Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > Calculus and Analysis
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 24 มกราคม 2016, 10:27
B บ ....'s Avatar
B บ .... B บ .... ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 ตุลาคม 2008
ข้อความ: 251
B บ .... is on a distinguished road
Default Measure theory : Algebra of sets

Let $\scr{C}$ be a collection of subsets. Let $\scr{A}(\scr{C})$ be the algebra generated by $\scr{C}$ (i.e. $\scr{A}(\scr{C})$ = $\cap_{A \in \Gamma} A$ where $\Gamma$ is a family of algebra containing $\scr{C}$). Then $$\scr{A}(\scr{C}) = \{\sqcup_{i=1}^n (\cap_{j=1}^{m_j} A_{i, j}) : \ \mbox{either} A_{i,j} \ \mbox{or} \ A_{i,j}^c \in \scr{C} \ \mbox{for all} \ i,j\}.$$
($\sqcup$ denote disjoint union, i.e., $A \sqcap B = A \cup B$ with $A \cap B = \phi$)


ให้ $G = \{\sqcup_{i=1}^n (\cap_{j=1}^{m_j} A_{i, j}) : \ \mbox{either} A_{i,j} \ \mbox{or} \ A_{i,j}^c \in \scr{C} \ \mbox{for all} \ i,j\}$ จะเห็นได้ชัดเจนว่า $\scr{C} \subseteq$ $G$ ดังนั้น ถ้าแสดงได้ว่า $G$ เป็น algebra ก็จะได้ว่า $G = \scr{A}(\scr{C})$


ให้ $A \in G$ จะแสดงว่า $A^c \in G$
ถึงตรงนี้ติดปัญหาเกี่ยวกับการสลับ $\cup \cap$ เป็น $\cap \cup$ ครับ ปกติมีสูตรสำหรับการสลับ $$\cap_{i=1}^{n} \cup_{j=1}^{m_j} = \cup \cap$$ มั้ยครับ ลองเคสเล็กดูก็เริ่มงง index ไม่แน่ใจสำหรับสูตรกรณีทั่วไปครับ

รบกวนแนะนำแนวทางการพิสูจน์หน่อยครับ
__________________
เรื่อยๆ เฉื่อยๆ

24 มกราคม 2016 10:32 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 5 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ B บ ....
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 25 มกราคม 2016, 13:23
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

มันใช้ De Morgan law ไม่ได้เหรอครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 26 มกราคม 2016, 10:06
B บ ....'s Avatar
B บ .... B บ .... ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 ตุลาคม 2008
ข้อความ: 251
B บ .... is on a distinguished road
Default

ได้ครับ คือ สมมติว่า $A = \sqcup_{i=1}^n(\cap_{j=1}^{m_i} A_{i,j})$ จะได้ $$A^c = \cap_{i=1}^n \cup_{j=1}^{m_i} A_{i,j}^c$$ แต่ต้องการแสดงว่า $A^c \in \mathscr{A}(\mathscr{C})$ ก็คือ ต้องเขียน $$A^c = \sqcup \cap A_?$$ คือต้องสลับ $$\cap \cup \ \mbox{to} \sqcup \cap$$ ซึ่งติดตรงนี้อ่ะครับ
__________________
เรื่อยๆ เฉื่อยๆ

26 มกราคม 2016 10:07 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ B บ ....
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 30 มกราคม 2021, 08:08
share share ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 23 เมษายน 2013
ข้อความ: 1,211
share is on a distinguished road
Default

Measure theory was developed in successive stages during the late 19th and early 20th centuries
by Émile Borel, Henri Lebesgue, Johann Radon, and Maurice Fréchet, among others.

The main applications of measures are in the foundations of the Lebesgue integral,
in Andrey Kolmogorov's axiomatisation of probability theory
and in ergodic theory.

Geometric measure theory (GMT) is
the study of geometric properties of sets (typically in Euclidean space) through measure theory.
It allows mathematicians to extend tools from differential geometry to
a much larger class of surfaces that are not necessarily smooth.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 30 มกราคม 2021, 08:36
share share ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 23 เมษายน 2013
ข้อความ: 1,211
share is on a distinguished road
Default

Algebra of sets,
not to be confused with the mathematical structure of an algebra of sets,
defines the properties and laws of sets, the set-theoretic operations of union,
intersection, and complementation and the relations of set equality and set inclusion.
It also provides systematic procedures for evaluating expressions, and
performing calculations, involving these operations and relations.

Any set of sets closed under the set-theoretic operations forms
a Boolean algebra with the join operator being union,
the meet operator being intersection, the complement operator being set complement,
the bottom being the empty set and
the top being the universe set under consideration.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
Measure Theory Problem viista Calculus and Analysis 4 21 พฤศจิกายน 2014 14:23
ช่วยแนะนำ textbook linear algebra กับ abtract algebra ที่เข้าใจง่ายหน่อยคร้าบบ lingnoi พีชคณิต 2 12 มกราคม 2013 23:21
Sets PURE MATH พีชคณิต 2 20 ธันวาคม 2012 12:25
Proofs Involving Sets PURE MATH คณิตศาสตร์อุดมศึกษา 7 15 ธันวาคม 2012 22:11
ข้อสงสัยเกี่ยวกับ Sigma Algebra and Measure Thoery M@gpie Calculus and Analysis 15 20 เมษายน 2006 11:31

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 20:27


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha