ช่วยทีครับ การหาค่าสูงสุด ต่ำสุดอ่ะครับ

[ผู้โง่เขลา]

ผมไม่เข้าใจโจทย์ประยุกต์พวกนี้อ่ะครับ ฃ่วยทีนะครับ

1. จงหาจุดบนระนาบ $x + y +z =15$ ใน octant ที่1 ที่ทำให้ $f(x,y,z) = (x^2)(y)(z^2)$ มีค่ามากที่สุด
**คือข้อนี้ผมลอง เขียน $z$ ของสมการระนาบในเทอมของ $xy$ แล้วแทนใน $f(x,y,z)$ แต่ก็ไม่หลุดอ่ะครับ

2. จงหาจุดบนพื้นผิว $x^2-yz = 3$ ซึ่งใกล้จุดกำเนิดมากที่สุด
** ข้อนี้ผมเห็นหนังสือบางเล่ม ใฃ้สูตรระยะทางแล้วยกกำลังสองแล้วดิฟเลย ผม งง ว่าทำไมถึงเป็นอย่างนั้นครับ แบบเค้าเขียนอธิบายว่า $d^2$ กับ $d$ มีจุดสุดขีดเดียวกัน เลย งงครับ

3. จงหาจุดบนพื้นผิว $x^2+y^2-z = 1$ ที่ทำให้ $f(x,y,z)=xyz$ มีค่าสุดขีด
**ข้อนี้เบลอเลยครับ=___=&&

4. จงหาจุดบนระนาบ $x+4y-z=8$ ที่ทำให้ $f(x,y,z)=x^3+y^2-z^3$ มีค่าสุดขีด
**ข้อนี้เบลอเหมือนข้อบนเลยครับ แหะๆ

5. จงหาปริมาตรที่มากที่สุดของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากใน octant ที่1 ซึ่งมี 3 ด้่านเป็นระนาบพิกัดทั้ง 3 และมีจุดยอดจุดหนึ่งบนระนาบ $x+2y+3z=4$
**ข้อนี้ผมเข้าใจว่า เป็นบริเวณที่ปิดล้อมกับระนาบ $x=0, y=0, z=0$ ใช่ป่ะครับ แต่งงที่ว่า มีจุดยอด 1 จุดบนระนาบ คือยังไงอ่ะครับ

6. จงหาปริมาตรที่มากที่สุดของรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากซึ่งสามารถบรรจุอยู่ในทรงรี
$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$$ โดย $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวก
**ข้อนี้ผมไปไม่ถูกตั้งแต่เริ่มเลยครับ

ขอความกรุณาผู้รู้มาแก้ให้ทีนะครับ ขอแบบอธิบายด้วยนะครับ สำคัญจริงๆครับ ผมจะสอบแล้ว >__< ขอบคุณอย่างสูงครับ

=________=!!!

แก้คำผิดและจัดรูปแบบ : nongtum

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ผู้โง่เขลา

1. จงหาจุดบนระราบ $x + y +z =15$ ใน octant ที่ $1$ ที่ทำให้ $f(x,y,z) = x^2yz^2$ มีค่ามากที่สุด

2. จงหาจุดบนพื้นผิว $x^2-yz = 3$ ซึ่งใกล้จุดกำเนิดมากที่สุด

3. จงหาจุดบนพื้นผิว $x^2+y^2-z = 1$ ที่ทำให้ $f(x,y,z)=xyz$ มีค่าสุดขีด

4. จงหาจุดบนระนาบ $x+4y-z=8$ ที่ทำให้ $f(x,y,z)=x^3+y^2-z^3$ มีค่าสุดขีด

5. จงหาปริมาตรที่มากที่สุดของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากใน octant ที่ $1$ ซึ่งมี $3$ ด้่านเป็นระนาบพิกัดทั้ง $3$ และมีจุดยอดจุดหนึ่งบนระนาบ $x+2y+3z=4$

6. จงหาปริมาตรที่มากที่สุดของรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากซึ่งสามารถบรรจุอยู่ในทรงรี
$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$$
โดย $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวก

