งง สมการเชิงฟังก์ชัน ช่วยทีครับ

[reve]

ผมงงหลายอย่างเกี่ยวกับ FE เลยครับรู้สึกว่ามันติดขัดไปหมดเวลาอ่านเฉลย ช่วยอธิบายทีครับ
1.งงเกี่ยวกับเทคนิคการเปลี่ยนตัวแปรครับ ที่ว่าในหนังสือสอวนเขียนว่าต้องเปลี่ยนแบบ1-1 อันนี้ผมว่าผมพอเข้าใจ
แต่ยังไม่แน่ใจช่วยอธิบายหน่อยครับแบบภาษากันเองง่ายๆอ่าครับ แล้วถ้าเราจะเปลี่ยนแบบไม่1-1 เราต้องกำกับช่วงของ x ไว้ยังงี้หรอครับ

2.ถ้าสมการของโจทมีเงื่อนไขกำกับแบบ $x\not= 0,1$ไรงี้อะครับ บางทีเข้าใจว่าเพราะมันมีพจน์ที่เป็นเศษส่วนแล้ว ค่าx นั้นๆจะทำให้ส่วนเป็น0 แต่บางทีก้มีแบบกำหนดขึ้นมาเฉยๆ ทั้งสองกรณีนี้จะส่งผลยังไงกับการเปลี่ยนตัวแปรครับ

2.และผมก็เห็นในเฉลยหลายๆข้อที่เปลี่ยนตัวแปรแบบเช่น $P(x,f(y)) , P(x,\frac{x+y}{f(x)} )$ อย่างงี้ทำไมมันดูเปลี่ยน
เป็นยังไงก็ได้จังเลยครับ มันมีข้อกำหนดไหมว่าเปลี่ยนแบบไหนไม่ได้และมันเกี่ยวกับหลักการที่ว่าต้องเปลี่ยนแบบ1-1ไหมครับ แล้วเราจะเชคยังไงครับว่าแบบไหนเปลี่ยนได้หรือไม่ได้ เพราะผมเคยได้ยินอาจารบอกว่าแบบเปลี่ยนแบบนี้(จมด) f ต้องทั่วถึง ไรงี้อะครับ ผมเลยอยากทราบหลักว่าแบบไหนเปลี่ยนได้แบบไหนไม่ได้เพราะอะไรครับ ถ้าอันนี้ผมเขียนงงขอโทษด้วยครับ

3.แล้วบางทีเฉลยจะแบบ ให้ $b$ เป็นจำนวนจริง $>0$ แทนค่า $(x,y)=(\sqrt{b},\frac{-f(b)}{2} )$ อันนี้ทำไมต้องเปลี่ยนเป็น b ไม่เปลี่ยนเหมือนข้อ 2ด้านบนที่ผมยกตัวอย่างมาอะครับ

4. อันนี้มาจากตย 2.2.3 สอวนเล่มเทาหน้า 194 ครับ

จงหา $f:R\rightarrow R$ ทั้งหมดที่ $f(x^2 +y+f(y))=2y+(f(x))^2$ $(x,y\in R)$

เริ่มต้นวิธีทำว่า ให้ $a\in R$ มีสมบัติว่า $f(a)=0$ // อันนี้เรารู้ได้ยังไงครับว่ามี a ตัวนั้นครีบ

ปล. ถ้าช่วยยกตัวอย่างแต่ละข้อด้วยจะดีมากครับ

ขอโทษทีครับที่ถามเรื่องพื้นฐาน ผมเพิ่งมาอ่านวิชานี้ถ้าเข้าใจผิดตรงไหนช่วยบอกด้วยครับ ขอบคุณล่วงหน้าครับ

[Pitchayut]

1. สอวน เขียนผิดครับ ไม่ต้อง 1-1 ก็เปลี่ยนได้ แค่เช็คว่ามันสอดคล้องกับเงื่อนไขในสมการเชิงฟังก์ชันหรือเปล่า

โดยทั่วไปตัวที่แทน แค่ตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์ก็พอแล้วครับ

เช่น ให้ $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ที่สอดคล้องกับ $f(x+f(y))=f(x)+y$ ทุก $x,y\in\mathbb{R}$

เรามีสิทธิ์ที่จะแทน $(x,y)$ ในสมการข้างต้นเป็นจำนวนจริงอะไรก็ได้ เช่น $(x,y)=(x,0)$ หรือ $(x,y)=(x,2016y+123f(x))$ ก็ได้

แต่ถ้าจะแทน $(x,y)=\left(x,\dfrac{2x-1}{2f(x)-1}\right)$ เราจำเป็นที่จะต้องแยกเคส $f(x)=\dfrac{1}{2}$ มาก่อนครับ

ข้อควรระวัง แทนนอกโดเมนที่โจทย์กำหนดไม่ได้ เช่น ถ้าโดเมนของโจทย์คือ $\mathbb{R}^+$ แล้วเราไม่มีสิทธิ์ที่จะแทน $0$

2. ถ้าโจทย์กำหนดว่า $x\ne 0,1$ เราห้ามแทน $x$ เป็นอะไรที่เท่ากับ $0,1$ ครับ

2 (อันล่าง). ตามที่ผมอธิบายใน 1. ครับ เปลี่ยนได้ทุกตัวที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน

3. ที่กำหนด $b>0$ เพราะถ้า $b<0$ จะทำให้ $\sqrt{b}$ ไม่เป็นจำนวนจริง ซึ่งขัดกับสมการเชิงฟังก์ชันครับ

4. หนังสือ สอวน. ลืมแสดงครับ จริงๆ เราก็แค่แทน $(x,y)$ ด้วย $\left(0,\dfrac{-f(0)^2}{2}\right)$ ครับ

[Thgx0312555]

เพิ่มให้นะครับ

ปกติการสมการเชิงฟังก์ชันจะอยู่ในรูปแบบประมาณนี้
Ex. $f(x+2f(y))=x+2y$ สำหรับทุก $x,y \in \mathbb{R}$

นั่นคือ $x,y$ จะเป็นอะไรก็ได้เท่าที่มันอยู่ใน $\mathbb{R}$

เช่นจากข้อที่แล้ว เรา fix ให้ $x$ เป็น $-2f(y)$ (นั่นคือจาก $x,y$ เป็นอะไรก็ได้ใน $\mathbb{R}$ ตอนนี้เรามาดูแค่เมื่อ $x=-2f(y)$ เท่านั้น)

สมการก็จะเหลือเป็น $f(0)=-2f(y)+2y$ พิจารณาว่าสมการนี้ยังเป็นจริงอยู่สำหรับ $y \in \mathbb{R}$ ใดๆ

ดังนั้นถ้าเราจัดรูป $f(y)=y-\dfrac{f(0)}{2}$ เราจะได้หน้าตาของ $f(y)$ สำหรับ $y$ ใดๆมาแล้ว (เหลือเพียงแค่หา $f(0)$)


2. ต่อมาในกรณีที่มีการจำกัดช่วงของ $x,y$ เช่น จงหา $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $f(x+2f(y))=x+2y$ สำหรับทุก $x,y \in \mathbb{Z}$
กรณีนี้สิ่งที่เราต้องเช็คคือ จะแทนอะไรต้องเป็นจำนวนเต็มเสมอ


3. 1-1 และ onto ใช้เมื่อไร
ฟังก์ชัน 1-1 จะมีคุณสมบัตินี้ "ถ้า $f(x)=f(y)$ แล้ว $x=y$ ด้วย"

ฟังก์ชัน onto จะมีคุณสมบัตินี้
1) สำหรับ $k \in \mathbb{R}$ ใดๆ เราจะสมมติ $x_0$ ซึ่ง $f(x_0)=k$ ได้

2) แทนค่า $f(x)$ ด้วย $x$ ได้ (เช่นในสมการเชิงฟังก์ชันที่พจน์ทุกก้อนที่มี $x$ เป็น $f(x)$) เช่น $f(f(x))-f(y)=f(x)-y$ เป็นต้น

ซึ่งสองสมบัตินี้เป็นสมบัติที่มีประโยชน์มากครับ

[nooonuii]

การแทนค่าแบบ 1-1 onto ใช้เมื่อต้องการแปลงโจทย์จากรูปหนึ่งไปเป็นโจทย์อีกรูปแบบหนึ่งที่สมมูลกัน

ซึ่งจะใช้บ่อยตอนแก้สมการโคชีและผองเพื่อน ถ้าเป็นสมการทั่วไปก็ไม่จำเป็นต้องใช้ครับ แทนอะไรก็ได้ที่อยู่ในโดเมนนั่นแหละ

[reve]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

การแทนค่าแบบ 1-1 onto ใช้เมื่อต้องการแปลงโจทย์จากรูปหนึ่งไปเป็นโจทย์อีกรูปแบบหนึ่งที่สมมูลกัน

ซึ่งจะใช้บ่อยตอนแก้สมการโคชีและผองเพื่อน ถ้าเป็นสมการทั่วไปก็ไม่จำเป็นต้องใช้ครับ แทนอะไรก็ได้ที่อยู่ในโดเมนนั่นแหละ

