Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > คณิตศาสตร์อุดมศึกษา
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #181  
Old 07 เมษายน 2007, 15:20
Mastermander's Avatar
Mastermander Mastermander ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 ตุลาคม 2005
ข้อความ: 796
Mastermander is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Timestopper_STG View Post
135.$\displaystyle{\int_0^1 x^x dx=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k^k}}$
จากที่นี่ทำให้ทราบว่าเป็นเท็จ

130. $\displaystyle{ \frac{{2^n }}{{2^n - 1}} \cdot \frac{{3^n }}{{3^n - 1}} \cdot \frac{{5^n }}{{5^n - 1}} \cdot \dots \cdot \frac{{p^n }}{{p^n - 1}} \dots }$

It converges to $\zeta(n)$
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ

07 เมษายน 2007 15:21 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Mastermander
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #182  
Old 17 เมษายน 2007, 14:04
Mastermander's Avatar
Mastermander Mastermander ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 ตุลาคม 2005
ข้อความ: 796
Mastermander is on a distinguished road
Default

140.

$$0<\lim_{n\to\infty} \dfrac{\sqrt[n]{n!}}{n}<1$$
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #183  
Old 28 เมษายน 2007, 13:51
Timestopper_STG's Avatar
Timestopper_STG Timestopper_STG ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 22 มกราคม 2006
ข้อความ: 256
Timestopper_STG is on a distinguished road
Send a message via MSN to Timestopper_STG
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mastermander View Post
140.

$$0<\lim_{n\to\infty} \dfrac{\sqrt[n]{n!}}{n}<1$$
True...
Let $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}=x}$
$\displaystyle{\ln x=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \ln \left ( \frac{n!}{n^n} \right )=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln \left ( \frac{k}{n} \right )= \int_0^1 \ln x dx=-1 \rightarrow x= \frac{1}{e} }$

141.$\displaystyle{\int_0^\infty\ln\left(x+\frac{1}{x}\right)\frac{dx}{1+x^2}=\int_0^\frac{\pi}{2}\left(\frac{\theta}{\sin\theta }\right)^2d\theta}$
142.$\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+\sqrt{n}}=\frac{\pi}{e}}$
143.$\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}}$...ลู่เข้า
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
BUT
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$

28 เมษายน 2007 14:29 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Timestopper_STG
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #184  
Old 03 พฤษภาคม 2007, 18:08
warut warut ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 พฤศจิกายน 2001
ข้อความ: 1,627
warut is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ warut View Post
116. สมการ Diophantine: $x^5+y^7=z^9$ มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก $x,y,z$ อยู่จำกัด
hint ครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #185  
Old 09 พฤษภาคม 2007, 08:36
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Timestopper_STG View Post

143.$\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}}$...ลู่เข้า
เท็จครับ

เนื่องจาก $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{n^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}=\lim_{n\to\infty}\Big(1-\frac{1}{n+1}\Big)^{n+1}=\frac{1}{e}}$

เราจะได้ว่ามี $N$ ซึ่งทำให้

$\Big|\dfrac{n^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}-\dfrac{1}{e}\Big|<\dfrac{1}{3}$ ทุกค่า $n\geq N$

ดังนั้น $\dfrac{n^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}>\dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{3}$ ทุกค่า $n\geq N$

เราจึงได้ว่า

$\dfrac{n^{n}}{(n+1)^{n+1}}>\Big(\dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{3}\Big)\dfrac{1}{n}$ ทุกค่า $n\geq N$

อนุกรมจึงลู่ออกโดยการทดสอบแบบเปรียบเทียบครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #186  
Old 10 พฤษภาคม 2007, 17:13
Mathophile's Avatar
Mathophile Mathophile ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ไว
 
