Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > คณิตศาสตร์อุดมศึกษา
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 16 มิถุนายน 2008, 00:03
love kmitl love kmitl ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 15 มิถุนายน 2008
ข้อความ: 10
love kmitl is on a distinguished road
Default เรื่องเซต พิสูจน์ไม่ออกเลยครับ

รบกวนพี่ช่วยพิสูจน์ให้ทีครับไม่ค่อยเข้าใจเลยว่าจะเริ่มแบบไหนดีครับ
1.จงแสดงว่าถ้า $m^*(A)=0$ แล้ว $m^*(A\cup B)=m^*(B)$ ทุก $B$ ที่เปนสับเซตของ $\mathbb{R}$ ($m^*$คือเมเชอร์น่ะครับ)
2.จงแสดงว่าทุก countable set มี measure $0$
3.ให้ $\{I_n\}$ เปนเซตจำกัดของช่วงซึ่ง $[0,1]$ เป็นสับเซตของ $\bigcup I_n$ จงแสดงว่า $\sum l(I_n)\geq 1 $ ; $l(I_n)$ คือความยาวช่วง $I_n$
4.ให้ $A$ และ $B$ เป็นเซต measurable จงแสดงว่า $A-B$ และ $A\cap B$ เป็นเซต measurable

ขออภัยครับที่พิมพ์อ่านยากครับ กำลังหัดพิมพ์ลาเทกครับ รบกวนช่วยพิสูจน์ด้วยครับ

Note : น่าจะหัดพิมพ์ภาษาไทยด้วยนะครับ (nooonuii)

16 มิถุนายน 2008 00:33 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ love kmitl
เหตุผล: add latex code
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 16 มิถุนายน 2008, 01:25
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default


ลองคิดจาก Hint ก่อนครับ ถ้ายังไม่ได้เดี๋ยวจะมาอธิบายเพิ่มเติม
__________________
site:mathcenter.net คำค้น

16 มิถุนายน 2008 01:31 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 17 มิถุนายน 2008, 10:23
love kmitl love kmitl ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 15 มิถุนายน 2008
ข้อความ: 10
love kmitl is on a distinguished road
Default

ขอบคุณครับพี่เดี๋ยวผมลองทำดูเลยครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 21 มิถุนายน 2008, 23:57
love kmitl love kmitl ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 15 มิถุนายน 2008
ข้อความ: 10
love kmitl is on a distinguished road
Default

พี่ครับผมลองทำตามนิยามดูแล้ว แต่บอกตรงๆเลยว่าไม่เข้าใจไม่รู้ทำงัยดีครับ กลุ้มใจมากๆเวลานี้ เพราะท่าทางจะต้องใช้เรื่องนี้ไปอีกนานเลย รบกวนพี่ช่วยพิสูจน์ให้ดูด้วยครับ แล้วก็ผมอยากถามพี่ว่า เอาเทอร์ เมเชอร์นี่ผมดูนิยามแล้วมองภาพไม่ออกเลยครับว่ามันคืออะไรน่ะครับ แล้วมันสามารถมองเปนเชิงเรขาคณิตได้ไหมครับ เหมือนเมทริกซ์เสปซที่อาจมองเป็นระยะห่างได้น่ะครับ ยังงัยรบกวนพี่ช่วยพิสูจน์ให้ดูหน่อยนะครับ แล้วถ้าไม่ลำบากอยากให้พี่ช่วยอธิบาย เอาเทอร์ เมเชอร์ ให้หน่อยได้ไหมครับ จะเป็นพระคุณมากๆเลยครับ ขอบคุณครับพี่
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 22 มิถุนายน 2008, 10:18
love kmitl love kmitl ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 15 มิถุนายน 2008
ข้อความ: 10
love kmitl is on a distinguished road
Default

รบกวนด้วยนะครับพี่ จะชอบพระคุณมากเลยครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 23 มิถุนายน 2008, 01:37
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

ความหมายเชิงเรขาคณิตของ measure คือ การวัดขนาดของเซต ครับ

เป็นความพยายามในการอธิบายคำว่า ความยาว พื้นที่ ปริมาตร,....
ให้มันใช้งานกับเซตใดๆก็ได้ไม่จำกัดอยู่แค่รูปทรงทางเรขาคณิตที่เ้รารู้จัก
ในระดับมัธยมอย่างเช่น ส่วนของเส้นตรง วงกลม วงรี ทรงกลม ปิรามิด ปริซึม เพียงอย่างเดียว
สำหรับเรขาคณิตสมัยใหม่วัตถุที่เราสนใจและจะต้องเอาไปใช้งานมันมีมากกว่านั้นมาก
เราจึงต้องสร้างเครื่องมือชนิดใหม่ซึ่งเป็นความคิดรวบยอดที่ใช้อธิบายสิ่งเหล่านี้ขึ้นมา

outer measure นั้นสร้างขึ้นมาเพื่อรองรับความต้องการที่ผมกล่าวมาข้างบน
บวกกับคุณสมบัติอันพึงประสงค์อีก 3-4 อย่างซึ่งเป็นคุณสมบัติที่้เซตง่ายๆที่เรารู้จักมีอยู่ก่อนแล้ว
(แน่นอนว่าถ้าเราจะสร้างเครื่องมือใหม่ๆขึ้นมาเพื่อใช้อธิบาย
สิ่งที่มันกว้างขึ้นจากของเิดิมที่เรามีอยู่ เครื่องมือนั้นจะต้องมีคุณสมบัติของสิ่งเดิมๆอยู่ด้วย)
แต่มันก็ไม่ได้สอดคล้องคุณสมบัติที่เราอยากได้เสียทั้งหมด เราจึงต้องสร้างนิยามของ
measurable set ขึ้นมา เพื่อให้ทุกอย่างมันเป็นไปตามที่้เราอยากให้เป็น

นิยามของ outer measure อาจจะดูยุ่งยาก
แต่ถ้าเข้าใจความหมายของมันแล้วเราจะเข้าใจว่าทำไมต้องนิยามอย่างนั้น
และมันคือนิยามที่เป็นธรรมชาติที่สุด

อย่างเช่นนิยามของ (Lebesgue) outer measure บนสับเซตของจำนวนจริง
เริ่มจากเรารู้ว่า ความยาวของช่วงก็คือระยะห่างระหว่างจุดเริ่มต้นกับจุดปลายของช่วง
เช่น ความยาวของช่วงปิด $[0,1]$ ก็คือ $1$
ถ้าเราอยากวัดขนาดของเซตอื่นที่ไม่ใช่ช่วงจะทำอย่างไร?
เราก็ลองเอาช่วงหลายๆช่วงมาคลุมเซตนี้ไว้แล้วลองหาค่าประมาณขนาดของเซตนี้
จากผลรวมของความยาวช่วงที่เราเลือกมาคลุม
แต่เราจะเลือกช่วงมาคลุมเซตนี้อย่างไรเพื่อให้ได้ขนาดที่แท้จริงของเซตที่เราสนใจ?
เราก็เลือกทุกแบบที่เป็นไปได้ แล้วคัดเอาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้
ซึ่งค่านี้น่าจะมีค่าความคลาดเคลื่อนน้อยที่สุดแล้ว
จึงเป็นที่มาของนิยามที่ว่า
$$m^*(A)=\inf\{\sum_{k}l(I_k)|A\subseteq\bigcup_k I_k\}$$
นั่นเองครับ

ความยากของการศึกษาคณิตศาสตร์ระดับนี้มาจาก
การทำความเข้าใจข้อความทางตรรกศาสตร์แบบข้างบนนี่แหละครับ
อย่าไปหลงอยู่กับสิ่งเหล่านี้ครับ เราต้องหาทางอธิบายสิ่งเหล่านี้
ด้วยภาษาที่เราเข้าใจได้ง่ายอย่างที่ผมอธิบายมาข้างต้น
(แต่ไม่แน่ใจว่า่ง่ายสำหรับคนอื่นด้วยรึเปล่า )
__________________
site:mathcenter.net คำค้น

23 มิถุนายน 2008 01:48 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 23 มิถุนายน 2008, 02:01
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 23 มิถุนายน 2008, 02:25
love kmitl love kmitl ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 15 มิถุนายน 2008
ข้อความ: 10
love kmitl is on a distinguished road
Default