คุณ nooonuii ช่วยยกตัวอย่างว่ามันใช้แบบนี้ตอนแก้สมการโคชียังไงได้ไหมครับ

[reve]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

2) แทนค่า $f(x)$ ด้วย $x$ ได้ (เช่นในสมการเชิงฟังก์ชันที่พจน์ทุกก้อนที่มี $x$ เป็น $f(x)$) เช่น $f(f(x))-f(y)=f(x)-y$ เป็นต้น

ซึ่งสองสมบัตินี้เป็นสมบัติที่มีประโยชน์มากครับ

อันนี้คือหมายความส่าเราเห็นสมการอันนี้แล้วสรุปได้ว่าเป็น onto เลยเพราะมันมีก้อน f(f(x)) ใช่เปล่าครับ
แล้วพอเราแทน f(x) ด้วย. x อย่างว่าแล้วสมการจะกลาย เป็น f(x)-f(y)=x-y หรือ f(x)-y=x-y ครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ reve

คุณ nooonuii ช่วยยกตัวอย่างว่ามันใช้แบบนี้ตอนแก้สมการโคชียังไงได้ไหมครับ

จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องสมการ

$$
f(x+2y) = f(x+y) + f(y)
$$
สำหรับทุก $x,y\in\mathbb{Q}$

ให้ $u=x+y,v=y$ จะได้ว่า การแปลง $u,v$ เป็นการแปลงแบบหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง จะได้สมการใหม่เป็น

$$
f(u+v)=f(u)+f(v)
$$

ซึ่งสอดคล้องกับสมการโคชีบน $\mathbb{Q}$

เพราะฉะนั้น $f(x)=f(1)x$ ทุก $x\in\mathbb{Q}$

[reve]

ขอบคุณคุณ nooonuii และทุกคนมากๆครับ
เข้าใจมากขึ้นเยอะเลยครับ

[Pitchayut]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ให้ $u=x+y,v=y$ จะได้ว่า การแปลง $u,v$ เป็นการแปลงแบบหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง จะได้สมการใหม่เป็น

$$
f(u+v)=f(u)+f(v)
$$

ซึ่งสอดคล้องกับสมการโคชีบน $\mathbb{Q}$

เพราะฉะนั้น $f(x)=f(1)x$ ทุก $x\in\mathbb{Q}$

ขอเสริมนิดนึงครับว่าในกรณีนี้ไม่จำเป็นต้อง 1-1 ก็ได้ เนื่องจากว่าเราขอแค่ $(x,y)$ ชุดเดียวที่ทำให้ $x+y=u, y=v$ ครับ

[Thgx0312555]

1) อันนี้คือหมายความส่าเราเห็นสมการอันนี้แล้วสรุปได้ว่าเป็น onto เลยเพราะมันมีก้อน f(f(x)) ใช่เปล่าครับ
การพิสูจน์ว่า onto ไหมก็อีกเรื่องนึงครับ
แต่ปกติเราจะพิสูจน์โดยจัดให้อยู่ในรูป $f(...)=k$ เมื่อ $k$ เป็นจำนวนจริงใดๆครับ
(เช่น ตย. ที่ให้ แทน $x$ ด้วย $0$ แทน $y$ ด้วย $y-f(0)+f(f(0))$ จะพบว่าไม่ว่า $y$ เป็นจำนวนอะไรก็มี $y-f(0)+f(f(0))$ ซึ่ง $f(y-f(0)+f(f(0)))=y$ ครับ)

แล้วพอเราแทน f(x) ด้วย. x อย่างว่าแล้วสมการจะกลาย เป็น $f(x)-f(y)=x-y$
เป็นแบบนี้ครับ เพราะเปลี่ยนแต่ $f(x)$

ปล ที่คุณ nooonuii อธิบายคือเรื่องการเปลี่ยนตัวแปรเป็นคนละอันกับที่ผมพูดถึงนะ ส่วนที่ว่าต้องเช็คความหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ไม่ได้เช็คความหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงของฟังก์ชันแต่อย่างใด แต่เป็นการเช็คว่าการเปลี่ยน $(x,y)$ เป็น $(u,v)$ เป็นการแปลงแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงมั้ยครับ

[reve]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

การพิสูจน์ว่า onto ไหมก็อีกเรื่องนึงครับ
แต่ปกติเราจะพิสูจน์โดยจัดให้อยู่ในรูป $f(...)=k$ เมื่อ $k$ เป็นจำนวนจริงใดๆครับ
(เช่น ตย. ที่ให้ แทน $x$ ด้วย $0$ แทน $y$ ด้วย $y-f(0)+f(f(0))$ จะพบว่าไม่ว่า $y$ เป็นจำนวนอะไรก็มี $y-f(0)+f(f(0))$ ซึ่ง $f(y-f(0)+f(f(0)))=y$ ครับ)