วันที่สมัครสมาชิก: 31 มีนาคม 2007
ข้อความ: 250
Mathophile is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ warut View Post
116. สมการ Diophantine: $x^5+y^7=z^9$ มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก $x,y,z$ อยู่จำกัด
เท็จครับ...
เนื่องจากสมการ $x^2+y^2=z^3$ มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวกไม่จำกัด (จาก hint ของคุณ warut)
ให้ $x=\alpha ^5,y=\beta ^7,z=\gamma ^3$ จะได้ $(\alpha ^2)^5+(\beta ^2)^7=\gamma ^9$
ฉะนั้น สมการ $x^5+y^7=z^9$ มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวกอยู่ไม่จำกัด
โดยคำตอบรูปแบบหนึ่งคือ $(x,y,z)=(\alpha ^2,\beta ^2,\gamma)$ เมื่อ $\alpha ^5, \beta ^7, \gamma ^3$ สอดคล้องกับสมการ $x^2+y^2=z^3$
วิธีดูงงๆ + ไม่ค่อยสวยเท่าไหร่เลยแฮะ ผิดถูกยังไงช่วยกันดูหน่อยนะครับ เพราะผมก็งงเหมือนกัน
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #187  
Old 23 กันยายน 2007, 20:38
Mastermander's Avatar
Mastermander Mastermander ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 ตุลาคม 2005
ข้อความ: 796
Mastermander is on a distinguished road
Default

144.

$$\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k}{k}=\sum_{k=1}^\infty \left(\frac{\sin k}{k}\right)^2$$
__________________
โลกนี้มีคนอยู่ 10 ประเภท คือ คนที่เข้าใจเลขฐานสอง และคนที่ไม่เข้าใจ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #188  
Old 19 ตุลาคม 2007, 23:42
Timestopper_STG's Avatar
Timestopper_STG Timestopper_STG ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 22 มกราคม 2006
ข้อความ: 256
Timestopper_STG is on a distinguished road
Send a message via MSN to Timestopper_STG
Default

145.$\displaystyle{\int_0^{x}\frac{\sin t}{1+t}dt>0}$ for all real $x>0$
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
BUT
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #189  
Old 16 มกราคม 2008, 12:31
Timestopper_STG's Avatar
Timestopper_STG Timestopper_STG ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 22 มกราคม 2006
ข้อความ: 256
Timestopper_STG is on a distinguished road
Send a message via MSN to Timestopper_STG
Default

146.$\displaystyle{\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\in\mathbb{Q}}$
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
BUT
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$

16 มกราคม 2008 12:35 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Timestopper_STG
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #190  
Old 17 มกราคม 2008, 00:39
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Timestopper_STG View Post
146.$\displaystyle{\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\in\mathbb{Q}}$
จริงครับเพราะ $\displaystyle{\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=1}$

__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #191  
Old 01 มิถุนายน 2008, 08:58
Anonymous314's Avatar
Anonymous314 Anonymous314 ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 16 มีนาคม 2008
ข้อความ: 546
Anonymous314 is on a distinguished road
Default

