สอวน .2548 รอบแรก ศูนย์หาดใหญ่

[R-Tummykung de Lamar]

ไม่รู้ผมเอาข้อสอบมาลงจะผิดอะไรรึเปล่า เพราะว่า เห็นที่หน้าปกของข้อสอบเขียนไว้ว่า ห้ามลอกข้อสอบออกไปที่อื่น มิฉะนั้น จะเป็นการละเมิดลิขสิทธิ์ เป็นการเปิดเผยความลับทางราชการ ... อะไรประมาณเนี่ยครับ แต่ผมจำออกมาพิมพ์ใหม่นี่ ผิดมั๊ยน๊า ...
1.

จากรูป วงกลม O รัศมี 2 หน่วย และ OBC = 60 โดยที่ ABCP เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า จงหา พ.ท. ส่วนที่แรเงา


2.วงกลมรัศมี r หน่วย ถูกแบ่งออกเป็น 2 ส่วน ด้วย คอร์ดที่ยาว r หน่วย จงหาพ.ท. ของส่วนแบ่งอันเล็ก


3.

จากรูปถ้า x+y = 190
x = .............................
y = .............................


4.ให้ \(\ \ (x-h)^2 + (y-k)^ 2\ =\ r^ 2\ \ \) เป็นรูปทั่วไปของสมการวงกลม แล้ววงกลม O \(\ \ x^2+y^2-2x-4y+1\ =\ 0\ \ \)สัมผัสแกน x ที่จุด A จงหาสมการเส้นตรงที่ขนานกับเส้นตรงที่ผ่านจุด A และจุด B(-1,2) แล้วสัมผัส กับ วงกลม O


5 \( \sqrt{xy} + \frac{1}{\sqrt{xy}}=xy+\frac{1}{xy}\ \ \ \ \) ถ้า \( \ \ x^2-8x+15\ =\ 0\ \ \) แล้ว จงหาค่าของ y ที่เป็นไปได้ทั้งหมด


6. X = {0,1,...,9}
Y = \( \big\{ \)(A,B) | A , B เป็นสับเซตของ X และ \(A \cup B\ =\ X \) และ \( A \cap B \ =\ \ \){0,1} \( \big\} \)
n(Y) = .............................

7. ถ้ารากของสมการ \( \ \ x^4+ax^3+bx^2+cx+d\ =\ 0\ \ \)คือ 1 , 2 และ 3 แล้ว จงหา a + b + c

8. นาย A นาย B และ นาย C มีเงินทั้งหมด a , b และ c บาท ตามลำดับ ถ้า นาย A ให้เงินนาย B และ นาย C เท่ากับที่คนๆนั้นมี หลังจากนั้น นาย B ก็ให้นาย A และ นาย C เท่ากับจำนวนเงินทีคนๆนั้นมี หลังจากนั้นนาย C ก็เช่นเดียวกัน คือให้เงินนาย A และ นาย B เท่ากับที่คนๆนั้นมี ท้ายสุดแล้ว พบว่า ทั้งสามมีเงินเท่าคือ 20 บาท
a = .............................
b= .............................
c = .............................


9. กำหนดให้ O,A,B,C และ D อยู่บนเส้นตรงเดียวกันเรียงตามลำดับ โดยที่ OC = 2OA และ OD = 2OB ให้ P เป็นจุดที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน โดยที่ P อยู่นะหว่าง B กับ C ถ้า AP:PD = BP:PC ให้ OA ยาว a หน่วย และ OB ยาว b หน่วย จงหาว่า OP มีค่าเป็น ............................. ของ a+b


10.

ถ้า CB = 8 , OB = 1.5 และ AD = 9
AO = .............................
OD = .............................


11.ที่ดิน 2 งาน 28 ตร.วา ขุดหลุมกลม เส้นผ่านศูนย์กลางยาว 14 ม.เพื่อนำดินมาถมที่รอบข้างให้สูงขึ้น 1 เมตร ต้องขุดหลุมลึกประมาณเท่าใด กำหนด \( \displaystyle{\pi \ =\ \frac{22}{7} \ \ } \) และกำหนดความถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 2


12. \( \displaystyle{\frac{x-a}{b}+\frac{x-b}{a}\ =\ \frac{b}{x-a}+\frac{a}{x-b}\qquad,\ |a|\ \not=\ |b| \ \ และ\ \ ab\ \not=\ 0} \)
ค่า x ที่แตกต่างกันทั้งหมดคือ .............................


13.

จากรูป CD เป็นเส้นสัมผัส และ \( \displaystyle{B\hat CD\ =\ 64^\circ} \)
จงหาว่า \( \displaystyle{A\hat OC\ =\ .............................} \)

ฟู่.. อัพมาหมดเท่าที่ผมจำได้แล้วครับ สำหรับตอนที่ 1

[gon]

ไม่น่าจะมีปัญหาหรอกครับ ตามที่เขาเขียนคงหมายถึง เรานำไปพิมพ์เผยแพร่ขายเอาผลประโยชน์ประมาณนั้นครับ.

[Alberta]

ข้อ1 ได้ พาย-รูท3
ข้อ2ได้93 97
ช้อ9ได้2/3
ไหมครับ

[M@gpie]

ติดใจข้อ 7 ทำไมดูเหมือนเค้าให้เงื่อนไขมาไม่ครบ ยังไงก็ไม่รู้สิคับ เหอะๆๆๆ
หรือว่าเราคิดไม่ออกเองหว่า ???

[nongtum]

1. และ 3. ได้คำตอบตรงกับคุณ Alberta ครับ

2. พื้นที่แรเงา=(1/6)*พื้นที่วงกลม-พื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่า=\((\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4})r^2 \)

4. วงกลมนี้มีสมการมาตรฐานเป็น (x-1)²+(y-2)²=2² มีจุดศูนย์กลางที่ (1,2) สมการเส้นตรงที่ผ่าน A(1,0) และ B(-1,2) คือ l₁: y=-x+1
สมการเส้นตรงที่ตั้งฉาก l₁ และผ่านจุดศูนย์กลางวงกลมคือ l₂: y=x+1 ซึ่ง l₂ ตัดกับวงกลมที่ C(1+\(\sqrt{2}\),2+\(\sqrt{2}\)) และ D(1-\(\sqrt{2}\),2-\(\sqrt{2}\))
ดังนั้นสมการเส้นตรงที่ต้องการคือ l₃: y=-x+3+2\(\sqrt{2}\) และ l₄: y=-x+3-2\(\sqrt{2}\)

5. บวก 2 ทั้งสองข้างของสมการแรก แล้วให้ \(a:=\sqrt{xy}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\) จะได้ a=2 (aน-1)
แต่ \(n+\frac{1}{n}\ge2\) สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n ดังนั้น \(\sqrt{xy}=xy=1\) นั่นคือ y=1/3 หรือ 1/5

6. จำนวนคู่อันดับ=2^10-2=256

7. ข้อนี้รากหายไปหนึ่งตัวหรือว่ามีรากซ้ำครับ

8. (ข้อนี้ถ้าจำไม่ผิด เหมือนเคยคุย trick กันที่นี่ไปแล้ว แต่เนื่องจากผมลืมวิธีที่ว่า เลยคิดแบบตรงๆ ใครยังจำวิธีที่ว่าได้ช่วยลิงค์ด้วยนะครับ)
ผังการจ่ายเงิน
\(\begin{array}{lclclclcl}
ูa&\rightarrow&a-b-c&\rightarrow&2(a-b-c)&\rightarrow&4(a-b-c)=20&\rightarrow&a-b-c=5\\
b&\rightarrow&2b&\rightarrow&3b-a-c&\rightarrow&2(3b-a-c)=20&\rightarrow&-a+3b-c=10\\
c&\rightarrow&2c&\rightarrow&4c&\rightarrow&7c-a-b=20&\rightarrow&-a-b+7c=20\\
\end{array}\)
แก้ระบบสมการ จะได้ (a,b,c)=(32.5,17.5,10)

9. วาดรูปแล้วกำหนดให้ AP=x จะได้จากเงื่อนไขโจทย์ว่า... (ตามไปดูคำตอบส่วนที่เหลือในคำตอบของน้อง Tummykunฯ ครับ)

10. ให้ x=OA จากรูปจะได้ x(9-x)=39/4 หรือ \(x=\large{\frac{9}{2}\pm\frac{\sqrt{42}}{2}}\) ส่วนข้อย่อยหลังแน่ใจนะครับว่า DB? OD=\(\large{\frac{9}{2}\mp\frac{\sqrt{42}}{2}}\)

[M@gpie]

ดีใจคับคุณ nongtum สงสัยข้อ 7 เหมือนผมเลย อิอิ

[Tony]

[quote]ข้อความเดิมของคุณ R-Tummykung de Lamar:

7. ถ้ารากของสมการ \( \ \ x^4+ax^3+bx^2+cx+d\ =\ 0\ \ \)คือ 1 , 2 และ 3 แล้ว จงหา a + b + c

เผอิญผมก็ไปสอบมาเหมือนกัน แต่ไม่รู้คุณ tummy จำออกมาได้ยังไงเยอะแยะ
โจทย์ข้อนี้น่าจะอยู่ในรูป \( \ \ x^3+ax^2+bx+c =\ 0\ \ \) มากกว่า
จะได้ \( a=-(1+2+3)=-6, \ b=1*2+1*3+2*3=11, \ c=-(1*2*3)=-6 \)
\( a+b+c=-1 \)

[TOP]

ข้อ 8 คิดแบบย้อนกลับจะง่ายครับ
\(
\begin{array}{ccccl}
ขั้นที่ & A & B & C & \\
3 & 20 & 20 & 20 & \text{C ให้ A และ B ไปครึ่งหนึ่งของแต่ละคน ในขั้นตอนนี้}\\
2 & 10 & 10 & 40 & \text{B ให้ A และ C ไปครึ่งหนึ่งของแต่ละคน ในขั้นตอนนี้}\\
1 & 5 & 35 & 20 & \text{A ให้ B และ C ไปครึ่งหนึ่งของแต่ละคน ในขั้นตอนนี้}\\
\text{จุดเริ่มต้น} & 32.5 & 17.5 & 10 &
\end{array}
\)

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
6. 9. วาดรูปแล้วกำหนดให้ AP=x จะได้จากเงื่อนไขโจทย์ว่า \(\displaystyle{\frac{x}{2b-a-x}=\frac{a+x-b}{2b-a-x-(2b-2a)}} \) แก้หา x จะได้ \( \displaystyle{x=\frac{2b^2-ab+a^2}{b-3a}} \) ดังนั้น OP: (a+b)=\( \displaystyle{\frac{2(b^2-a^2)}{(b-3a)(a+b)}=\frac{2b-a}{b-3a}} \)

ตรงจัดรูปผมได้ \( \displaystyle{\ x\ =\ \frac{3ab-a^2-2b^2}{3a-3b}} \) ซึ่ง \( \displaystyle{OP\ =\ a+x\ =\ \frac{(3ab-a^2-2b^2)+(3a^2-3ab)}{3(a-b)}\ =\ \frac{2(a^2-b^2)}{3(a-b)}\ =\ \frac{2}{3}(a+b)} \)
จะได้ OP: a+b = \(\displaystyle{\frac{2}{3}}\ \ \) ครับผม

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
10. ให้ x=OA จากรูปจะได้ x(9-x)=39/4 หรือ \(\displaystyle{x\ =\ \frac{9}{2} \pm \frac{\sqrt{42}}{4}}\ \ \ \) ส่วนข้อย่อยหลังแน่ใจนะครับว่า DB?

อันนี้ ผมได้ \(\displaystyle{x\ =\ \frac{9}{2} \pm \frac{\sqrt{42}}{2}}\ \ \ \) ครับ ซึ่งตอนสอบ ผมดูจากรูปแล้ว น่าจะเป็นอันสั้นเลยตอบว่า \(\displaystyle{OA\ =\ \frac{9}{2} - \frac{\sqrt{42}}{2}}\ \ \ \) เพียงคำตอบเดียว ส่วน อีกข้อย่อยนั้น ขออถยจริงๆครับ เค้าถาม OD ซึ่งผมก็สรุปว่าเป็นเส้นยาวคือ \(\displaystyle{OD\ =\ \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{42}}{2}}\ \ \ \) แต่จากลองคุยกับเพื่อนๆแล้ว เค้าบอกว่า เส้น AD นั้นมันเลื่อนได้ แต่ผมก็ยืนยันว่าจากรูป \( \displaystyle{A\hat OB \ \ } \) เป็นมุมแหลม ไม่สามารถเลื่อนไปจนเป้นมุมป้านได้ ดังนั้น ควรจะตอบคำตอบเดียว หรือสองคำตอบดีครับ
อยากได้ความคิดเห็นจากชาว MCT ครับ

เอาหละครับ ผมมาเพิ่มโจทย์ของตอน 1 แล้วนะครับ เดี่ยวจะอัพตอนที่ 2 ต่อให้

[nongtum]

มาพิมพ์ตอบแก้เครียด...

ข้อ 9 น้อง Tummykunฯ ถูกแล้วครับ ส่วนข้อสิบคิดว่าเป็นสองคำตอบครับ เพราะโจทย์ไม่ได้ระบุอะไรเพิ่มเติม (อย่าให้รูปหลอกตา)

11. ที่ดิน 912 ตารางเมตร หักพื้นที่ปากบ่อ 154 ตารางเมตร เหลือพื้นที่สำหรับถมดิน 758 ตารางเมตร หากถมพื้นที่ที่เหลือสูงขึ้นหนึ่งเมตร ต้องขุดลึก h เมตร จะต้องใช้ดิน 154h=758 ลูกบาศ์กเมตร ซึ่งจะได้ h=758/154=4.92 เมตร

12. บวกเศษส่วนทั้งสองข้าง คูณไขว้ ย้ายข้างแล้วจัดรูปจะได้ [(a+b)x-a²-b²][x²-(a+b)x]=0 หรือ x=(a²+b²)/(a+b), 0, a+b

13. ต่อ CO ไปตั้งฉาก AB ที่ E จะได้ ะAOE=ะBOE=2ะBCE=2(90-64)=52 ดังนั้น ะAOC=180-52=128°
ข้อนี้ หากไม่มีอะไรเพิ่ม โจทย์ก็น่าจะขาดอะไรไปแน่ๆ เพราะจุด A สามารถเลื่อนไปตามเส้นรอบวงได้ โดยที่มุม CAB=64° เท่าเดิม (จุด B อยู่กับที่) ทำให้มีคำตอบได้หลายค่า (กรณีที่ทำด้านบนเป็นกรณีที่ AB||CD)

[R-Tummykung de Lamar]

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
13. ต่อ CO ไปตั้งฉาก AB ที่ D จะได้ ะAOD=ะBOD=2ะBCD=2(90-64)=52 ดังนั้น ะAOC=180-52=128°

ตรงนี้แน่ใจหรือครับ ว่า เมื่อลาก CO ไปตั้งฉาก AB แล้วจะตั้งฉากครับ

[nongtum]

โอเคครับ รีบทดไปนิด งั้นเปลี่ยนวิธีทำใหม่ละกัน(ขอเวลาทดแป๊บนึง) ตามไปดูข้างบนเอานะครับ แล้วเมื่อไหร่จะอัพตอนที่สองเสียทีละน้อง

อ้อ หา host สำหรับรูป เช่น photobucket หรือ msn-spaces (หรือของที่อื่นที่ให้ host รูปฟรีๆ) แล้วลิงค์มาที่บอร์ดน่าจะเหมาะกว่าครับ เพราะนอกจากจะเล่นจากต่างประเทศ ปกติก็โหลดไม่ค่อยเร็วอยู่แล้ว รูปก็โหลดจากที่เดียวกันยิ่งช้าเข้าไปอีก แถมยังกินพื้นที่กระทู้ปกติอีก (ความเห็นส่วนตัวนะครับ)

[R-Tummykung de Lamar]

อืมครับ เดี๋ยวจะพยายามหา host ครับ ส่วนตอน 2 นั้น ขอเวลานิดนึงนะครับ ช่วงนี้การบ้านล้นตัวมาก (ผลจากการหยุดเรียนไปสอบ ) แล้วก็เสาร์-อาทิตย์นี้ สอบเพชรยอดมงกุฏอีก อดใจรอนิดนึงนะครับ เดี๋ยวจะได้ข้อสอบอีกชุดใหญ่เลยละครับ


แล้วก็ข้อนี้ผมไม่แน่ใจนะครับ ว่าโจทย์จะมีปัญหารึเปล่า (แต่ผมจำได้ว่ามันกำหนดมาแค่นี้จริงๆ) เพราะผมลองเลื่อนๆรูปดูแล้ว มุมมันเล็กลงได้ครับ

อ้อ แนะนำสำหรับคนไม่ทราบวิธีการเอารูปมาแทรกนะครับ ก็คือให้ใช้คำสั่ง [IMG][/IMG] โดยที่ ภายในคือ URL ของรูปภาพครับผม แล้วก็ถ้าอยากได้ emoticon มากกว่านี้ ก็ลองดูที่ลิงค์นี้นะครับ emoticon แต่บอร์ดนี้จำกัดให้แทรกรูปได้มากที่สุดเพียง 8 รูปเท่านั้นครับ