แล้วพอเราแทน f(x) ด้วย. x อย่างว่าแล้วสมการจะกลาย เป็น $f(x)-f(y)=x-y$
เป็นแบบนี้ครับ เพราะเปลี่ยนแต่ $f(x)$

คุณ Thgx0312555 หมายถึง แทน $y$ ด้วย $y+f(0)-f(f(0))$ หรือเปล่าครับ ถ้าอย่างงั้นผมเข้าใจแล้วครับ ขอบคุณมากๆครับ

อีกอย่างหนึ่ง ถ้าผมแทน $f(y)$ ด้วย $y$ หรือแทนทั้งสองอย่างก็ไม่ได้ผิดใช่ไหมครับ แต่สำหรับข้อนี้แทนไปก็ไม่มีประโยชน์อย่างนี้อะครับ

[Pitchayut]

ต้องพิสูจน์ว่าทั่วถึงก่อนครับ ถึงจะแทน $f(y)$ ด้วย $y$ ได้

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ reve

คุณ Thgx0312555 หมายถึง แทน $y$ ด้วย $y+f(0)-f(f(0))$ หรือเปล่าครับ ถ้าอย่างงั้นผมเข้าใจแล้วครับ ขอบคุณมากๆครับ

อีกอย่างหนึ่ง ถ้าผมแทน $f(y)$ ด้วย $y$ หรือแทนทั้งสองอย่างก็ไม่ได้ผิดใช่ไหมครับ แต่สำหรับข้อนี้แทนไปก็ไม่มีประโยชน์อย่างนี้อะครับ

ใช่แล้วครับ แต่ที่ข้อนี้แทน $f(y)$ ด้วย $y$ ไม่ได้เพราะว่ามีพจน์ที่มี $y$ อยู่ครับ จะแทนได้ทุกพจน์ที่มี $y$ ต้องอยู่ในรูป $f(y)$ ครับ

[kongp]

อ้อ ! พอได้สูตรแล้ว เอาไปคำนวน Complexity ของขนาด Energy ต่อ

[kongp]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut

1. สอวน เขียนผิดครับ ไม่ต้อง 1-1 ก็เปลี่ยนได้ แค่เช็คว่ามันสอดคล้องกับเงื่อนไขในสมการเชิงฟังก์ชันหรือเปล่า

โดยทั่วไปตัวที่แทน แค่ตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์ก็พอแล้วครับ

เช่น ให้ $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ที่สอดคล้องกับ $f(x+f(y))=f(x)+y$ ทุก $x,y\in\mathbb{R}$

เรามีสิทธิ์ที่จะแทน $(x,y)$ ในสมการข้างต้นเป็นจำนวนจริงอะไรก็ได้ เช่น $(x,y)=(x,0)$ หรือ $(x,y)=(x,2016y+123f(x))$ ก็ได้

แต่ถ้าจะแทน $(x,y)=\left(x,\dfrac{2x-1}{2f(x)-1}\right)$ เราจำเป็นที่จะต้องแยกเคส $f(x)=\dfrac{1}{2}$ มาก่อนครับ

ข้อควรระวัง แทนนอกโดเมนที่โจทย์กำหนดไม่ได้ เช่น ถ้าโดเมนของโจทย์คือ $\mathbb{R}^+$ แล้วเราไม่มีสิทธิ์ที่จะแทน $0$

2. ถ้าโจทย์กำหนดว่า $x\ne 0,1$ เราห้ามแทน $x$ เป็นอะไรที่เท่ากับ $0,1$ ครับ

2 (อันล่าง). ตามที่ผมอธิบายใน 1. ครับ เปลี่ยนได้ทุกตัวที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน

3. ที่กำหนด $b>0$ เพราะถ้า $b<0$ จะทำให้ $\sqrt{b}$ ไม่เป็นจำนวนจริง ซึ่งขัดกับสมการเชิงฟังก์ชันครับ

4. หนังสือ สอวน. ลืมแสดงครับ จริงๆ เราก็แค่แทน $(x,y)$ ด้วย $\left(0,\dfrac{-f(0)^2}{2}\right)$ ครับ

สวอน. คงไม่ได้เขียนผิด แต่อาจจะเจาะจงเฉพาะงาน โดยไม่ได้บ่งอ้างอันใดขยายความ