145.True ครับ
เพราะว่า $|\sin t|$ มีคาบคือ $\pi$ เราให้ $t=x+\pi$ โดยที่ $x \in [2k\pi ,(2k + 1)\pi ]$ $k$ เป็นจำนวนเต็ม
จะได้ว่า $\int\limits_0^x {{{\sin t} \over {1 + t}}} dt$ คือการหาพ.ท.ใต้กราฟ ${{{\sin t} \over {1 + t}}}$
เพราะว่า $\left. {\left| {{{\sin x} \over {1 + x}}} \right.} \right| = \left. {\left| {{{\sin (x + \pi )} \over {1 + x}}} \right.} \right| \ge \left| {\left. {{{\sin (x + \pi )} \over {1 + x + \pi }}} \right|} \right.$
ดังนั้น $\int\limits_{2k\pi }^{(2k + 1)\pi } {{{\sin t} \over {1 + t}}} dt \ge -\int\limits_{(2k + 1)\pi }^s {{{\sin t} \over {1 + t}}} dt$...(1)
โดยที่ $s \in [(2k + 1)\pi ,(2k + 2)\pi ]$
เมื่อนำ (1) มารวมกันให้หมดได้ว่า $\int\limits_0^\pi {{{\sin t} \over {1 + t}}} dt \ge - \int\limits_\pi ^{2\pi } {{{\sin t} \over {1 + t}}} dt$
$\int\limits_{2\pi }^{3\pi } {{{\sin t} \over {1 + t}}} dt \ge - \int\limits_{3\pi }^{4\pi } {{{\sin t} \over {1 + t}}} dt$
ไปเรื่อย ๆ ถึง
$\int\limits_{2k\pi }^{(2k + 1)\pi } {{{\sin t} \over {1 + t}}} dt \ge - \int\limits_{(2k + 1)\pi }^s {{{\sin t} \over {1 + t}}} dt$
หรือ $\int\limits_{2k\pi }^{(2k + 1)\pi } {{{\sin t} \over {1 + t}}} dt \ge 0 $
ได้ว่า $\int\limits_0^x {{{\sin t} \over {1 + t}}dt} $ เมื่อ $x>0$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #192  
Old 07 มิถุนายน 2008, 21:18
owlpenguin's Avatar
owlpenguin owlpenguin ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 มีนาคม 2008
ข้อความ: 386
owlpenguin is on a distinguished road
Default

ถนัดเพิ่มโจทย์มากกว่าทำโจทย์ครับ
147.$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^n\ln(\cos(\frac{1}{\sqrt{n}}))$ converges absolutely.
148.$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n+\ln(n!)}$ converges
ไม่ยากมากครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #193  
Old 03 พฤศจิกายน 2013, 15:01
นกกะเต็นปักหลัก's Avatar
นกกะเต็นปักหลัก นกกะเต็นปักหลัก ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 28 มกราคม 2013
ข้อความ: 288
นกกะเต็นปักหลัก is on a distinguished road
Default

149. $a^3b \equiv b^3a \pmod{3} for _{all }a,b\in \mathbb{N} $
__________________
โลกนี้ช่าง...

03 พฤศจิกายน 2013 15:02 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ นกกะเต็นปักหลัก
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #194  
Old 05 พฤศจิกายน 2013, 01:13
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ นกกะเต็นปักหลัก View Post
149. $a^3b \equiv b^3a \pmod{3} for _{all }a,b\in \mathbb{N} $
จากโจทย์ $3 \mid ab(a-b)(a+b)$ ถ้า $a,b$ มีตัวใดตัวหนึ่งที่ 3 หารลงจะจริงทันที
สมมติว่าเศษของ a,b ที่ได้จากการหารด้วย 3 ต่างกัน ตัวนึงเป็น 1 อีกตัวเป็น 2 จับบวกกันเศษเป็น 3 ก็โดน 3 หารลง สรุปว่าข้อความโจทย์เป็นจริง

150.ถ้าสมการ $\frac{1}{2^{a_1}}+\frac{1}{2^{a_2}}+...+\frac{1}{2^{a_n}}=\frac{1}{3^{a_1}}+\frac{2}{3^{a_2}}+...+\frac{n}{3^{a_n}}=1$ มีคำตอบสำหรับจำนวนเต็มไม่ติดลบ $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ แล้ว $n$ เป็นจำนวนเต็มคู่เท่านั้น

05 พฤศจิกายน 2013 01:21 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Aquila
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
Algebra Marathon nooonuii พีชคณิต 199 20 กุมภาพันธ์ 2015 10:08
Trigonometric Marathon Mastermander พีชคณิต 251 24 พฤศจิกายน 2013 21:21
Calculus Marathon (2) nongtum Calculus and Analysis 134 03 ตุลาคม 2013 16:32
Marathon Mastermander ฟรีสไตล์ 6 02 มีนาคม 2011 23:19
Calculus Marathon nooonuii Calculus and Analysis 222 26 เมษายน 2008 03:52

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 17:13


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha