รวมเรื่องเลขยกกำลังและติดราก(root)

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ meng

3. กำหนดให้ x เป็นจำนวนจริงบวก และ x+$\frac{1}{x}=k$ จงหาค่า k ที่ทำให้ $(x^{3}+\frac{1}{x^{3}})^{2}=2704$

$x+\frac{1}{x}=k$ ...........(1)

$x^2 +\frac{1}{x^2} = k^2 -2$ ...........(2)

(1) x (2) $ \ \ \ (x+\frac{1}{x})(x^2 +\frac{1}{x^2} ) = k( k^2 -2)$

$x^3+x+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3} = k^3-2k$

$(x^3+\frac{1}{x^3})+(x+\frac{1}{x}) = k^3-2k$ ......(3)



จากโจทย์ $ \ \ \ (x^{3}+\frac{1}{x^{3}})^{2}=2704$

$ \ \ \ (x^{3}+\frac{1}{x^{3}}) = \pm 52 $



กรณีย์ $ \ \ \ (x^{3}+\frac{1}{x^{3}}) = 52 $

จาก (3) จะได้ $(52)+(k) = k^3-2k$

$k^3-3k-52 =0$

$(k-4) (k^2+4 k+13) = 0$

$k$ ที่เป็นจำนวนจริงบวก $=4$


กรณีย์ $ \ \ \ (x^{3}+\frac{1}{x^{3}}) = -52 $

จาก (3) จะได้ $(-52)+(k) = k^3-2k$

$k^3-3k+52 =0$

$(k+4) (k^2-4 k+13) = 0$

กรณีนี้ไม่มีค่า $k$ ที่เป็นจำนวนจริงบวก

ตอบ $k =4$

[banker]

เกรงใจจังเลย ข้อที่เหลือให้คนอื่นทำมั่ง


เพราะว่า $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

$4 = (1)(a^2-ab+b^2)$

$a^2-ab+b^2 =4$ .....(1)

จากโจทย์ $(a+b) = 1$........*

$a^2+2ab+b^2=1$ ......(2)

(2) - (1) $ \ \ \ -ab=1$ ....(3)

(3) x 4 $ \ \ \ \ -4ab =4$ .....(4)

(2) + (4) $ \ \ \ \ a^2-2ab+b^2 = 5$

$(a-b)^2 = 5 $

$a-b = \sqrt{5} $ .....**

จาก * และ ** จะได้ $ a = \frac{1+\sqrt{5} }{2} \ \ \ $ และ $b \frac{1-\sqrt{5} }{2}$

ดังนั้น $a^4 +b^4 = (\frac{1+\sqrt{5} }{2})^4 +(\frac{1-\sqrt{5} }{2})^4 = \frac{112}{16}$


ตอบ $a^4 +b^4 = 7$




เดี๋ยวโดนแซวว่า โซ้ยคนเดียว

[meng]

อีกแล้วครับ ขัอ 1 พิมพ์ตกไปแก้ไขข้างบนใหม่แล้วครับ ซือแป๋ bankerสุดยอดจริงๆเดาโจทย์ได้ด้วย ขออภัยครับมือใหม่หัดพิมพ์ LaTeX ครับ
ขอต่อข้อ 5. ให้ $x,y$เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ $x+y+\sqrt{x+y}=72$
และ $x-y-\sqrt{x-y}= 30$
จงหาค่าของ $\sqrt{x^{2}-y^{2}}$

[V.Rattanapon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ meng

ขอต่อข้อ 5. ให้ $x,y$เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ $x+y+\sqrt{x+y}=72$
และ $x-y-\sqrt{x-y}= 30$
จงหาค่าของ $\sqrt{x^{2}-y^{2}}$

$\sqrt{x^{2}-y^{2}}=48$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ meng

อีกแล้วครับ ขัอ 1 พิมพ์ตกไปแก้ไขข้างบนใหม่แล้วครับ ซือแป๋ bankerสุดยอดจริงๆเดาโจทย์ได้ด้วย ขออภัยครับมือใหม่หัดพิมพ์ LaTeX ครับ
ขอต่อข้อ 5. ให้ $x,y$เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ $x+y+\sqrt{x+y}=72$
และ $x-y-\sqrt{x-y}= 30$
จงหาค่าของ $\sqrt{x^{2}-y^{2}}$

ให้ $m =\sqrt{x+y} $ จะได้ $m^2 = x+y$

$x+y+\sqrt{x+y}=72$

แทนค่า $ \ \ m^2+m = 72$

$m^2+m-72 =0$

$(m+9)(m-8) =0$

$m = 8$



ให้ $n =\sqrt{x-y} $ จะได้ $n^2 = x-y$

$x-y+\sqrt{x-y}=30$

แทนค่า $ \ \ n^2 -n = 30$

$n^2 - n - 30 =0$

$(n+5)(n-6) =0$

$n = 6$


$\sqrt{x^{2}-y^{2}} = \sqrt{(x+y)(x-y)} = \sqrt{(8)^2 (6)^2} = 48 $

[meng]

4. ให้ a,b เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับ a+b=1 และ a3+b3=4 จงหาค่าของ a4+b4
--------------------------------------------------------------------------------
$a+b=1$ ===> $a^{2}+2ab+b^{2}=1$
===> $a^{2}+b^{2}= 1-2ab$ ----------(1)
$a^{3}+b^{3} =4$ ======> $(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=4$
======> $(1)(1-2ab-ab)=4$ =======> $ab=-1$
as (1) $a^{2}+b^{2}=1-2(-1) =4$
=====> $a^{4}+2(ab)^{2}+b^{4}=4^{2}=16$
as $ab=-1
so (ab)^{2}=1$ that $a^{4}+(2)(1)+b^{4}=16$

therefore $a^{4}+b^{4}=16-2 =14$

ขออภัยที่ใช้ภาษาปะกิดเพราะขี้เกียจเปลี่ยนฟ้อนท์
และช่วยตรวจหน่อยครับว่าผิดตรงใหน ขอบคุณครับ (สงสัยว่าจะผิดตรง $(ab)^{2}=1$)

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ meng

4. ให้ a,b เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับ a+b=1 และ a3+b3=4 จงหาค่าของ a4+b4
--------------------------------------------------------------------------------
$a+b=1$ ===> $a^{2}+2ab+b^{2}=1$
===> $a^{2}+b^{2}= 1-2ab$ ----------(1)
$a^{3}+b^{3} =4$ ======> $(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=4$
======> $(1)(1-2ab-ab)=4$ =======> $ab=-1$
as (1) $a^{2}+b^{2}=1-2(-1) = \color{red}{4}$ < ---- 3 ครับ
=====> $a^{4}+2(ab)^{2}+b^{4}=4^{2}=16$
as $ab=-1
so (ab)^{2}=1$ that $a^{4}+(2)(1)+b^{4}=16$

therefore $a^{4}+b^{4}=16-2 =14$ <--- 9 - 2 = 7

ขออภัยที่ใช้ภาษาปะกิดเพราะขี้เกียจเปลี่ยนฟ้อนท์
และช่วยตรวจหน่อยครับว่าผิดตรงใหน ขอบคุณครับ (สงสัยว่าจะผิดตรง $(ab)^{2}=1$)

ตอบ 7 ครับ