Vietnam Mathematical Olympiad 2005 problem 4

[gools]

หาฟังก์ชัน \(f:\mathbb R\to \mathbb R\) ทั้งหมดที่มีคุณสมบัติต่อไปนี้
\[ \displaystyle f(f(x-y))=f(x)\cdot f(y)-f(x)+f(y)-xy \]

[gools]

มีใครแก้ได้บ้างหรือยังครับ

[nooonuii]

เดาไว้ว่า f(x) = - x ครับ แต่ยังไม่ได้ลงมือพิสูจน์เลย

[gon]

จาก \(f(f(x-y)) = f(x)f(y) - f(x) + f(y) - xy \cdots (0)\)

แทน \(y = 0 : f(f(x)) = f(0)f(x) - f(x) + f(0) \cdots (1)\)

สมมติให้ \(A = f(0)f(x) \Rightarrow f(\frac{A}{f(0)}) = A - \frac{A}{f(0)} + f(0) \)

สมมติให้ \(z = \frac{A}{f(0)} \Rightarrow f(z) = f(0)z - z + f(0)\)

ดังนั้น \(f(x) = (c-1)x + c \quad ; c = f(0) \cdots (2) \)

ต่อไปจะหาค่า c

แทน x = 0 ลงใน (1) : \( f(f(-y)) = f(0)f(y) - f(0) + f(y) \cdots (3) \)
จาก (2) เราจะได้ว่า \( f(-y) = -(c-1)y + c \)
ดังนั้น \(f(f(-y)) = (c-1)[-(c-1)y + c] + c = -(c-1)^2y + c^2 = L.H.S \,ของ\, (3)\)

แต่ R.H.S. ของ (3) คือ : \(c[(c-1)y + c] - c + (c-1)y + c = (c^2 - 1)y + c^2 \)

L.H.S ของ (3) = R.H.S ของ (3) : \( -(c-1)^2 = c^2 - 1 \Rightarrow c(c-1) = 0 \Rightarrow c = 0 \quad หรือ \quad c = 1 \)

จาก (2) ถ้า c = 0 แล้ว f(x) = -x เมื่อตรวจคำตอบใน (0) จะพบว่าจริง
จาก (2) ถ้า c = 1 แล้ว f(x) = 1 เมื่อตรวจคำตอบใน (0) จะพบว่าเท็จ

นั่นคือ f(x) = -x เป็นคำตอบเดียวเท่านั้น

[nooonuii]

อืม conjecture ของผมถูกซะด้วยแฮะ

ให้ x = y = 0 จะได้ \( \Large{ f(f(0)) = f(0)^2 } \)
ให้ x = y จะได้ \( \Large{ f(x)^2 = x^2 + f(f(0)) } \)
ให้ x = f(0) จะได้ f(f(0)) = 0 หรือ f(f(0)) = 2
แทนค่าแล้วตรวจสอบจะพบว่า f(x) = -x เป็นคำตอบเพียงคำตอบเดียว

[devil jr.]

ที่คุณgonทำผมสงสัยอย่างนึงครับ
ที่ให้ z=A/f(0) (= f(x))
(ทำไมถึงต้องให้ A=f(0)f(x)และ z=A/f(0) เพื่อให้ได้แค่ว่า z=f(x)
และถ้าf(0)เป็น0 ก็อาจเกิดปัณหาได้อีก)
ได้ว่า f(z)=f(0)z-z+f(0)
แล้วทำไมถึงสรุปได้ล่ะครับว่า
f(x)=(f(0)-1)x+f(0) ทุกๆ x
ทั้งๆที่เรายังไม่ได้พิสูจน์เลยว่า
z=f(x) เป็น onto

[gon]

ขอบคุณ คุณ Devil Jr ครับ. สำหรับเรื่องสมมติวนไปมา ตามภาวะสมองช่วงนั้น ที่จริงสมมติแค่ z = f(x) ก็พอ

ที่ผมหาไปเป็นเพียงฟังก์ชันทั่วถึงจาก R ไป R เท่านั้นครับ. มึนจริง ๆ เดี๋ยวว่าง ๆ จะลองต่อดูอีกทีครับ. ว่าจะคิดให้สมบูรณ์ได้ไหม คุณ Devil Jr ถ้าคิดวิธีที่สมบูรณ์ออกมาบอกก็ดีครับ.

[บาคุระ จัง]

`khun noonii

Please show your full answer
thank

[Counter Striker]

...