มีการบ้านAbstract Algebra รบกวนช่วยหน่อยนะคะ

[atgnot]

Prove that a nonempty subset H of a group G is a subgroup of G if and only if a.b^-1 is in H for all a,b are in H.

ช่วยหน่ิอยนะคะ ขอบคุณค่าาาา

[Lekkoksung]

ขาไปเห็นชัดครับ
ในส่วนของขากลับ ถ้า $H= \emptyset$ จะได้ทันทีว่า $H \leq G$
ถ้า $H \not = \emptyset$ ให้ $a, b \in H$ ดังนั้นจากสมมติฐาน จะได้ว่า $aa^{-1}=e \in H$ โดยที่ $e$ เป็น identity element
ต่อมาจะบอกว่ามันมีตัวผกผัน จากสมมติฐาน จะได้ $ea^{-1} \in H$
ต่อไปจะบอกว่ามันปิด จาก $b \in H$ จากที่มันมีตัวผกผัน จะได้ $b^{-1} \in H$ จากสมมติฐาน จะได้ $a(b^{-1})^{-1}=ab\in H$
จากทั้งหมดจะได้ว่า $H$ เป็นกรุปด้วยครับ

[atgnot]

ขอบคุณค่าาา