ขอบคุณพี่ nooonuii มากๆๆเลยครับ ผมจะพยายามอย่างเต็มที่เลยครับ พี่ครับสำหรับมือใหม่นี่ ควรอ่านเล่มไหนดีครับในหัวข้อ เมเชอร์น่ะครับ ปล.ขอบคุณสำหรับ hint รอบ2มากๆครับพี่
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 23 มิถุนายน 2008, 02:32
love kmitl love kmitl ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 15 มิถุนายน 2008
ข้อความ: 10
love kmitl is on a distinguished road
Default

พี่ nooonuii อธิบายได้เข้าใจมากๆครับ จากใจจริง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #10  
Old 23 มิถุนายน 2008, 05:12
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

Real Analysis ของ Royden ครับ เป็น textbook ระดับ graduate แต่มีข้อดีคือ ผู้เขียนเน้น Lebesgue measure ก่อน จึงทำให้ไม่ต้องไปงงอยู่กับนิยามของ measure แบบทั่วไปมากนัก

textbook measure theory ทั่วไปที่เขียนสำหรับระดับ undergraduate คิดว่าเหมาะสำหรับผู้เริ่มต้นทั้งหมด
ชอบเล่มไหนก็เลือกอ่านเล่มนั้น จริงๆแล้วหนังสือเล่มไหนที่เราอ่านแล้วชอบ นั่นแหละครับคือหนังสือที่ดีสำหรับเรา ต้องลองอ่านดูก่อนครับแล้วจะรู้
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #11  
Old 24 มิถุนายน 2008, 18:06
love kmitl love kmitl ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 15 มิถุนายน 2008
ข้อความ: 10
love kmitl is on a distinguished road
Default

คราวก่อนทำได้หมดแล้วครับพี่(แหะๆhintขนาดนั้นทำไม่ได้ก็แย่แล้ว แหะๆ) พี่nooonuii ครับผมมีการบ้าน2ข้อครับ รบกวนพี่Hint ให้หน่อยครับพี่ ไม่เข้าใจ (measurable setครับ)
ข้อ1.ให้ k>0 และ Aเป็นสับเซตของR กำหนดให้ kA = {x/ xส่วนk เป็นสมาชิกของ A ) จงแสดงว่า
1. m*(kA)=km*(A)
2.A measurable ก็ต่อเมื่อ kA measurable


ข้อ2 ให้ Eเป็นสับเซตของM และ M measurable กำหนดให้ m(M) หาค่าได้ จงแสดงว่า M measurable ก็ต่อเมื่อ m(M)=m*(E)+m(M-E)

ส่งพรุ่งนี้ละครับท่าจะแย่แล้วผม ไม่เข้าใจว่าการจะพิสูจน์การเป็น measurable ต้องพิสูจน์อะไร ยังไงน่ะครับ กลุ้ม

24 มิถุนายน 2008 18:08 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ love kmitl
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #12  
Old 25 มิถุนายน 2008, 08:47
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ love kmitl View Post

ข้อ1.ให้ k>0 และ Aเป็นสับเซตของR กำหนดให้ kA = {x | x/k เป็นสมาชิกของ A ) จงแสดงว่า

1. m*(kA)=km*(A)

2.A measurable ก็ต่อเมื่อ kA measurable


ข้อ2 ให้ Eเป็นสับเซตของM และ M measurable กำหนดให้ m(M) หาค่าได้ จงแสดงว่า M measurable ก็ต่อเมื่อ m(M)=m*(E)+m(M-E)
1. ไล่นิยามกับมองว่า ถ้า $A\subseteq \bigcup I_n$ แล้ว $kA\subseteq kI_n$

ดังนั้น $m^*(kA)\leq km^*(A)$

อีกข้างทำคล้ายๆกัน

2. โจทย์น่าจะเป็นอย่างนี้นะครับ

$E$ measurable ก็ต่อเมื่อ $m(M)=m^*(E)+m^*(M-E)$

การพิสูจน์ว่าเซต $E$ measurable ก็คือการพิสูจน์ว่า $$m^*(A)=m^*(A\cap E)+m^*(A\cap E^c)$$ ทุกเซต $A$

แต่เรามีอสมการ $m^*(A)\leq m^*(A\cap E)+m^*(A\cap E^c)$ อยู่แล้ว(ทำไม?)

จึงเพียงพอที่เราจะพิสูจน์ว่า $m^*(A)\geq m^*(A\cap E)+m^*(A\cap E^c)$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น

25 มิถุนายน 2008 09:02 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 06:38


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha