IWYMIC 2011 บาหลี indonesia

[banker]

[banker]

[yellow]

1. ให้ a, b และ c เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่

ab + bc + ca + 2(a + b + c) = 8045,

abc - a - b - c = -2

จงหาค่าของ a + b + c


2. มีนักเรียนอยู่สองจำพวกในชั้นเรียนชั้นหนึ่ง พวกหนึ่งจะพูดโกหกเสมอ อีกพวกหนึ่งจะไม่พูดโกหกเลย นักเรียนแต่ละคนจะรู้ว่านักเรียนคนอื่นเป็นคนจำพวกไหน ในการประชุมวันนี้ นักเรียนแต่ละคนจะพูดบอกว่านักเรียนคนอื่นเป็นคนจำพวกไหน คำตอบว่า เป็นคนโกหก มี 240 ครั้ง ส่วนการประชุมลักษณะเดียวกันที่จัดเมื่อวาน มีนักเรียนคนหนึ่งไม่ได้มา ซึ่งคำตอบว่า เป็นคนโกหก มี 216 ครั้ง ถามว่าจำนวนนักเรียนที่มาวันนี้มีกี่คน


ให้คนโกหก x คน คนไม่โกหก y คน

คนโกหกจะพูดถึงคนไม่โกหกว่า เป็นคนโกหก = xy ครั้ง

คนไม่โกหกจะพูดถึงคนโกหกว่า เป็นคนโกหก = xy ครั้ง

$2 xy = 240$

$xy = 120$

เมื่อวานมีคนไม่มา 1 คน

ถ้าคนโกหกไม่มา 2xy - 2x = 216 -----> y = 12, x = 10

ถ้าคนไม่โกหกไม่มา 2xy - 2y = 216 -----> x = 12, y = 10


ดังนั้น มีนักเรียนทั้งหมด 22 คน

[banker]

จุดB และจุด E อยู่บนเส้นตรง AD และ AC ของสามเหลี่ยมACD
BC และ DE ตัดกันที่จุด F
สามเหลี่ยม ABC และสามเหลี่ยม AED เท่ากัน
AB = AE =1 และ AC = AD = 3
จงหาอัตราส่วนของพื้นที่สี่เหลี่ยม ABFE กับสามเหลี่ยม ADC




ตอบ 1 : 6

[กิตติ]

ข้อ2.ส่วนB

เมื่อ $\alpha =1,2,3,...,2010,2011$ และรากของสมการ $x^2-2x-\alpha^2-\alpha=0$ คือ $(\alpha_1,\beta_1),(\alpha_2,\beta_2),(\alpha_3,\beta_3),...,(\alpha_{2010},\beta_{2010}),(\alpha_{2011},\beta_{2011})$ ตามลำดับ
จงหาค่าของ $ \frac{1}{\alpha_1}+ \frac{1}{\beta_1} + \frac{1}{\alpha_2} + \frac{1}{\beta_2} + \frac{1}{\alpha_3} + \frac{1}{\beta_3} +...+ \frac{1}{\alpha_{2010}} + \frac{1}{\beta_{2010}} + \frac{1}{\alpha_{2011}} + \frac{1}{\beta_{2011}}$

จาก$x^2-2x-\alpha^2-\alpha=0$
$\alpha +\beta =2$
$\alpha \bullet \beta=-\alpha^2-\alpha=-\alpha(\alpha+1)$
$\frac{1}{\alpha}+ \frac{1}{\beta}=\frac{\alpha +\beta}{\alpha \bullet \beta} $
$=\frac{-2}{\alpha(\alpha+1)} $
$=-2\left(\,\frac{1}{\alpha}-\frac{1}{\alpha+1} \right) $

$ \frac{1}{\alpha_1}+ \frac{1}{\beta_1} + \frac{1}{\alpha_2} + \frac{1}{\beta_2} + \frac{1}{\alpha_3} + \frac{1}{\beta_3} +...+ \frac{1}{\alpha_{2010}} + \frac{1}{\beta_{2010}} + \frac{1}{\alpha_{2011}} + \frac{1}{\beta_{2011}}$
$=(-2)\left\{\,1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3} -\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2010}-\frac{1}{2011}+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}\right\} $
$=(-2)\left\{\,1-\frac{1}{2012}\right\} $
$=-\frac{2011}{1006} $

[กิตติ]

ข้อ 1.
ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ
$ab+bc+ac+2(a+b+c)=8045$
$abc-a-b-c=-2$
จงหาค่าของ $a+b+c$

