ช่วยหาค่าของ convergent นี้ให้หน่อยครับ

[GunUltimateID]

$\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+....$
เรารู้มันเป็นคอนเวอเจนต์
แต่มันลู่เข้าหาค่าอะไรหรอครับ

[picmy]

กำหนดให้ $S_n = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$
และ $A_n = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}$
จะได้ว่า $A_n = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2n}-2\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2n}\right) = S_{2n}-S_n$

ต่อไปใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า $lim_{n\to\infty}S_n-ln(n)=\gamma $ โดยที่ $\gamma $เป็น Euler constant

ดังนั้น $lim_{n\to\infty}[S_{2n}-ln(2n)-S_n+ln(n)]=lim_{n\to\infty}[S_{2n}-ln(2n)]-lim_{n\to\infty}[S_{n}-ln(n)]=\gamma-\gamma=0$
นั่นคือ $lim_{n\to\infty}[A_n-ln(2n)+ln(n)]=0$
และเนื่องจาก $lim_{n\to\infty}[ln(n)-ln(2n)]=-ln2$
ดังนั้น $lim_{n\to\infty}A_n=ln2$
นั่นคือ $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+...=ln2$ #

[GunUltimateID]

ขอบคุณครับ แต่ว่า euler constant คืออะไรหรอครับ

[picmy]

ลองศึกษาจากลิงค์ที่ให้มาข้างล่างดูนะครับ
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler–Mascheroni_constant
http://th.wikipedia.org/wiki/ค่าคงตัวออยเลอร์-แมสเชโรนี
http://mathworld.wolfram.com/Euler-M...iConstant.html

ในลิงค์ที่ ๒ ที่เป็นภาษาไทยที่ให้มา ต้องบอกก่อนนะคับว่าในนั้นมีการแปลผิดพลาดเกิดขึ้น เพราะที่จริงแล้ว เรายังไม่ทราบเลยครับว่า ค่าคงตัวออยเลอร์นั้นเป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ
ซึี่่งจากลิงค์ที่ ๑ เค้าแค่บอกว่า จากการวิเคราะห์เศษส่วนต่อเนื่อง ถ้าค่าคงตัวออยเลอร์เป็นจำนวนตรรกยะแล้ว ตัวส่วนของมันจะต้องใหญ่กว่า $10^{242080}$