ก่อนกดส่งข้อความ ลองกดปุ่ม แสดงผลข้อความแบบรวดเร็ว ก่อนซักรอบดีไหม จะได้ไม่ต้องกดปุ่มแก้ไขหลายรอบ

เครื่องหมาย $\$$ เอาไว้คร่อมข้อความทางคณิตศาสตร์จะอ่านง่ายที่สุด

โจทย์ทั้งหมดนี้ใช้ Lagrange multiplier ครับ เข้าใจหลักการก็ทำได้หมด

ทำให้ดูข้อนึงละกัน

2. ให้ $(x,y,z)$ เป็นจุดบนพื้นผิว $x^2-yz=3$

ต้องการหาค่าต่ำสุดของ $d=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

แต่ค่าต่ำสุดของ $d$ คือรากที่สองของค่าต่ำสุดของ $d^2$

จึงหาค่าต่ำสุดของ $d^2$ แทนซึ่งทำได้ง่ายกว่า

ให้ $g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+\lambda(x^2-yz-3)$

จะได้

$g_x=2x+2x\lambda$

$g_y=2y-z\lambda$

$g_z=2z-y\lambda$

$g_{\lambda}=x^2-yz-3$

จับทุกตัวมาเท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการหา $x,y,z,\lambda$ จะได้

$(x,y,z,\lambda)=(0,-\sqrt{3},\sqrt{3},-2),(0,\sqrt{3},-\sqrt{3},-2),(\sqrt{3},0,0,-1),(-\sqrt{3},0,0,-1)$

นำเฉพาะค่า $x,y,z$ ทั้งสี่แบบไปแทนจะได้ค่าน้อยสุดของ $d^2$ คือ $3$

ดังนั้นระยะห่างจากจุดกำเนิดที่น้อยที่สุดคือ $\sqrt{3}$

[ผู้โง่เขลา]

ขอบคุณครับผม แต่ว่า ที่ มหาลัยยังไม่สอน ลากรองเลยอ่ะครับ แหะๆ=____=!! พอจามีวิธีอื่นมั้ยครับ แต่ยังไงก็ขอบคุณมากครับผม

[nooonuii]

โจทย์พวกนี้เอามาจากหัวข้อไหนเหรอครับ

ถ้าจะไม่ให้ใช้ก็ได้นะแต่คงถึกกว่ามาก

กำจัดตัวแปรออกไปหนึ่งตัวจากเงื่อนไขที่กำหนดให้แล้วหาค่าสูงสุดต่ำสุดตามปกติ เช่น

1. แทน $y=15-x-z$ ลงไป แล้วหาค่าสูงสุดของ

$g(x,z)=x^2z^2(15-x-z)$ แทน

ข้อนี้ตอบ $3888$ เมื่อ $(x,y,z)=(6,3,6)$

[ผู้โง่เขลา]

อ่อออ ช่ายเลยครับ ตอบแบบนี้เลย ^^

ฮือออ สงสัยต้องถึกอย่างเดียว =__=!! รบกวนทำข้อ6ให้หน่อยได้มั้ยครับผม ><

[nooonuii]

6. ยังไม่แน่ใจครับว่าถูกมั้ย

ให้ $(x,y,z)$ เป็นจุดหนึ่งบนทรงรี

โดยไม่เสียนัยทั่วไปให้ $x,y,z>0$

จะได้จุดบนทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก เป็น $(\pm x,\pm y,\pm z)$

จึงได้ปริมาตร = กว้าง $\times$ ยาว $\times$ สูง = $(2x)(2y)(2z)=8xyz$

ที่เหลือก็ทำเหมือนเดิมครับ

[ผู้โง่เขลา]

อ่อครับผม ขอบคุณมากครับ จาลองทำดูครับ ^__^

[kongp]

ตอนผมเรียนปีหนึ่ง ตีความเลข 8 เป็น Octahedron ก็ตั้งนาน แต่ไม่ติดฝุ่นเพราะเจอรูปกราฟิกสวยๆ http://en.wikipedia.org/wiki/Octahedron ความรู้สู้เค้าไม่ได้เลย