จับสิ่งที่โจทย์ให้มาบวกกันจะได้
$ab+bc+ac+a+b+c+abc=8043$
$ab+bc+ac+a+b+c+abc+1=8044$
$(a+1)(b+1)(c+1)=8044=2\times 2\times 2011$..
..$2011$ เป็นจำนวนเฉพาะ
เนื่องจากโจทย์กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มบวก จึงเทียบตัวเลขได้
จะได้ค่ามาสามค่าคือ $1,1,2010$ ซึ่งค่าของ $a,b,c$ จะมีค่าไหนก็ตาม ผลบวกจะได้เท่ากัน
$a+b+c=2010+1+1=2012$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ข้อ 1.
ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ
$ab+bc+ac+2(a+b+c)=8045$
$abc-a-b-c=-2$
จงหาค่าของ $a+b+c$

จับสิ่งที่โจทย์ให้มาบวกกันจะได้
$ab+bc+ac+a+b+c+abc=8043$
$ab+bc+ac+a+b+c+abc+1=8044$
$(a+1)(b+1)(c+1)=8044=2\times 2\times 2011$....$2011$ เป็นจำนวนเฉพาะ
เนื่องจากโจทย์กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มบวก จึงเทียบตัวเลขได้
จะได้ค่ามาสามค่าคือ $1,1,2010$ ซึ่งค่าของ $a,b,c$ จะมีค่าไหนก็ตาม ผลบวกจะได้เท่ากัน
$a+b+c=2010+1+1= \color{red}{2010}$

จะไม่ได้คะแนนก็ตรงนี้แหละ ตายตอนจบ

[กิตติ]

แก้แล้วครับลุงBanker...ขอคะแนนลุงแทนแล้วกันครับ

[กิตติ]

6.โจบอกเคทว่าผลคูณของจำนวนเต็มบวกสามจำนวนเท่ากับ $36$ และโจก็ได้บอกผลบวกของจำนวนเต็มบวกให้กับเคทด้วย แต่เคทยังไม่รู้ว่าจำนวนทั้งสามคือจำนวนไหน. จงหาผลบวกของจำนวนทั้งสามจำนวนนี้

ข้อนี้น่าจะหมูสุด ผมจะถูกหมูเขี้ยวตันกัดไหม
ผมตอบ$2+3+6=11$
ผมแยก $36$ เป็น $2\times 3\times 2\times 3$...มาดูว่าเราจะสร้างจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันได้ยังไง
มันเหลือคำตอบเดียวคือ $2\times 3\times 6$
ผมตอบ $11$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

6.โจบอกเคทว่าผลคูณของจำนวนเต็มบวกสามจำนวนเท่ากับ $36$ และโจก็ได้บอกผลบวกของจำนวนเต็มบวกให้กับเคทด้วย แต่เคทยังไม่รู้ว่าจำนวนทั้งสามคือจำนวนไหน. จงหาผลบวกของจำนวนทั้งสามจำนวนนี้

ข้อนี้น่าจะหมูสุด ผมจะถูกหมูเขี้ยวตันกัดไหม
ผมตอบ$2+3+6=11$
ผมแยก $36$ เป็น $2\times 3\times 2\times 3$...มาดูว่าเราจะสร้างจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันได้ยังไง
มันเหลือคำตอบเดียวคือ $2\times 3\times 6$
ผมตอบ $11$

1x1x36 = 36
1+1+36 = 38

1x2 x18 = 36
1+2+18 = 21

2 x2x9 = 36
2+2+9 = 13

.
.
ได้ไหมครับ

[banker]

ไม่รู้แปลถูกไหม และก็ไม่รู้ว่าคำตอบถูกไหม

จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด ที่เป็นพหุคูณของ 7 และ 8 และมีเลข 7 กับเลข 8 อย่างน้อยหนึ่งจำนวนในจำนวนนั้น

56 x 13 = 728

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ไม่รู้แปลถูกไหม และก็ไม่รู้ว่าคำตอบถูกไหม

จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด ที่เป็นพหุคูณของ 7 และ 8 และมีเลข 7 กับเลข 8 อย่างน้อยหนึ่งจำนวนในจำนวนนั้น

56 x 13 = 728

มันมีจุดที่บอกว่าจำนวนนี้ต้องประกอบด้วย 7 ไม่ก็ 8 ด้วยมั้งครับ
(that each digit is either 7 or 8)

[Amankris]

#4
ยังทำไม่ถูกนะครับ

#9,#10
ต้องทำความเข้าใจประโยคนี้ก่อนครับ "แต่เคทยังไม่รู้ว่าจำนวนทั้งสามคือจำนวนไหน"

[gon]

ข้อ 6. คุณ Banker กับคุณกิตติลองดูข้อ 8 ในหน้า 58 ของหนังสือที่ซื้อไปสิครับ คล้าย ๆ กัน

[ทิดมี สึกใหม่]

ข้อ 6 ผลรวมของจำนวนเต็มทั้สามจำนวน คือ 13
เกิดจาก (1) 1x6x6 > sum=13 หรือ
(2) 2x2x9 > sum=13

แสดงให้เห็นตารางทั้งหมดดังนี้