Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > คอมบินาทอริก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 27 กรกฎาคม 2016, 12:10
Beatmania's Avatar
Beatmania Beatmania ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤษภาคม 2011
ข้อความ: 279
Beatmania is on a distinguished road
Default Rummy League

เกมไพ่ "รัมมี่" เป็นเกมไพ่ที่ใช้ผู้เล่น $3$ คน และให้ $k$ เป็นจำนวนนับที่มากกว่า $1$

จงแสดงว่ามีวิธีการจัดการแข่งขันรัมมี่ให้คน $\frac{3^k-1}{2}$ คน โดยที่ทุกคนได้เล่นรัมมี่เป็นจำนวนเกมเท่ากัน
__________________
I'm Back
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 29 กรกฎาคม 2016, 18:58
Thamma Thamma ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 19 กุมภาพันธ์ 2013
ข้อความ: 307
Thamma is on a distinguished road
Default

มี Hint ไหมคะ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 30 กรกฎาคม 2016, 13:53
Beatmania's Avatar
Beatmania Beatmania ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤษภาคม 2011
ข้อความ: 279
Beatmania is on a distinguished road
Default

ลองแสดงว่าถ้าหากมีคน $4,9$ คน จะมีวิธีจัดการแข่งขันรัมมี่ตามที่ต้องการได้ครับ
__________________
I'm Back
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 31 กรกฎาคม 2016, 09:41
Thamma Thamma ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 19 กุมภาพันธ์ 2013
ข้อความ: 307
Thamma is on a distinguished road
Default

เป็นการแข่งขันแบบพบกันหมดหรือเปล่าคะ

9 คน ทำได้หรือคะ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 01 สิงหาคม 2016, 07:50
Beatmania's Avatar
Beatmania Beatmania ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤษภาคม 2011
ข้อความ: 279
Beatmania is on a distinguished road
Default

ไม่ต้องพบกันหมดก็ได้ครับ ขอแค่ทุกคนได้เล่นเกมเป็นจำนวนเท่ากันก็เพียงพอครับ
__________________
I'm Back
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 03 สิงหาคม 2016, 21:48
Thamma Thamma ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 19 กุมภาพันธ์ 2013
ข้อความ: 307
Thamma is on a distinguished road
Default

ขอบคุณที่ให้คำแนะนำนะคะ ไม่แน่ใจว่าถูกไหมนะ

จะพิสูจน์โดยหลักอุปนัยทางคณิตศาสตร์บนตัวแปร n

กำหนด P(n) แทนข้อความ มีวิธีการจัดการแข่งขันรัมมี่ให้คน $\frac {3^n -1}{2}$ คน, $n\geq 2 $ โดยที่ทุกคนได้เล่นรัมมี่เป็นจำนวนเกมเท่ากัน

ขั้นฐาน : จะแสดงว่า P(2) เป็นจริง

ให้ A, B, C, D เป็นผู้เล่น 4 คน จะสามารถจัดการแข่งขันโดยที่ทุกคนได้เล่น 3 เกมเท่ากัน ดังนี้

A-B-C
A-B-D
A-C-D
B-C-D

ขั้นอุปนัย : สมมุติว่า P(k) เป็นจริง จะแสดงว่า P(k+1) เป็นจริง

แบ่งคน $\frac {3^{k+1} -1}{2} $ เป็น 2 กลุ่ม

กลุ่มที่ 1 มีคน $\frac {3^k -1}{2} $คน

กลุ่มที่ 2 มีคน $ 3^k $คนที่เหลือ

จาก P(k) เป็นจริง จะสามารถจัดการแข่งขันโดยที่ทุกคนในกลุ่มที่ 1 ได้เล่น m เกมเท่ากัน, m $\in [1, {\frac {3^k -3}{2} \choose 2}]$

จาก $3\mid 3^k $ จะสามารถจัดการแข่งขันโดยที่ทุกคนในกลุ่มที่ 2 ได้เล่น m' เกมเท่ากัน, m' $ \in [1, {{3^k -1} \choose 2}]$

เนื่องจาก $ {{3^k -1} \choose 2} > {\frac {3^k -3}{2} \choose 2} $ ดังนั้น เลือกค่า m' ที่เท่ากับ m

ทำให้สามารถจัดการแข่งขันให้คน $\frac {3^{k+1} -1}{2} , k \geq 2 $ คน โดยทุกคนได้เล่น m เกมเท่ากัน

ดังนั้น P(k+1) เป็นจริง

โดยหลักอุปนัยทางคณิตศาสตร์ P(n) เป็นจริง $\forall n \in \unicode{8469}-\{1\}$

จึงสามารถจัดการแข่งขันให้คน $\frac {3^k -1}{2}$ คน, $k \geq 2 $ โดยที่ทุกคนได้เล่นรัมมี่เป็นจำนวนเกมเท่ากัน

03 สิงหาคม 2016 22:16 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thamma
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 08 สิงหาคม 2016, 21:34
Beatmania's Avatar
Beatmania Beatmania ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤษภาคม 2011
ข้อความ: 279
Beatmania is on a distinguished road
Default

หายไปนาน ==" วิธีคุณธรรมะก็ได้เหมือนกันๆ
Idea ผมคือแสดงว่า $4,9$ คนสามารถจัดแข่งได้ (ทุกคนได้เล่น $3$ เกม)

กรณีสูงกว่านี้ก็ใช้จากที่ว่า $\frac{3^n-1}{2}\equiv 4 (mod 9)$ โดยแบ่งเป็น $4$ คนก่อนแล้วที่เหลือแบ่งออกเป็นกลุ่มละ $9$ คนครับ
__________________
I'm Back
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 11 สิงหาคม 2016, 15:46
Thamma Thamma ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 19 กุมภาพันธ์ 2013
ข้อความ: 307
Thamma is on a distinguished road
Default

ขอบคุณมากนะคะ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 19:30


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha