,...ได้เช่นกัน
ดังนั้น A={1,3,4,6,7,...,2551,2553}
จำนวนสมาชิกมีกี่ตัวที่เหลือน่าจะต่อได้เองนะครับ

[banker]

ด้านที่สั้นที่สุดที่เป็นจำนวนคี่ทุกจำนวน จะมีสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มีด้านทั้งสามเป็นจำนวนเต็มบวก

(ด้านสั้นต้องเป็น 3 ขึ้นไป)

$3^2 = 9 = 4 + 5 $

$5^2 = 25 = 12 + 13 $

$7^2 = 49 = 24 + 25 $

$9^2 = 81 = 40 + 41 $

$11^2 = 121 = 60 + 61 $

$13^2 = 169 = 84 + 85 $

$15^2 = 225 = 112 + 113 $
.
.


$33^2 = 1089 = 544 + 545$

พอตัวเลขแยะขขึ้น อาจมีได้หลายชุด เช่น

$33^2 = 65^2 +56^2$




โปรดสังเกต ถ้าเรานำตัวน้อยมายกกำลังสอง

$3 - 4 - 5 --> 3^2 = 5^2 - 4^2 = (5-4)(5+4) = (1)(9) = (1^2)(3^2)$

$5 - 12 - 13 --> 5^2 = 13^2 - 12^2 = (13-12)(13+12) = (1)(25) = (1^2)(5^2)$

$7 - 24 - 25 --> 7^2 = 25^2 - 24^2 = (25-24)(25+24) = (1)(49) = (1^2)(7^2)$




กรณีด้านที่สั้นที่สุดที่เป็นจำนวนคู่ ยกกำลังสองแล้วหารด้วย 4 อีกสองจำนวนคือ ตัวขนาบของผลลัพธ์

$4^2 = 16 \ $ หารด้วย 4 ได้ 4 อีกสองด้านคือ 3 กับ 5

$6^2 = 36 \ $ หารด้วย 4 ได้ 9 อีกสองจำนวนคือ 8 กับ 10

$8^2 = 64 \ $ หารด้วย 4 ได้ 16 อีกสองจำนวนคือ 15 กับ 17

$10^2 = 100 \ $ หารด้วย 4 ได้ 25 อีกสองจำนวนคือ 24 กับ 26

$12^2 = 144 \ $ หารด้วย 4 ได้ 36 อีกสองจำนวนคือ 35 กับ 37


ข้อสังเกต

$15^2 = 17^2 -8^2 = (17-8)(17+8) = (9)(25)$

$21^2 = 29^2 - 20^2 = (29-20)(29+20) = (9)(49)$

$ 33^2 = 65^2 - 56^2 = (65-56)(65+56) = (9)(121)$

$35^2 = 37^2 - 12^2 = (37-32)(37+32) = (25)(49)$

เห็นเลขกำลังสองไหมครับ


เป็นข้อสังเกต ที่เคยติวหลาน แล้วช่วยกันคิด ในสมัยนั้น ก็หลายปีมาแล้ว

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Switchgear

ขอร่วมแจมเฉลยข้อ 30 ... เลือกข้อง่ายสุด :-)

จากรูปที่เจ้าของกระทู้สแกนไว้ มีรอยปากกาที่แสดงขั้นตอนการคิดข้อ 30 อย่างชัดเจน
และคุณ banker เฉลยไว้ในความเห็น #68 ด้วยขั้นตอนเหมือนกับเจ้าของกระทู้

ข้อนี้ คนส่วนใหญ่จะคำนวณพิธากอรัส 2 ครั้ง คือ หา OD จากสามเหลี่ยม AOD ก่อน
จากนั้นก็หา OM จากสามเหลี่ยม ODM อีกครั้งหนึ่ง

หากใช้ทฤษฏีบทที่ว่า คอร์ดสองเส้นตัดกัน ผลคูณเส้นแบ่งของคอร์ดแต่ละเส้นจะเท่ากัน
จะทำโจทย์ข้อนี้ได้เร็วขึ้น นั่นคือ ลากเส้นผ่าศูนย์กลางทับผ่านเส้น OM เพื่อตัดกับคอร์ด AB
จะเขียนสมการได้เป็น

(52+OM)(52-OM) = 63x33 ==> 52^2 - OM^2 = 63x33 ==> OM = 25

-------------------------------------------------------------
ถ้าผมเช็คไม่ผิด ... ข้อ 6 และ 19 ยังไม่มีใครโพสต์เฉลยวิธีทำไว้ ???
-------------------------------------------------------------

ขอบคุณท่านSwitchgear

สูตรนี้ผมลืมเสียสนิท เคยจดไว้ในเรื่องสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม เส้นทแยงมุมตัดกัน (ทำไมถึงลืมไปได้)

ขอบคุณอีกครั้งที่แนะนำสิ่งดีๆให้



มุม y = มุม y, มุม x = มุม x (บนส่วนโค้งเดียวกัน) มุมATB = มุมCTD (มุมตรงข้าม)

สามเหลี่ยม ATB คล้ายสามเหลี่ยม CTD

$\frac{AT}{DT} = \frac{BT}{TC}$

$AT \cdot TC = DT \cdot BT \ \ \ \ \ Q.E.D. $

[บัณฑิตกระบี่]

ข้อ 29. ตอบ135ครับ ได้จากการหมุน

[บัณฑิตกระบี่]

ไม่แน่ใจครับว่าถูกหรือเปล่า
1.{4,10}
2.{2,-8,-1,-2,-5,-4}
4.5050
5.45
7.8
9.12
10.51
11.1005
12.91
14.3
15.2
16.{47,33}
17.1/4
18.2009/2010
20.36
21.132
23.(−2√21)/21
24. -5.6
26.10
27.20
28.(3√3)/4
29.135
30.25

ที่คิดเองได้เท่านี้

เสียดาย ปีนี้ไม่ได้ไปสอบ

[RT OSK]

เข้ามาดูช้า เลยได้คำตอบทั้งหมด
$1.$ $\left\{\,4,10\right\}$
$2.$ $\left\{\,-8,-4,-2,2\right\}$
$3.$ $7$
$4.$ $5,050$
$5.$ $45$
$6.$ $1702$
$7.$ $8$
$8.$ $\left\{\,245\right\}$
$9.$ $12$
$10.$ $51$
$11.$ $1005$
$12.$ $91$
$13.$ $-1$
$14.$ $3$
$15.$ $2$
$16.$ $\left\{\,33,47\right\}$
$17.$ $\frac{1}{4}$ หรือ $0.25$
$18.$ $\frac{2009}{2010}$
$19.$ $A$ $=$ $\left\{\,(-1,-1),(-1,0),(0,-1),(0,1),(1,0),(1,1)\right\}$
$20.$ $36$
$21.$ $132$
$22.$ $12$
$23.$ $\frac{-2}{\sqrt{21}}$ หรือ $ $ $ $ $\frac{-2\sqrt{21}}{21}$
$24.$ $-17\frac{1}{2}$ หรือ $-17.5$
$25.$ $7$
$26.$ $10$
$27.$ $12$
$28.$ $ $ $\frac{3\sqrt{3}}{4}$
$29.$ $135$
$30.$ $25$
ช่วยตรวจสอบด้วย

[RT OSK]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onasdi

ข้อ 8 อีกวิธีครับ

$\dfrac{59}{80}<\dfrac{r}{s}\Rightarrow80r-59s>0~~~$ ให้ $x=80r-59s$ จะได้ว่า $x\in \mathbb{Z}^+$

$\dfrac{r}{s}<\dfrac{45}{61}\Rightarrow45s-61r>0~~~$ ให้ $y=45s-61r$ จะได้ว่า $y\in \mathbb{Z}^+$

แก้สมการกำจัด $r$ โดยเอา $61$ คูณสมการแรก เอา $80$ คูณสมการที่สอง แล้วบวกกัน ได้
$$61x+80y=s$$ดังนั้น $61x+80y<200$ ซึ่งจะได้ว่า $x,y\ge 2$ ไม่ได้ มีคำตอบเดียวคือ $x=y=1$ เอาไปแทนค่าได้ $s=141$ และ $r=104$ คู่เดียว

ข้อ 8. อีกวิธีครับ ถูก แต่ไม่รู้จะอธิบายอย่างไง?
$\dfrac{59}{80}<\dfrac{r}{s}<\dfrac{45}{61}$
จะได้ $\dfrac{r}{s}=\dfrac{59+45}{80+61}=\dfrac{104}{141}$
ใครช่วยอธิบายชัดๆให้ด้วยครับ

[RT OSK]

ข้อ 22.
ให้ด้านที่ยาวที่สุด = $8$ อีกสองด้านที่เหลือรวมกันได้ $9$
จะได้ $8/8/1$, $8/7/2$, $8/6/3$, $8/5/4$, $8/4/5$, $8/3/6$, $8/2/7$
ซึ่ง $8/1/8$ ซ้ำกับ $8/8/1$
แต่ $8/4/5$ ไม่ซ้ำกับ $8/5/4$ เพราะไม่เท่ากันทุกประการ แต่สมมาตรกัน
ทำนองเดียวกันกับ $8/3/6$ ไม่ซ้ำกับ $8/6/3$ และ $8/2/7$ ไม่ซ้ำกับ $8/7/2$

ให้ด้านที่ยาวที่สุด = $7$ อีกสองด้านที่เหลือรวมกันได้ $10$
จะได้ $7/7/3$, $7/6/4$, $7/5/5$, $7/4/6$

และ $6/6/5$
ได้ทั้งหมด $12 แบบ$